В выпуклом четырехугольнике известно что найдите угол
В выпуклом четырёхугольнике ABCD известны стороны и диагональ: AB = 3, BC = CD = 5, AD = 8, AC = 7.
а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.
Найдём косинусы углов ABC и ADC в треугольниках и соответственно:
Далее,
Тем самым сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°, поэтому вокруг него можно описать окружность. Для вписанного четырёхугольника справедлива теорема Птолемея: произведение диагоналей четырёхугольника равно сумме произведений его противоположных сторон. Тогда то есть откуда
Ответ: б)
Приведем решение пункта б) Тофига Алиева без использования теоремы Птолемея.
Заметим, что поскольку Пусть тогда в треугольнике BAD по теореме косинусов
В треугольнике BCD по теореме косинусов
Приведем идею решения Юрия Зорина.
Углы BAC и BDC равны как вписанные углы, опирающиеся на дугу BC. По теореме косинусов найдём косинус угла BAC (он равен 11/14). Далее, зная, что косинусы равных углов равны, из треугольника BDC найдем по теореме косинусов искомый отрезок BD.
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
В выпуклом четырехугольнике известно что найдите угол
Сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 300°. Найдите четвертый угол. Ответ дайте в градусах.
В выпуклом четырехугольнике ABCD, , , . Найдите угол A. Ответ дайте в градусах.
Углы выпуклого четырехугольника относятся как 1:2:3:4. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах.
Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 82° и 58°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 136°, угол CAD равен 82°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 71°, угол CAD равен 61°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 19°, угол CAD равен 35°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 14°, угол CAD равен 30°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 80°, угол CAD равен 54°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
ABCDEFGH — правильный восьмиугольник. Найдите угол EFG. Ответ дайте в градусах.
Радиус окружности с центром в точке O равен 85, длина хорды AB равна 80 (см. рисунок). Найдите расстояние от хорды AB до параллельной ей касательной k.
Сторона AC треугольника ABC проходит через центр описанной около него окружности. Найдите ∠C, если ∠A = 75°. Ответ дайте в градусах.
Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 70°, угол CAD равен 49°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
В выпуклом четырехугольнике ABCDAB = BC, AD = CD, ∠B = 77°, ∠D = 141°. Найдите угол A. Ответ дайте в градусах.
Радиус окружности с центром в точке O равен 85, длина хорды AB равна 102 (см. рисунок). Найдите расстояние от хорды AB до параллельной ей касательной k.
Радиус окружности с центром в точке O равен 65, длина хорды AB равна 126 (см. рисунок). Найдите расстояние от хорды AB до параллельной ей касательной k.
Радиус окружности с центром в точке O равен 82, длина хорды AB равна 36 (см. рисунок). Найдите расстояние от хорды AB до параллельной ей касательной k.
На стороне BC прямоугольника ABCD, у которого AB = 24 и AD = 31, отмечена точка E так, что ∠EAB = 45°. Найдите ED.
На стороне BC прямоугольника ABCD, у которого AB = 12 и AD = 17, отмечена точка E так, что ∠EAB = 45°. Найдите ED.
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 92°, угол CAD равен 60°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
В выпуклом четырёхугольнике известно, что , , , . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Радиус окружности с центром в точке равен 50, длина хорды равна 96 (см.рисунок). Найдите расстояние от хорды до параллельной ей касательной k.
Четырёхугольник вписан в окружность. Угол равен 51°, угол равен 42°. Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Сторона треугольника проходит через центр описанной около него окружности. Найдите , если . Ответ дайте в градусах.
На стороне прямоугольника , у которого и , отмечена точка так, что . Найдите
и 
соответственно:
то есть 
откуда 
поскольку 
Пусть 
тогда в треугольнике BAD по теореме косинусов
, 
, 
, 
. Найдите угол A. Ответ дайте в градусах.
известно, что 
, 
, 
, 
. Найдите угол 
. Ответ дайте в градусах.
равен 50, длина хорды 
равна 96 (см.рисунок). Найдите расстояние от хорды 
равен 51°, угол 
равен 42°. Найдите угол 
. Ответ дайте в градусах.
треугольника 
, если 
. Ответ дайте в градусах.
прямоугольника 
и 
, отмечена точка 
так, что 
. Найдите 