Чтобы без труда вычислить объём любой фигуры, нужно разобраться с определениями.
Объём — это количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом.
Другими словами, это то, сколько места занимает предмет.
Объём измеряется в единицах измерения размера пространства, занимаемого телом, то есть в кубических метрах, кубических сантиметрах, кубических миллиметрах.
За единицу измерения объёма можно принять куб с ребром 1 см, то есть, кубический сантиметр (см 3 ), кубический миллиметр (1 мм 3 ), кубический метр (1 м 3 ).
Объём всегда выражается в положительных числах. Это число показывает, какое именно количество единиц измерения есть в теле. Например, сколько воды в бассейне, сока в графине, земли в клумбе.
Два свойства объёма
Любое объемное тело имеет объем. Получается, при желании мы можем вычислить объем кружки, смартфона, вазы, кота — чего угодно.
Объем прямоугольного параллелепипеда
Прямоугольный параллелепипед — это многогранник с шестью гранями, каждая из которых является параллелограммом.
Прямоугольным параллелепипедом называют параллелепипед, у которого основание — прямоугольник, а боковые ребра образуют с основаниями прямые углы.
Формула объема прямоугольного параллелепипеда
Чтобы вычислить объем прямоугольного параллелепипеда, найдите произведение его длины, ширины и высоты:
V = a × b × h
Чтобы не запутаться в формулах, запоминайте табличку с условными обозначениями.
Все реальные тела занимают некоторое место в пространстве, поэтому часто приходиться сталкиваться с таким понятием как объем.
На этом уроке мы попытаемся выяснить, что такое объем.
Определим его основные свойства.
Узнаем, в каких единицах измерения объем выражается.
Выясним, как взаимосвязаны между собой единицы объема.
Научимся находить объем прямоугольного параллелепипеда и применим эти знания при решении задач.
Объем. Объем прямоугольного параллелепипеда
Итак, любое тело в пространстве характеризуется объемом.
Давайте разберемся, что же такое объем.
Объем слово многозначное.
Выделяют два основных значения слова «объем».
1. Объемом называют величину, которая характеризует содержание чего-либо или количество содержащегося.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Приведем несколько примеров:
Объем книги- это количество листов. Он измеряется условными единицами- листами (печатными, авторскими, учетно-издательскими).
Объем книги характеризуется количеством текста и иллюстраций.
Объем производства- результат деятельности предприятия по производству продукции или предоставлению услуг.
Объем производства может выражается в натуральных, трудовых или стоимостных единицах.
Объем работ- это количество различных действий и операций и частота их выполнения.
Часто объем выполненных работ приходится определять при строительстве, ремонте и других работах, что позволяет заказчику отслеживать и контролировать выполнение каждого этапа этих работ.
Объем крови- количество крови в теле человека.
Зависит от возраста, половой принадлежности, массы, роста, состояния и массы мышц.
Например, у спортсмена объем крови в организме больше, чем у того, кто ведет малоподвижный образ жизни; у мужчины немного больше, чем у женщин.
Измерение объема крови осуществляется в литрах.
Определять объем крови необходимо при донорстве или перед проведение операции для расчета анестезии.
Объем легких (по-другому, легочная емкость)- это количество воздуха, который проходит через легкие.
Емкость легкого измеряют в литрах.
В медицине часто измеряют объем легких для диагностирования различных легочных заболеваний и в других медицинских исследованиях.
Объем информации (объем данных) определяется количеством символов, заключенных в тексте, и количеством информации, которой обладает каждый символ.
Объем информации выражают в специальных единицах памяти компьютера: битах, байтах и т.д
В математике объем имеет несколько другое значение.
Рассмотрим понятие объема с геометрической точки зрения.
2. Объем- это величина, характеризующая размер тела в пространстве.
Другими словами, объем- это величина, которая показывает сколько места тело занимает в пространстве.
Обычно объем обозначается латинской буквой V (от лат. volume- объем, наполнение).
Объем тела определяется его формой и размером.
