что больше бесконечность или бесконечность в квадрате
Что больше? Бесконечность или две бесконечности?
В современной математике нет определения бесконечности. Есть символ ∞, который читается «бесконечность», но обозначают этим символом разное. Поэтому ответ зависит от того, что подразумевается под этим словом.
Когда-то в XVIII, XIX веках с бесконечностью обращались вольнее, но со временем математики выяснили, что вольное обращение приводит к парадоксам. Поэтому словоупотребление и символы оставили, а смыслы уточнили. Сейчас, когда математики говорят «бесконечность», они подразумевают понятия, которые строго определяются без этого слова.
Прежде чем рассматривать бесконечность-другую, надо уточнять, что именно имеется в виду.
Например, мы привыкли к пределам «при n, стремящемся к бесконечности». Но эти слова не означают, что существует какая-то бесконечность. Они означают длинное условие (для любого ε>0 существует такое N, что для всех n>N…) и подразумевают замысловатую абстрактную конструкцию.
Одно из распространенных пониманий бесконечности — обозначение мощности бесконечного множества. Возьмем четные натуральные числа 2, 4, 6, 8… и нечетные 1, 3, 5, 7, … Каких больше? Эти множества равномощны, ведь мы можем установить соответствие как на картинке:
Для каждого нечетного числа укажем четное и наоборот; в этом смысле четных и нечетных чисел «поровну». Это «поровну» не означает равное количество, ведь и тех и других бесконечно много.
Возьмем да и объединим четные числа с нечетными в одно множество — получатся натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …
Если бы объединяли конечные множества, скажем, в одном 3 элемента, в другом 4, то в общей кучке количество элементов — это сумма 3+4, или 7. Поэтому может показаться, что когда объединили бесконечно много четных чисел и бесконечно много нечетных, то получится две бесконечности.
На самом деле не получится, хотя это и противоречит нашей интуиции. Натуральных чисел ровно «столько же», сколько четных, ведь мы можем опять построить соответствие:
Здесь каждому натуральному числу соответствует четное и наоборот. Значит, множества натуральных чисел и четных равномощны.
Мы объединили два разных бесконечных множества и получили одно, равномощное им. В этом смысле две бесконечности не больше одной; но это был лишь маленький пример. Есть много других пониманий бесконечности, сложения бесконечностей или сравнения бесконечностей.
Факты о Бесконечности
Все люди знают это число и используют для описания чего-то непостижимо огромного. Однако бесконечность — не такое простое понятие, как кажется на первый взгляд.
1. Согласно правилам бесконечности, существует бесконечное число как чётных, так и нечётных чисел. Тем не менее, нечетных чисел будет ровно половина от общего количества чисел.
2. Бесконечность плюс единица равняется бесконечность, если отнять единицу — получаем бесконечность, сложив две бесконечности получим бесконечность, бесконечность, поделённая на два, равняется бесконечности, если вычесть бесконечность из бесконечности, то результат не вполне ясен, а вот бесконечность, поделённая на бесконечность, скорее всего, равняется единице.
3. Учёные определили, что в известной нам части Вселенной существует 1080 субатомных частиц — это та часть, которую исследовали. Многие учёные уверены, что Вселенная бесконечная, а учёные, которые скептически относятся к бесконечности Вселенной, в данном вопросе всё-таки допускают такую вероятность.
4. Если Вселенная бесконечна, то с математической точки зрения получается, что где-то находится точная копия нашей планеты, поскольку существует вероятность, что атомы «двойника» занимают такое же положение, как и на нашей планете. Шансы, что такой вариант существует, ничтожно малы, но в бесконечной Вселенной это не только возможно, но и обязательно должно произойти, и, по меньшей мере, бесконечное число раз, при условии, что Вселенная все-таки бесконечно бесконечна.
5. Однако не все уверены, что Вселенная бесконечна. Израильский математик, профессор Дорон Зельбергер, убеждён, что числа не могут увеличиваться бесконечно, и существует такое огромное число, что если прибавить к нему единицу, получится ноль. Тем не менее, это число и его значение лежат далеко за пределами человеческого понимания, и вероятно, это число никогда не будет найдено и доказано. Это убеждение является главным принципом математической философии, известной как «Ультрабесконечность».
