в чем заключается матричный способ задания графов

Матричные способы задания графов

Для алгебраического задания графов используются матри­цы смежности и инцидентности.

a_ij =

Матрица смежности графа, изображенного на рис. 3.1, имеет вид:

A =

Матрица смежности ориентированного графа, изображенного на рис. 3.2, имеет вид:

A =

Матрица смежности полностью задает граф.

Матрицей инцидентностиB = (b_ij) ориентированного графа называет­ся прямоугольная матрица (n ´ m), где n – число вершин, m – число ребер, у которой

b_i =

Для неориентированного графа матрица инцидентности B задается следующим образом:

b_i =

Матрица инцидентности графа, изображенного на рис. 3.1, имеет вид:

B =

Матрица инцидентности ориентированного графа, изображенного на рис. 3.2, имеет вид:

B =

Матрица инцидентности, также, как и матрица смежности, полностью задает граф.

Матрицы смежности и инцидентности удобны для задания графов на ЭВМ.

Основные свойства матриц смежности и инцидентности

1. Матрица смежности неориентированного графа является симметрич­ной. Для ориентированного графа это, вообще говоря, неверно.

5. Сумма строк матрицы инцидентности ориентированного графа явля­ется нулевой строкой.

Итак, возможны следующие различные способы задания графа:

а) посредством графического изображения;

б) указанием множества вершин и множества ребер (дуг);

в) матрицей смежности;

г) матрицей инцидентности.

Изоморфизм графов

Графы G₁= (X₁, A₁)и G₂= (X₂, A₂) изоморфны, если существует взаимно однозначное соответствие между множествами вершин X₁и X₂, та­кое, что любые две вершины одного графа соединены тогда и только тог­да, когда соответствующие вершины соединены в другом графе.

Графы, изображенные на рис. 3.4 являются изоморфными.

Изоморфные графы отличаются только нумерацией вершин. Матрицы смежности двух изоморфных графов могут быть получены одна из другой перестановкой строк и столбцов. Чтобы узнать, являются ли два графа изоморфными, нужно произвести все возможные перестановки строк и столбцов матрицы смежности одного из графов. Если после какой-нибудь перестановки получится матрица смежности второго графа, то эти графы изоморфны. Чтобы убедиться, что графы неизоморфны, надо выполнить все n! возможных перестановок строк и столбцов.

Источник

Способы задания графов.

Рассмотрим три способа задания графов: графический, аналитический и матричный.

1) Графический способ.

Вершины изображают точками на плоскости, а ребра – линиями, соединяющими соответствующие точки. Для изображения дуги используется линия со стрелкой, указывающей направление от начала к концу дуги.

На рисунке 12 изображен смешанный граф с вершинами v₁, v₂,¼, v₆, ребрами e₁, e₂, e₃, e₅ и дугой e₄. Смежные вершины v₁, v₂, инциденты ребру e₁. Вершины v₁, v₃, инциденты параллельным ребрам e₂ и e₃. Вершине v₄ инциденты петля e₅ и дуга e₄, причем v₄ является началом дуги e₄, а v₅ – концом этой дуги. Степень вершины v₁ равна 3, вершины v₂ – 1, вершины v₃ – 2, вершины v₄ – 3, вершины v₅ – 1, вершины v₆ – 0. Таким образом, вершины v₂ и v₅ – висячие, а вершина v₆ – изолированная. В случае дуги e₄ точнее было бы говорить о полустепенях исхода и захода вершин v₄ и v₅, а именно: полустепень исхода вершины v₄ равна 3, вершины v₅ – 0, полустепень захода вершины v₄ равна 2, вершины v₅ – 1.

2) Аналитический способ.

3) Матричный способ.

Имеется несколько вариантов задать граф матрицей. Наиболее употребимыми являются матрица инциденций и матрица смежности.

а) Матрица инциденций – это прямоугольная матрица, число строк которой равно числу вершин, а число столбцов – числу дуг (ребер) графа. Элементы этой матрицы определяются следующим образом:

Таким образом, для графа на рисунке 12 матрица инциденций такова:

По этой матрице легко судить о наличии в графе параллельных ребер (два одинаковых столбца), петли (одна единица в столбце), дуги (значения разных знаков в столбце), изолированной вершины (нулевая строка), висячих вершин (одно ненулевое значение в строке).