Объем, как и любую другую величину, можно измерять.
Известно, чтобы измерить величину некоторой фигуры, необходимо определить сколько раз в ней помещается другая фигура, принятая за единицу измерения.
Квадратная единица представляет собой квадрат, стороны которого выражены линейными единицами.
Аналогично дело обстоит с измерением объема фигуры.
Объем измеряют кубическими единицами.
Кубическая единица представляет собой куб, стороны которого выражены линейными единицами. Другими словами, объем измеряется кубическими единицами длины.
Измерить объем фигуры- это значит найти сколько кубических единиц содержится в данной фигуре.
Определим объем уже известной нам пространственной фигуры- прямоугольного параллелепипеда.
Прямоугольный параллелепипед- это объемная геометрическая фигура, многогранник, состоящий из шести граней-прямоугольников, причем противоположные грани его попарно равны.
Объем прямоугольного параллелепипеда- это число, которое показывает, какое количество кубических единиц помещается в этот прямоугольный параллелепипед.
Таким образом, если разбить фигуру на n равных единичных кубиков, то объем будет равен n кубических единиц.
Пусть прямоугольный параллелепипед имеет следующие размеры:
Ширина а =3 (ед. длины)
Длина b=6 (ед. длины)
Высота h=2 (ед. длины)
Высота прямоугольного параллелепипеда- это расстояние между нижним и верхним основанием.
Выложим на нижнее основание прямоугольного параллелепипеда вдоль самой длинной стороны ряд из единичных кубиков (ребро каждого такого кубика равно одной единице длинны).
В такой ряд поместиться 6 единичных кубиков.
Чтобы закрыть все нижнее основание прямоугольного параллелепипеда, необходимо выложить 3 таких ряда по 6 кубиков в каждом.
Количество единичных кубиков, выложенных в основании, будет определяться выражением 6 ∙ 3.
Найдем значение данного выражения:
6 ∙ 3 = 18 (ед. кубиков).
Слой кубиков, из которых выложено дно прямоугольного параллелепипеда, состоит из 18 единичных кубиков.
Сколько таких слоев можно поместить в прямоугольный параллелепипед зависит от его высоты.
В нашем случае высота прямоугольного параллелепипеда равна двум единицам длины.
Следовательно, в измеряемом прямоугольном параллелепипеде можно уместить 2 слоя (каждый по 18 единичных кубиков).
Общее количество единичных кубиков будет определяться выражением 2 ∙ 18.
Найдем значение данного выражения:
2 ∙ 18 = 36 (ед. кубиков).
Следовательно, объем всего прямоугольного параллелепипеда равен 36 кубическим единицам.
По сути, чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, нам пришлось перемножить длины трех его сторон: ширины а = 3 (ед. длины), длины b=6 (ед. длины), высоты h=2 (ед. длины).
V =a∙b∙h = 3 ∙ 6 ∙ 2 = 36 (кубических единиц).
Запишем правило нахождения объема прямоугольного параллелепипеда.
Правило: объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений (трех его сторон: ширины а, длиныb, высотыh), выраженных в одинаковых единицах измерения.
Запишем правило в виде формулы.
Формула объема прямоугольного параллелепипеда выглядит так:
Таким образом, чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, не обязательно разбивать его на кубические единицы и считать их общее количество, необходимо просто знать длину, ширину и высоту этой фигуры.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Нам известно, что нижняя грань прямоугольного параллелепипеда с ребрами a и b— это его нижнее основание, и оно прямоугольной формы.
Так как основание параллелепипеда- это прямоугольник, то произведение (a∙b)- это ничто иное, как площадь основания прямоугольного параллелепипеда.
Sосн = a∙b— площадь основания прямоугольного параллелепипеда.
Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту.
Запишем правило в виде формулы.
Выясним, как выглядит формула объема для куба.
Известно, что куб- это прямоугольный параллелепипед, состоящий из шести одинаковых квадратов, следовательно, все ребра куба равны между собой; значит, ширина, длина и высота имеют одинаковые значения.