Виды бесконечностей и вынос мозга
Эта статья — продолжение статьи про громадные числа. Но сейчас мы пойдем еще дальше — в бесконечности бесконечностей.
Для этого нам понадобится ZFC — теория множеств Zermelo, Frenkel + Choice. Choice — это аксиома выбора, самая спорная аксиома теории множеств. Она заслуживает отдельной статьи. Предполагается, что вы знаете, что такое «мощность» множества. Если нет, то погуглите, наверняка это изложено лучше, чем смогу я. Здесь я лишь напомню некоторые
Известные факты
Малоизвестные факты
В ZFC не все собрания элементов могут быть множествами. Бывают коллекции столь широкие, что позволить им быть множествами нельзя, возникают парадоксы. В частности, «множество всех множеств» не есть множество. Впрочем, есть теории множеств, где такие множества разрешены.
Дальше. Теория множеств… Каких объектов? Чисел? Яблок? Апельсинов? Как ни странно, ZFС не нуждается ни в каких объектах. Возьмем пустое множество <> и договоримся, что оно означает 0. 1 обозначим с помощью <<>>, двойку как <<<>>> итд. <5,2>есть <<<<<<<>>>>>>, <<<>>>>. С помощью целых чисел мы можем создать вещественные, а коллекции вещественных создают любые фигуры.
Таким образом, теория множеств это… как бы сказать… пустотелая теория. Это теория ни о чем. Точнее, о том как можно нестить (nest, то есть вкладывать друг в друга) фигурные скобки.
Единственная операция, которая определена в теории множеств, это 
— символ принадлежности. А как же объединение, исключение, равенство итд.? Все это макросы, например:
То есть, в переводе на русский язык, два множества считаются одинаковыми, когда при тестировании любого элемента на принадлежность к им мы будем получать одинаковые результаты
Множества не упорядочены, но это можно исправить: пусть упорядоченная пара (p,v) это <
,
Таким образом, теория множеств — это убогая теория без объектов и с одним значком отношения, которая обладает совершенно чудовищной силой — без каких то новых допущений она порождает из себя формальную арифметику, вещественные числа, анализ, геометрию и многое другое. Это своеобразное TOE математики.
Гипотеза континуума — CH
Существует ли мощность между 
и 
? Это проблему не мог решить Кантор, «король математиков» Гильберт высоко оценивал ее важность, но лишь позже было доказано что эту гипотезу нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Она независима от ZFC.
Это означает, что вы можете создать две разных математики: одну с ZFC+CH, другая ZFC+(not CH). На самом деле даже больше, чем две. Допустим, мы отвергнем CH, то есть будем верить, что между и есть еще мощности. Сколько их может быть? Одна, две? Гедель верил, что только одна. Но, как оказалось, предположение о том, что их 2, 17, 19393493 не приводит к противоречиям. Любое число, но не бесконечное!
Когда в формальной арифметике мы сталкиваемся с недоказуемым утверждением, то в силу определенных причин мы знаем, что, тем не менее, это утверждение, хоть и не доказуемо, но на самом деле либо истинно, либо ложно. В теории множеств это не работает, мы реально получаем разные математики. Как к этому относиться? Есть три философских подхода:
Формализм: а чему, собственно, удивляться? Мы задаем правила игры в символы, разные правила — разный результат. Не надо искать проблему там, где ее нет
Платонизм: Но как тогда объяснить, что совершенно разные теории, например ZFC и New Foundations, построенные по совершенно разным принципам, дают почти всегда один и тот же результат? Не говорит ли это о том, что за формулами стоит какая то реальность, которую мы изучаем? Такой точки зрения придерживался, например, Гедель
Multiverse: У нас может быть много аксиоматик, иногда дающих одинаковый результат, иногда нет. Мы должны воспринимать картину в целом — если с разными системами аксиом ассоциировать цвет, то цветное дерево следствий и есть математика. Если что-то верное везде — это белый цвет, но есть и цветные ветви.
Все выше и выше.