б) Матрица смежности вершин – это квадратная матрица, размер которой определяется числом вершин в графе. Элементы этой матрицы определяются так: . Если в графе имеются параллельные ребра, то соответствующий элемент матрицы смежности полагают равным числу этих ребер. Так матрица смежности для графа на рисунке 12 такова:

По виду этой матрицы также несложно судить о наличии в графе кратных ребер, дуг, петель, висячих и изолированных вершин.

Дата добавления: 2015-10-19 ; просмотров: 17575 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник

Теория графов. Часть третья (Представление графа с помощью матриц смежности, инцидентности и списков смежности)

Все, что познается, имеет число, ибо невозможно ни понять ничего, ни познать без него – Пифагор

Список смежности (инцидентности)

Взвешенный граф (коротко)

Итак, мы умеем задавать граф графическим способом. Но есть еще два способа как можно задавать граф, а точнее представлять его. Для экономии памяти в компьютере граф можно представлять с помощью матриц или с помощью списков.

Матрица является удобной для представления плотных графов, в которых число ребер близко к максимально возможному числу ребер (у полного графа).

Другой способ называется списком. Данный способ больше подходит для более разреженных графов, в котором число ребер намного меньше максимально возможного числа ребер (у полного графа).

Перед чтением материала рекомендуется ознакомится с предыдущей статьей, о смежности и инцидентности, где данные определения подробно разбираются.

Матрица смежности

Но тем кто знает, но чуть забыл, что такое смежность есть краткое определение.

Смежность – понятие, используемое только в отношении двух ребер или в отношении двух вершин: два ребра инцидентные одной вершине, называются смежными; две вершины, инцидентные одному ребру, также называются смежными.

Матрица (назовем ее L) состоит из n строк и n столбцов и поэтому занимает n^2 места.

Каждая ячейка матрицы равна либо 1, либо 0;

Ячейка в позиции L (i, j) равна 1 тогда и только тогда, когда существует ребро (E) между вершинами (V) i и j. Если у нас положение (j, i), то мы также сможем использовать данное правило. Из этого следует, что число единиц в матрице равно удвоенному числу ребер в графе. (если граф неориентированный). Если ребра между вершинами i и j не существует, то ставится 0.

Для практического примера возьмем самый обыкновенный неориентированный граф:

А теперь представим его в виде матрицы:

Ячейки, расположенные на главной диагонали всегда равны нулю, потому что ни у одной вершины нет ребра, которое и начинается, и заканчивается в ней только если мы не используем петли. То есть наша матрица симметрична относительно главной диагонали. Благодаря этому мы можем уменьшить объем памяти, который нам нужен для хранения.

С одной стороны объем памяти будет:

Но используя вышеописанный подход получается:

Потому что нижнюю часть матрицы мы можем создать из верхней половины матрицы. Только при условии того, что у нас главная диагональ должна быть пустой, потому что при наличии петель данное правило не работает.

Если граф неориентированный, то, когда мы просуммируем строку или столбец мы узнаем степень рассматриваемой нами вершины.

Если мы используем ориентированный граф, то кое-что меняется.

Здесь отсутствует дублирование между вершинами, так как если вершина 1 соединена с вершиной 2, наоборот соединена она не может быть, так у нас есть направление у ребра.

Возьмем в этот раз ориентированный граф и сделаем матрицу смежности для него:

Если мы работаем со строкой матрицы, то мы имеем элемент из которого выходит ребро, в нашем случаи вершина 1 входит в вершину 2 и 8. Когда мы работаем со столбцом то мы рассматриваем те ребра, которые входят в данную вершину. В вершину 1 ничего не входит, значит матрица верна.

Если бы на главной диагонали была бы 1, то есть в графе присутствовала петля, то мы бы работали уже не с простым графом, с каким мы работали до сих пор.

Матрица инцидентности

Инцидентность – понятие, используемое только в отношении ребра и вершины: две вершины (или два ребра) инцидентными быть не могут.

Матрица (назовем ее I) состоит из n строк которое равно числу вершин графа, и m столбцов, которое равно числу ребер. Таким образом полная матрица имеет размерность n x m. То есть она может быть, как квадратной, так и отличной от нее.

Ячейка в позиции I (i, j) равна 1 тогда, когда вершина инцидентна ребру иначе мы записываем в ячейку 0, такой вариант представления верен для неориентированного графа.

Сразу же иллюстрируем данное правило:

Сумма элементов i-ой строки равна степени вершины.

Одной из особенностей данной матрицы является то, что в столбце может быть только две ненулевых ячейки. Так как у ребра два конца.

