все что надо знать по геометрии 8 класс

Все что надо знать по геометрии 8 класс

Четырёхугольником называется фигура, которая состоит из четырёх точек и четырёх последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырёхугольника, а соединяющие их отрезки — сторонами четырёхугольника.

Четырёхугольник называется вписанным, если все его вершины лежат на некоторой окружности, и описанным, если все его стороны касаются некоторой окружности.

Вершины четырёхугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон. Вершины, не являющиеся соседними, называются противолежащими. Отрезки, соединяющие противолежащие вершины четырёхугольника, называются диагоналями.

Стороны четырёхугольника, исходящие из одной вершины, называются соседними сторонами. Стороны, не имеющие общего конца, называются противолежащими сторонами.

Четырёхугольник обозначается указанием его вершин. Например, ABCD. В обозначении четырёхугольника рядом стоящие вершины должны быть соседними. Четырёхугольник ABCD можно также обозначить BCDA или DCBA. Но нельзя обозначить ABDC (В и D — не соседние вершины).

Сумма длин всех сторон четырёхугольника называется периметром.

Параллелограмм

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых.

Теорема 6.1. Если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Свойство диагоналей параллелограмма

Свойство противолежащих сторон и углов параллелограмма

Прямоугольник

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые.

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Теорема 6.5. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Квадрат

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. Так как стороны квадрата равны, то он является также ромбом. Поэтому квадрат обладает свойствами прямоугольника и ромба.

Теорема Фалеса

Замечание. В условии теоремы Фалеса вместо сторон угла можно взять любые две прямые, при этом заключение теоремы будет то же: параллельные прямые, пересекающие две данные прямые и отсекающие на одной прямой равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой прямой.

Средняя линия треугольника

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Трапеция

Трапецией называется четырёхугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны. Эти параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются боковыми сторонами.

Теорема 6.8. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Пропорциональные отрезки

Замечательные точки в треугольнике

Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Все три прямые, содержащие высоты к сторонам треугольника, тоже пересекаются в одной точке (ортоцентр треугольника). Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Окружность, описанную около треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника, называют окружностью Эйлера (окружность девяти точек). Середины сторон треугольника и середины отрезков, соединяющих его ортоцентр с вершинами, лежат на одной окружности с центром О, являющейся по определению окружностью Эйлера.

Раздел 2. Теорема Пифагора

Косинус угла

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Косинус угла а обозначается так: cos а и равен отношению катета АС, прилежащего к этому углу, к гипотенузе АВ, т. е. cos a = АС/АВ.

Теорема 7.1. Косинус угла зависит только от градусной меры угла и не зависит от расположения и размеров треугольника.

Это означает, что у двух прямоугольных треугольников с одним и тем же острым углом косинусы этого угла равны.

Теорема Пифагора

Теорема 7.2. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Из теоремы Пифагора следует, что в прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы. Отсюда, в свою очередь, следует, что cos а 2 + 4 2 = 5 2 ).

В связи с указанным способом построения прямого угла треугольник со сторонами 3, 4 и 5 единиц иногда называют египетским.

Перпендикуляр и наклонная

Пусть ВА — перпендикуляр, опущенный из точки В на прямую а, и С — любая точка прямой а, отличная от А. Отрезок ВС называется наклонной, проведённой из точки В к прямой а (рис. 153). Точка С называется основанием наклонной. Отрезок АС называется проекцией наклонной.

Из теоремы Пифагора следует, что если к прямой из одной точки проведены перпендикуляр и наклонные, то любая наклонная больше перпендикуляра, равные наклонные имеют равные проекции, из двух наклонных больше та, у которой проекция больше.

Неравенство треугольника

Если точки А и В различны, то расстоянием между ними называется длина отрезка АВ. Если точки А и В совпадают, то расстояние между ними принимается равным нулю.

Теорема 7.3. Каковы бы ни были три точки, расстояние между любыми двумя из этих точек не больше суммы расстояний от них до третьей точки.

Это значит, что каждое из этих расстояний меньше суммы или равно сумме двух других. Заметим, что в случае, когда точки не лежат на одной прямой, в неравенстве треугольника строгое неравенство. Отсюда следует, что в любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон.

Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике

Пусть АВС — прямоугольный треугольник с прямым углом С и острым углом при вершине А, равным а.

Синус, тангенс и котангенс утла, так же как и косинус, зависят только от величины угла. Из определения sin a, cos a, tg a и ctg a получаем следующие правила:

Эти правила позволяют, зная одну из сторон прямоугольного треугольника и острый угол, находить две другие стороны; зная две стороны, находить острые углы.

Основные тригонометрические тождества

Эти тождества позволяют, зная одну из величин sin a, cos a, tg a или ctg a, найти три другие.

Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса некоторых углов

Теорема 7.4. Для любого острого угла a: sin (90° — a) = cos a, cos (90° — a) = sin a.

Изменение синуса, косинуса, тангенса и котангенса при возрастании угла

Раздел 3. Декартовы координаты на плоскости

Определение декартовых координат

Проведём на плоскости через точку О две взаимно перпендикулярные прямые х и у — оси координат. Ось х (она обычно горизонтальная) называется осью абсцисс, а ось у — осью ординат. Точкой пересечения О — началом координат — каждая из осей разбивается на две полуоси. Условимся одну из них называть положительной, отмечая её стрелкой, а другую — отрицательной.