Как далеко мы можем продвинуться? После бесконечного количества итераций мы дойдем до 
— бесконечная по порядку мощность! Кстати, ее существование было неочевидно Кантору. Но секунду! Ведь функция powerset всегда определена, поэтому не может быть последней!
Чтобы получить 
надо повторить powerset бесконечность и еще три раза. У вас уже начало сносить крышу? То ли еще будет. Потому что снова проитерировав powerset бесконечное число раз, мы дойдем до 
, после чего, естественно, идет 
Дойдя до бесконечности бесконечное число раз, мы получим индекс 
. Как вам такая мощность, например: 
? Пока мы итерировали powerset по списку ординалов, вот начальные ординалы:
но их значительно, значительно больше. Так что мы сразу все это пропустим и сделаем
Сразу большой шаг
Далее мы пойдем быстрее:
У последнего алефа индекс ноль, но местный latex не дает его поставить — слишком много уровней. Но главное вы поняли, какую бы новую чудовищную мощность мы бы не создали, мы можем сказать — ага, это всего лишь повторитель, и поставить всю эту конструкцию к новому алефу в виде индекса. Теперь мощности растут как снежный ком, нас не остановить, пирамида алефов все выше, и мы можем создать любую мощность… Или нет?
Недостижимые мощности
Что если есть мощность настолько большая, 
, что как бы мы ее ни пытались достичь «снизу», выстраивая конструкции из алефов, мы ее не достигнем? Оказывается, существование такой мощности независимо от ZFC. Вы можете принять ее существование или нет.
Я слышу шепот «бритва Оккама»… Нет, нет. Математики придерживаются противоположного принципа, который называется онтологический максимализм — пусть существует все, что возможно. Но существуют еще как минимум две причины, почему эту гипотезу хочется принять.
Второе: если отвергнуть аксиому бесконечности, то мы получим FinSet, простую игрушечную теорию множеств с конечными множествами. Давайте выпишем все эти множества (так называемая модель теории)
И получим… бесконечное множество конечных множеств… То есть, модель теории конечных множеств бесконечна, и играет в ней роль «множества всех множеств». Может быть, это поможет понять, почему теория не может говорить о «множестве всех множеств» — такое множество всегда существует как модель вне теории и обладает другими свойствами, чем множества внутри. Вы не можете добавить в теорию конечных множеств бесконечное.
И да, это «множество всех множеств» теории ZFC. В этом видео в конце очень красиво сказано про недостижимую мощность, но нам пора дальше.
Еще дальше.
Разумеется, мы можем пойти дальше, итерируя 
. Пройдя все описанные этапы, построив огромные башни повторителей, мы снова упремся в недостижимый кардинал (но теперь нам не нужны новые аксиомы, с аксиомой существования недостижимой мощности, которую мы только что добавили, это стало доказуемо). И снова и снова.
Заметьте, что теперь стрелка у нас имеет смысл не как выполнение функции Powerset(), а GetNextInaccessible(). В остальном все выглядит очень похоже, мы имеем:
Теперь то мы точно достигнем чего угодно… Или нет?
Иерархия больших мощностей.
Да, с помощью GetNextInaccessible мы упремся уже в гипер-недостижимую мощность. Существование ее требует принять еще одну аксиому. Есть и гипер-гипер-недостижимые мощности. И так далее. Но есть и другие способы определять мощности, не только через недостижимость:
За каждой ссылкой стоит, как правило, целая бесконечная иерархия с произвольным количеством приставок hyper- и повторителей. Однако, общее количество формул, определяющие недостижимые кардиналы, не такое уж большое — ведь количество формул счетно. Поэтому рано или поздно они кончатся. Там, где они кончаются, проведена красная черта. Все, что ниже этой черты, определяется более зыбко, хотя и формально.
Сама красная черта обозначает конец вселенной Геделя (но не забываем, что Гедель создал ДВЕ разные вселенные) — вселенная множеств, конструируемых «снизу» с помощью формул. Мощности выше красной черты называются хм, «малыми», а ниже — большими:
Главная идея в них в том, что вселенная множеств становится столь большой, что начинает повторять себя в разных смыслах. Каждая строчка, как всегда, требует отдельной аксиомы, и нескольких. И что еще интереснее, все это не настолько бесполезно, как вы могли подумать. Например, самая сильная аксиома (rank-into-rank), в самой нижней строчке, нужна, чтобы доказать факт о табличках.