Таким образом, вычислить объем куба довольно просто, если знать значение его ребра.
Пусть а— это длина ребра куба.
Тогда для куба справедливо следующее: b= а,h= а.
Формула объема прямоугольного параллелепипеда V=a∙b∙h для куба примет вид:
V=a∙ а ∙ а = а 3
Умножив ширину на длину и на высоту, получим произведение трех равных по значению множителей.
Правило: чтобы вычислить объем куба, нужно перемножить значения трех его ребер или просто возвести ребро куба в третью степень.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Объём прямоугольного параллелепипеда. Единицы объёма
Перечень рассматриваемых вопросов:
— объём прямоугольного параллелепипеда, куба.
Прямоугольный параллелепипед – это шестигранник, у которого все грани являются прямоугольниками.
Высота, длина и ширина – это измерения прямоугольного параллелепипеда.
1. Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.
1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 класс.// П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О.Ф. Зарапина. – М.: Просвещение, 2009. – 142 с.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 классы. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014. – 95 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Как вы думаете, что больше занимает места– 1 кг ваты или 1 кг гвоздей? Чтобы ответить на этот вопрос, нужно знать величину, которая называется объём. В данной задаче ответ очевиден, так как мы можем представить предметы визуально. Но не всегда ответ может быть таким простым. Чаще всего нужно произвести определённые вычисления.
Сегодня мы рассмотрим объём прямоугольного параллелепипеда и научимся его находить.
Объём можно измерить. Его измеряют в кубических миллиметрах, кубических сантиметрах, кубических метрах, литрах и т. д.
Найдём соотношение между единицами измерения объёма.
1 дм 3 = 1000 см 3 = 1 л
1 км 3 = 1000000000 м 3
В древности в разных частях планеты люди по-разному измеряли объём. Например, в Древней Греции использовали глиняные мерные сосуды для зерна или жидкостей. Причём это были амфоры разного размера. Поэтому значение единицы объёма менялось от 2 до 26 литров.
На Руси основной мерой жидкостей считалось ведро, в котором 10 кружек или 12 литров. Также для подсчётов объём ведра делили пополам, то есть на два полуведра, которые, в свою очередь, тоже можно было поделить пополам. Для торговли с иностранцами использовали меру объёма, называемую бочка, которая равнялась 40 вёдрам.
Дадим определение единичного куба – это куб, ребро которого равно линейной единице. Его тоже принимают за единицу объёма.
Если прямоугольный параллелепипед можно разрезать на К единичных кубов, то говорят, что его объём V равен К кубическим единицам.
Например, на рисунке объём параллелепипеда равен 24 кубическим единицам.
Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений, то есть произведению длины а, ширины bи высоты c, или произведению площади основания S на высоту c.
Так как куб является прямоугольным параллелепипедом, у которого все измерения равны, то его объём равен третьей степени длины его ребра а.
Чтобы решить эту задачу переведём единицы измерения длины в сантиметры.
Получается, что высота аквариума равна 60 см. Но по условию задачи требуется определить объём налитой жидкости, а её высота соответствует разности между высотой аквариума и уровнем жидкости, не доходящей до края:
с = 60 см – 5 см = 55 см
Получается, что высота жидкости в сосуде соответствует 55 см.
Теперь можно определить объём воды, которая налита в аквариум.
Для этого используем следующую формулу:
V = S · с = 1400 см 2 · 55 см = 77000 см 3
Ответ: мальчик налил в аквариум 77000 см 3 воды.
Разбор решения заданий тренировочного модуля
№ 1. Чему равен объём куба, если длина его ребра равна 3 см?
Решение: для нахождения объёма куба нужно воспользоваться формулой.
V = а 3 = (3 см) 3 = 27 см 3
№2. Как изменится объём прямоугольного параллелепипеда, если его длину увеличить в три раза. Подчеркните правильный ответ.
Решение: чтобы ответить на вопрос, нужно воспользоваться формулой для вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда.
V = а · b · c, где а – длина прямоугольного параллелепипеда.