Список смежности (инцидентности)

Список смежности подразумевает под собой, то что мы работаем с некоторым списком (массивом). В нем указаны вершины нашего графа. И каждый из них имеет ссылку на смежные с ним вершины.

В виде списка это будет выглядеть так:

Неважно в каком порядке вы расположите ссылку так как вы рассматриваете смежность относительно первой ячейки, все остальные ссылки указывают лишь на связь с ней, а не между собой.

Так как здесь рассматривается смежность, то здесь не обойдется без дублирования вершин. Поэтому сумма длин всех списков считается как:

Когда мы работаем с ориентированным графом, то замечаем, что объем задействованной памяти будет меньше, чем при неориентированном (из-за отсутствия дублирования).

Сумма длин всех списков:

Со списком инцидентности все просто. Вместо вершин в список (массив) вы вставляете рёбра и потом делаете ссылки на те вершины, с которыми он связан.

К недостатку списка смежности (инцидентности) относится то что сложно определить наличие конкретного ребра (требуется поиск по списку). А если у вас большой список, то удачи вам и творческих успехов! Поэтому, чтобы работать максимальной отдачей в графе должно быть мало рёбер.

Взвешенность графа

К примеру, возьмем граф с весами на ребрах:

И сделаем матрицу смежности:

В ячейках просто указываем веса ребра, а в местах где отсутствует связь пишем 0 или -∞.

Более подробно данное определение будет рассмотрено при нахождении поиска кратчайшего пути в графе.

Итак, мы завершили разбор представления графа с помощью матрицы смежности и инцидентности и списка смежности (инцидентности). Это самые известные способы представления графа. В дальнейшем мы будем рассматривать и другие матрицы, и списки, которые в свою очередь будут удобны для представления графа с определёнными особенностями.

Если заметили ошибку или есть предложения пишите в комментарии.

Источник

Матричные способы задания графов

Содержание:

1. Основные понятия теории графов. 3

2. Матричные способы задания графов. 4

3. Упорядочение элементов орграфа. 6

4. Постановка задачи о максимальном потоке. Основные определения. 8

5. Разрез на сети. 11

6. Алгоритм решения задачи о максимальном потоке. 13

Список использованной литературы.. 21

Введение

В последнее время в различных областях знаний широко применяется теория графов. С помощью теории графов хорошо описываются задачи экономической и планово-производственной практики, как, например, календарное и сетевое планирование и управление, автоматизация управления производством, рационализация схем перевозок и грузопотоков, оптимальное размещение производства т.п.

Основные понятия теории графов

На практике используются графы, в которых множества X и U состоят из конечного числа элементов, то есть конечные графы. На рисунке располагать вершины графа можно произвольно. Также произвольно выбирается и форма соединяющих их линий. Поэтому один и тот же граф (граф с одной и той же информацией) может быть представлен в различных видах. Такие графы называются изоморфными.

Смежными называют вершины графа, если они различны и существует дуга (ребро), которая соединяет эти вершины. Если две дуги (ребра) имеют общую концевую вершину, то такие дуги (ребра) смежные.

Последовательность дуг, в которой конец каждой предыдущей дуги совпадает с началом следующей, называется путем в орграфе. Путь, проходящий через все вершины и при этом только один раз, называется гамильтоновым. Путь, включающий все дуги графа, и при этом только по одному разу, называется эйлеровым. Полным путем называют любую непрерывную последовательность вершин и дуг, идущих от начальной вершины к конечной. Конечный путь, у которого начальная вершина совпадает с конечной, называется контуром.

Граф называется связным, если для любых двух его вершин существует путь, их соединяющий; в противном случае граф называется несвязным.

В экономике чаще всего используются два вида графов: дерево и сеть.

Дерево представляет собой связный граф без циклов, имеющий исходную вершину (корень) и крайние вершины; пути от исходной вершины к крайним вершинам называются ветвями.

Если граф, вообще говоря, не связный, не содержит циклов, то каждая связная его часть будет деревом. Такой граф называется лесом.

В приложении теории графов к практическим задачам дугам (ребрам) графа сопоставляют какие-то числовые характеристики. Например, пропускная способность транспортной магистрали, запас какого-либо ресурса, продолжительность выполнения какой-либо работы и т.д. Таким образом, дугам графа приписаны определенные веса и граф G называется взвешенным.

Матричные способы задания графов

Граф может быть представлен как в виде рисунка, так и в виде матрицы. Это бывает необходимо при большом числе вершин и дуг (ребер), когда рисунок теряет свою наглядность. Матричное представление графов используется при исследовании его на ЭВМ.