Ниже опрос, последний вариант выбора расшифрован тут.
Запредельные числа: математик объясняет гуманитариям, что такое бесконечность
Теории и практики
Умение обращаться с бесконечностью — пожалуй, основное в математике. Математик Алексей Савватеев объясняет, что это такое, а заодно рассказывает о том, как человек открывал для себя числа: от рациональных к иррациональным, от алгебраических к трансцендентным. T&P публикуют отрывок из его книги «Математика для гуманитариев. Живые лекции».
Математика для гуманитариев. Живые лекции
Алексей Савватеев
Университет Дмитрия Пожарского, 2018
Премия «Просветитель»
Алексей Савватеев: Вот одна интересная задача. Начнем издалека. В 2000 году, где-то зимой, мы были в лесу в районе Радищева, праздновали чей-то день рождения. Вокруг было очень мало сухих деревьев, все спилили до нас. Было только огромное, совершенно сухое дерево. И это дерево огромного размера стояло и очень нас заманивало. У нас была двуручная пила, и мы начали пилить. Пилили-пилили, пилили-пилили и допилили. Дерево сделало «тцук…» и село на нашу пилу. Пила осталась внутри, а полностью спиленное дерево стоит и падать не собирается.
Но стоит подуть ветру, и оно упадет. В какую сторону оно упадет — совершенно непредсказуемо. Что делать? Надо или вставать и уходить, написав со всех сторон «Внимание, внимание до ближайшего ветра сюда не подходить», или пытаться уронить дерево. Мы решили с ним побороться. Взяли вспомогательное дерево и прислонили его к спиленному где-то на высоте десяти метров. Навалились, и оно поддалось.
Интеллектуальная медитация: чем математика похожа на литературу и как решаются великие задачи
Было видно, как дерево начало падать. Но скорость была чудовищно медленная: несколько сантиметров в секунду, едва-едва. Где-то минуту мы ждали, пока оно медленно наклонялось, и только потом оно начало ускоряться и через несколько мгновений рухнуло со страшным грохотом. Пришел я домой и написал уравнение падения дерева. В физике траекторию движения системы под действием сил можно выписать в виде уравнений. Такие уравнения называются дифференциальными. Это означает, что скорость изменения скорости, то есть то, что называется ускорение, зависит от сил, которые действуют на тело. Это один из основных законов физики, он позволяет свести все, что есть в обычной, не квантовой, механике, к системам уравнений. Можно выписать такое уравнение и для нашего дерева. И к своему удовольствию, исследовав это уравнение, я пришел к выводу, что, если дать дереву толчок очень маленькой силы, оно начинает падать очень, очень, очень медленно.
Я начинаю рассуждать, что дерево — это просто вертикальная палка, без толщины. Она стоит совершенно вертикально, но обладает массой. Массивная вертикальная палка. Кто-то толкает ее сверху. Ударит человек — палка падает (скажем) 1 минуту. Пролетит голубь, заденет — будет падать 10 минут. Начальная скорость верхней точки будет, скажем, 1 мм/с. И очень долго скорость почти не будет меняться. А если врежется муха, то палка будет падать час. Уравнение выдает удивительный результат: на самом деле нет никакой границы на время падения дерева, вообще никакой.
Рассмотрим похожую задачу. Есть вагончик, в котором на шарнире установлена тонкая железная вертикальная палка. Чуть-чуть вправо или влево — она падает, так же, как и рассмотренное выше дерево. Теперь представьте обратную задачу. Вы берете уже упавшую или под некоторым углом висящую палку. После чего придаете ей некоторый импульс — толкаете ее снизу вверх.
Какие возможны варианты? Во-первых, толчок может быть слишком маленький. Что произойдет с палкой? Поднялась и упала обратно. Теперь, допустим, подошел какой-нибудь бугай. Бабах по этой палке. Она р-раз и перелетела на другую сторону. Подходит кто-то немножко более сильный, чем я, но слабее, чем бугай. Толкает палку, а она все равно падает.
