Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке Е. Известно, что площадь каждого из треугольников АВЕ и DCE равна 1.
а) Докажите, что ABCD — параллелограмм или трапеция.
б) Найдите ВС, если площадь всего четырехугольника не превосходит 4, а AD = 3.
а) Найдем площадь треугольника ABD:
Тогда высоты треугольников ABD и ACD, проведенные к AD, равны. Значит, BC и AD параллельны, тогда ABCD является параллелограммом или трапецией.
б) Пусть площадь треугольника BEC равна x, тогда
Тогда По условию получаем, что
Таким образом, площади треугольников BEC и AED равны. Из пункта а) получаем, что AB и CD параллельны. Следовательно, ABCD — параллелограмм и BC = AD = 3.
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б
3
Получен обоснованный ответ в пункте б
имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а
при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.
Источник задания: Решение 5351. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 30 вариантов. Ответ.
Задание 16. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD со сторонами АВ = 9, ВС = CD = 11, AD = 15 и диагональю АС =16.
а) Докажите, что около него можно описать окружность.
б) Найдите диагональ BD.
а) Если вокруг четырехугольника можно описать окружность, то сумма его противоположных углов будет равна 180 градусов. Это необходимое и достаточное условие для доказательства этого положения. Докажем, что сумма углов . Рассмотрим треугольник ABC, в котором известны все стороны, тогда угол можно найти по теореме косинусов как
Аналогично для угла из треугольника ADC, имеем:
Таким образом, косинусы углов отличаются только знаком, следовательно, можно записать, что
то есть вокруг данного четырехугольника можно описать окружность.
б) Рассмотрим треугольник ABD и по теореме косинусов можно записать:
Также диагональ BD можно вычислить по теореме косинусов из треугольника BCD:
По условию получаем, что
. Рассмотрим треугольник ABC, в котором известны все стороны, тогда угол 
можно найти по теореме косинусов как
из треугольника ADC, имеем:
.
.