Если длина возрастет в три раза, то объём, соответственно, увеличится в три раза, так как, длина – это один из трёх множителей, входящих в формулу объёма прямоугольного параллелепипеда:
Объём тела– величина, характеризующая часть пространства, занимаемую телом, и определяемая формой и линейными размерами этого тела.
Основные свойства объёма:
— равные тела имеют равные объёмы;
— если тело составлено из нескольких тел, то его объём равен сумме объёмов этих тел.
Атанасян Л. С. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы [текст]: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни – М.: Просвещение, 2014. – 255 с. С. 130–133.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
С понятием объёмного тела, отличающегося от плоской фигуры, мы познакомились ещё в начальной школе.
Объёмом принято называть положительную величину, характеризующую часть пространства, занимаемую телом, и определяемую формой и линейными размерами этого тела.
Мы можем вычислить объём тела точно так же, как ранее находили площадь фигуры. Объём принято измерять в единицах измерения объёма (единицах измерения размера пространства, занимаемого телом), то есть в кубических метрах, сантиметрах, миллиметрах и так далее. За единицу измерения объёма можно принять куб с ребром 1 см, то есть, кубический сантиметр (обозначение: см 3 ). По аналогии, можно за единицу измерения объёма принять кубический миллиметр (1 мм 3 ), кубический метр (1 м 3 ) и тому подобное.
Объём выражается в положительных числах. Это число показывает, сколько единиц измерения содержится в теле. Например, сколько кубических миллиметров в аквариуме, сколько кубических метровв бассейне и так далее.
Объём обозначается заглавной латинской буквой V.
Рассмотрим свойства объёмов.
Свойство № 1. Равные тела имеют равные объёмы. Это означает, что если два тела идентичны, то есть имеют равное количество единиц измерения и частей, то равны и их объёмы. Например, 2 одинаковых пакета молока равны в объёме.
Свойство № 2. Если тело составлено из нескольких тел, то его объём равен сумме объёмов этих тел.
Следствие из основных свойств объёмов.
Объём куба с ребром 1/n равен 1/n 3
Доказательство. Рассмотрим куб, объём которого принят за единицу измерения объёмов, тоесть равный некоторому числукубических сантиметров. Его ребро равно единице измерения отрезков. Разобьём каждое ребро этого куба на произвольное количество частей – nтак, чтобы провести плоскости, перпендикулярные к этому ребру.
По второму свойству объёмов, сумма объёмов всех кубиков равна объёму всего куба (1 см 3 ). Следовательно, поскольку мы разбили каждое ребро на n частей, то каждый маленький куб внутри большого куба будет иметь ребро
Объём прямоугольного параллелепипеда
Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений.
Обозначимизмеренияпрямоугольного параллелепипеда P буквами a,b,c, его объём буквой V, и докажем, что V = a ∙ b ∙ c.
Рассмотрим два возможных случая.
По доказанному в первом случае, левая часть неравенства представляет собой объём Vn прямоугольного параллелепипеда Pn с измерениями an, bn, cn, а правая часть – это объём Vn’ прямоугольного параллелепипеда Pn’ с измерениями an’, bn’, cn’. Так как параллелепипед P содержит в себе параллелепипед Pn, а сам содержится в параллелепипеде Pn’, то объём V параллелепипеда P заключён между Vn, = anbncn и Vn’= an’bn’cn’. Будем неограниченно увеличивать n. Тогда 1/10 n будет становиться сколь угодно малым, и поэтому произведение an’bn’cn’ будет сколь угодно мало отличаться от числа, выраженного произведением anbncn. Отсюда следует, что число V сколь угодно мало отличается от числа, выраженного произведением anbncn, а значит, они равны.V = abc, что и требовалось доказать.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля.
№1.Длины сторон основания прямоугольного параллелепипеда равны 15 см и 20 см. Высота параллелепипеда равна диагонали основания. Найдите объём этого параллелепипеда.
Найдём длину диагонали основания, для этого воспользуемся теоремой Пифагора:
№2.