Вернемся к нашей палке. Если вы ударили слишком слабо, то результат будет — палка упадет обратно. Если очень сильно ударить, то палка перевернется на другую сторону. И есть ровно одна сила удара, одно вещественное число, которую нужно придать палке, чтобы она остановилась вертикально. Вопрос. Сколько нужно времени в идеальном мире, в котором нет воздуха, трения и так далее, чтобы палка заняла вертикальное положение?
Слушатель: Смотря под каким углом было изначально.
А. С.: Нет. От того, под каким углом была изначально палка, зависит только то, с какой силой нам надо толкнуть палку. А времени понадобится бесконечное количество. Строгая математическая бесконечность. То есть, если палке придать такую силу, которая в точности достаточна для того, чтобы она достигла положения вертикального равновесия, то время, за которое палка будет достигать это положение, равно плюс бесконечности. В условиях задачи, когда мы говорим об идеальной математике, мы, естественно, не учитываем, что вокруг меняются обстоятельства. В идеальной ситуации время равно бесконечности. Я посчитал все это в 2000 году, потом рассказал физикам, а они сказали, что это очевидно, и все они это давно знали. Наверное, кому-нибудь не хочется верить, что потребуется бесконечное количество времени. Я дам еще одно подтверждение. Давайте вернемся к тележке. Пусть это будет вагон, внутри которого находится наша палка на шарнире. Вагон едет по маршруту Москва — Петербург. И мне сообщили, с точностью до 100% (так, как у математиков бывает, а в жизни нет) информацию о скорости, с которой вагон будет двигаться.
График изменения скорости поезда Москва — Петербург
Утверждение. Существует такое положение палки, такой угол, в котором я могу ее выпустить из рук в начальный момент времени, что она не упадет в течение всей дороги. Существует такой угол альфа, что, если я придам железке на шарнире этот угол, то она всю дорогу будет болтаться туда-сюда, но никогда не упадет. Обоснование этого факта изложено ниже.
Эта задача разобрана в книге, которую я всем рекомендую: Р. Курант, Г. Роббинс, «Что такое математика?» Идея решения этой задачи — использование непрерывности. Мы один раз уже с ней столкнулись в предыдущей задаче: есть такой импульс, получив который, палка не упадет ни направо, ни налево. Она встанет вертикально, но через бесконечное время. Задача про вагон, в котором движется железный стержень на шарнире, напрямую относится к предыдущей. Давайте посмотрим. Если палка уже лежит, то она будет всегда лежать. Она никогда никуда не встанет. А теперь рассмотрим для каждого начального угла поворота этой палки, в какое положение она в конечном счете ляжет: направо или налево. А если она останется висеть, значит, мы нашли то, что нам нужно.
Если палка ляжет, то она ляжет в одно из этих двух положений. Причем уравнения движения таковы, что если чуть-чуть поменять угол, совсем чуть-чуть, сторона падения не изменится. Если палка падала направо, то изменив угол, вы не измените результата. Она все равно упадет направо. Тем самым, если в одно положение она падала, значит, и в близких положениях она тоже должна падать в то же положение. То есть, как говорят математики, множество положений, в которых оно упадет направо — открытое множество. «Открытое» — значит вместе с точкой содержит все близкие ей точки. Если из положения палка падает, то из всех достаточно близких положений она упадет в ту же сторону.
Находка T&P: признания людей о своих чувствах к математике, расположенные на интерактивной карте
Интуитивно понятно, что мы можем всегда приподнять палку настолько мало, что она непременно упадет обратно. Но при малом отклонении от этого положения она тоже упадет. Давайте медленно изменять это положение. В положениях оно будет падать направо, а в — налево. Значит, где-то есть переход, угол, такой, что всюду справа она падает направо, всюду слева — налево. Что же это за угол? Единственный факт, который мы можем сообщить про этот угол, это что для такого угла палка не упадет вообще. Ничего другого про него неизвестно. Парадоксально, но это факт! Если вы в это поверили (а я вас не обманываю), тогда в том, что в близком к вертикальному положению палка может находиться сколь угодно долго, вас убедит следующее соображение. На стоянке в Бологом поезд может стоять 10 минут, а может — час. И в течение этого часа палка не упала. Она ведь не падала всю дорогу, в частности, она не упала и в течение стоянки. Что же она делала в это время?
А. С.: Она была очень близко к вертикальному положению. Потому что, если бы она чуть-чуть от него отклонилась, она рухнула бы. Поэтому во время стоянки она была очень близко к вертикальному положению. А так как стоянка может быть сколь угодно долгой, из этого следует, что палка в районе вертикального положения может находиться сколь угодно долго. Поэтому-то она будет подниматься в него бесконечное время.
Это наше второе знакомство с бесконечностью. Сейчас будет третье.
Слушатель: Гвоздь программы.
А. С.: Бесконечность — это гвоздь программы, безусловно. Потому что бесконечность — это центральное понятие в математике.
Математика — это шаг через бесконечность. Освоение математики — это, когда вы становитесь с бесконечностью «на ты». И чем больше вы «на ты» с бесконечностью, тем лучше вы понимаете математику. Это наука о бесконечности. В этом смысле, математика и религия дополняют друг друга. Религия — это знание о бесконечности, математика — наука о бесконечности. Это две ипостаси бытия.
Сейчас мы поговорим о бесконечности в некотором другом разрезе, геометрическом. Помните ли вы, что такое квадратный корень? Корень квадратный из 100 — это 10. Потому что 10 ⋅ 10 = 100. А вот что такое корень квадратный из двух — это не так понятно. А что такое рациональное число? Если вы не знаете, не страшно. Но что такое целое число, знают все. Целые числа — это ноль, один, два, три, четыре, пять, шесть и так далее в положительную сторону, но, также минус один, минус два, минус три, минус четыре и так далее в отрицательную. У древних была большая проблема с отрицательными числами. Число, бесконечность, уравнение — это то, с чем математики все время имеют дело. Что такое число? Для древних число — это то, чем мы считаем предметы. Ноль для древних уже было что-то странное. Число или не число? Ноль — это отсутствие предметов. Отсутствие — это количество или нет? Сколько крокодилов в нашей комнате?
В России натуральные числа по традиции начинаются с единицы. То есть ноль является целым числом, но не является натуральным.
А. С.: Я же могу сказать, что сейчас два с половиной градуса выше нуля?
А. С.: Или три и три четверти градуса.
И замостить вы можете сколь угодно плотно, можно ведь шагать шагами, равными 1/1000 или 1/1000000. Где бы вы ни сидели на числовой оси, где-то рядом с вами, очень близко живет число вида m/n.
Математики употребляют в такой ситуации страшный термин «всюду плотное множество». Это такое множество, в котором, куда бы вы ни сунулись, в любой близости от вас будут точки этого множества. Рациональные числа образуют всюду плотное множество на числовой оси. Вроде как вся прямая ими заполнена. Вполне можно было бы ожидать, что никаких чисел больше нет. Это логично, но это неправда. Древние обнаружили, что есть числа, заведомо непредставимые в виде m/n, ни при каких целых m и n.
Вот я и утверждаю, что корень из двух — именно такое число. Возьмем 4 квадрата со стороной единичка. И составим из них новый квадрат. Какой площади один маленький квадратик?
А. С.: Какой площади будет получившаяся фигура?
А. С.: Теперь я делаю следующее. Я провожу диагонали и спрашиваю вас, чему равна площадь получившегося внутри квадрата?
А. С.: Почему? Потому, что в каждом маленьком квадратике ровно половину взяли, а половину не взяли. Итак, совершенно очевидно, что площадь этой фигуры вдвое меньше, чем большого квадрата. С другой стороны, мы знаем, что если у квадрата сторона a, то площадь его равна a ⋅ a = a². Нам нужно найти сторону квадрата с площадью 2. А это и есть корень из двух. Значит, если у квадрата сторона 1, то его диагональ имеет длину «корень из двух».
Из школьного курса вы знаете теорему Пифагора.
А. С.: Теорема Пифагора говорит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Давайте я покажу доказательство этого без единой формулы. Теорему Пифагора не нужно доказывать формулами, ее нужно просто узреть, увидеть, она видна. Вот смотрите, я беру вот такое равенство: а² + b² = c². Мне нужно его доказать для любого прямоугольного треугольника со сторонами a, b, c.
Беру два квадрата со стороной a + b. Они будут одинаковые, но я их разобью на части.
Площадь внутри левого квадрата равна с². Площади квадратов внутри правого квадрата равны а² и b². Теперь смотрите, правый квадрат состоит из 4 треугольников и двух квадратов, а левый — из четырех таких же треугольников и одного квадрата. Но внешние квадраты имеют одинаковые площади. Из площади первого квадрата я вычел 4 одинаковые площади и из площади второго квадрата те же 4 площади. Значит, площадь оставшегося должна быть одинаковой. В одном случае остается с², в другом — сумма а² + b². Значит, а² + b² = c². Теорема Пифагора доказана. Но это было небольшое отступление. Я хотел сказать, что диагональ квадрата со стороной 1 по теореме Пифагора равна корню из двух, ну и по тому, что я нарисовал, она и в самом деле этому равна. Древние ничего не могли с этим числом поделать. Потому что, если отложить отрезок, равный нашей диагонали, от нуля, то вы попадете в точку, которая заведомо не равна никакому числу вида m/n. Ни при каких m и n. Вы переберете все целые числа, и в числителе, и в знаменателе, и никогда не получите число, которое в точности совпадет с корнем из двух. Есть очень много разных доказательств этого факта, и одно из них совершенно геометрическое. Мы же рассмотрим ниже алгебраический подход.
Причина смерти — корень из двух!
Мы сейчас придумаем некую процедуру, которую мы применим к любому рациональному числу, и она всегда будет конечной. А дальше, я вам покажу, что та же самая процедура для числа «корень из двух» никогда не прекращается, тем самым это число не может быть рациональным.
Слушатель: То есть это несуществующее число?
А. С.: Существующее, но не в этом круге подозреваемых лиц. Это число существует, и оно очень нервировало греков, они не хотели допустить, что оно существует. Однако они отлично знали, что оно нужно для вычислений, но не выражается в виде отношения целых чисел. Они не понимали, что делать. Вроде число не существует, а есть. Оно не должно существовать, но оно существует. Числа, которые не представляются в виде m/n, называются иррациональными.
Что такое вообще «иррациональность»? Нелогичность. Неразумность. Иррациональное поведение, например. Но в математике, в отличие от философии, есть совершенно конкретные объекты, иррациональные числа. Это такие числа, которые не представляются в виде m/n. Тем не менее, они вполне себе логичные и очень даже разумные.
Слушатель: А числа m и n, они целые?
А. С.: Целые. Непременно целые числа. Иррациональные числа — это числа, которые не являются отношением двух целых чисел. Рациональное число — это отношение двух целых. Есть еще одно труднопроизносимое слово, оно тоже в философском смысле кое-что означает. Слово «трансцендентно». Что же то оно означает в житейском (не математическом) смысле?
Слушатель: Находится за пределами.
А. С.: За пределами чего бы то ни было.
Слушатель: То есть иррациональное поведение — это поведение странное, но все же в рамках. А трансцендентное — это что-то за пределами понимания окружающих.
Эмоциональная наука: Анна Свердлик о природе математики с точки зрения нейроученых
Есть вам два разных доказательства: одно длинное, но геометрическое, второе — короткое стандартное. Это некая процедура; ну, сделал это не я, а Евклид 2,5 тысячи лет назад. Называется эта процедура алгоритм Евклида. Разновидность алгоритма Евклида называется цепная дробь. Цепная дробь — это очень просто. Любое число можно разложить в цепную дробь. Числа вида m/n в цепную дробь раскладываются конечным образом, а корень из двух в цепную дробь раскладывается только бесконечным. […]
В рубрике «Открытое чтение» мы публикуем отрывки из книг в том виде, в котором их предоставляют издатели. Незначительные сокращения обозначены многоточием в квадратных скобках. Мнение автора может не совпадать с мнением редакции.