Каждой точке А плоскости мы сопоставим пару чисел — координаты точки — абсциссу (х) и ординату (у) по такому правилу.

Через точку А проведём прямую, параллельную оси ординат. Она пересечёт ось абсцисс х в некоторой точке Ах. Абсциссой точки А мы будем называть число х, абсолютная величина которого равна расстоянию от точки О до точки Ах. Это число будет положительным, если Ах принадлежит положительной полуоси, и отрицательным, если Ах принадлежит отрицательной полуоси. Если точка А лежит на оси у, то полагаем х равным нулю.

Ордината (у) точки А определяется аналогично. Через точку А проведём прямую, параллельную оси абсцисс х. Она пересечёт ось ординат у в некоторой точке Ау. Ординатой точки А мы будем называть число у, абсолютная величина которого равна расстоянию от точки О до точки Ау. Это число будет положительным, если Ау принадлежит положительной полуоси, и отрицательным, если Ау принадлежит отрицательной полуоси. Если точка А лежит на оси абсцисс х, то полагаем у равным нулю. Координаты точки будем записывать в скобках рядом с буквенным обозначением точки, например: А (х; у) (на первом месте абсцисса, на втором — ордината).

Оси координат разбивают плоскость на четыре части — четверти: I, И, III, IV.

Точки оси х (оси абсцисс) имеют равные нулю ординаты (у = 0), а точки оси у (оси ординат) имеют равные нулю абсциссы (х = 0). У начала координат абсцисса и ордината равны нулю.

Плоскость, на которой введены описанным выше способом координаты х и у, будем называть плоскостью ху. Произвольную точку на этой плоскости с координатами х и у будем иногда обозначать просто (х; у). Введённые на плоскости координаты х и у называются декартовыми по имени Р. Декарта, который впервые применил их в своих исследованиях.

Координаты середины отрезка

Пусть А (х1; у1) и В (х2; у2) — две произвольные точки и С (х; у) — середина отрезка АВ. Найдём координаты х, у точки С.
х = (х1 + х2)/2; у = (у1 = у2)/2

Расстояние между точками

Пусть на плоскости ху даны две точки: А1 с координатами х1, у1 и А2 с координатами х2, у2. Выразим расстояние между точками А1 и А2 через координаты этих точек.
d 2 = (х₁ — х₂) 2 + (у₁ — у₂) 2
где d — расстояние между точками А1 и А2.

Уравнение окружности

Уравнением фигуры в декартовых координатах на плоскости называется уравнение с двумя неизвестными х и у, которому удовлетворяют координаты любой точки фигуры. И обратно: любые два числа, удовлетворяющие этому уравнению, являются координатами некоторой точки фигуры.

Уравнение прямой

Любая прямая в декартовых координатах х, у имеет уравнение вида ах + by + с = 0, где а, b, с — некоторые числа, причём хотя бы одно из чисел а, b не равно нулю.

Координаты точки пересечения прямых

Координаты точки пересечения являются решением системы уравнений, задающих прямые.

Расположение прямой относительно системы координат

Выясним, как расположена прямая относительно осей координат, если её уравнение ах + by + с = 0 имеет тот или иной частный вид.

Угловой коэффициент в уравнении прямой

Коэффициент k в уравнении прямой с точностью до знака равен тангенсу острого угла, который образует прямая с осью х. Коэффициент k в уравнении прямой называется угловым коэффициентом прямой.

График линейной функции

Графиком линейной функции является прямая.

Пересечение прямой с окружностью

Для того чтобы прямая и окружность пересекались, надо, чтобы система двух уравнений х2 + у2 = R2, х = d имела решение. И обратно: всякое решение этой системы даёт координаты х, у точки пересечения прямой с окружностью.

Преобразование фигур

Если каждую точку данной фигуры сместить каким-нибудь образом, то мы получим новую фигуру. Говорят, что эта фигура получена преобразованием из данной.

Преобразование одной фигуры в другую называется движением, если оно сохраняет расстояние между точками, т. е. переводит любые две точки X и У одной фигуры в точки X’ и Y’ другой фигуры так, что ХУ = Х’У’.

Замечание. Понятие движения в геометрии связано с обычным представлением о перемещении. Но если мы представляем себе непрерывный процесс, то в геометрии для нас будут иметь значение только начальное и конечное положения фигуры. Два движения, выполненные последовательно, дают снова движение. Преобразование, обратное движению, также является движением.

Свойства движения

Теорема 9.1. Точки, лежащие на прямой, при движении переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения.

Это значит, что если точки А, В, С, лежащие на прямой, переходят в точки А1, В1, С1, то эти точки также лежат на прямой; если точка В лежит между точками А и С, то точка В1 лежит между точками А1 и С1.

Из теоремы 9.1 следует, что при движении прямые переходят в прямые, полупрямые — в полупрямые, отрезки — в отрезки. При движении сохраняются углы между полупрямыми.

Симметрия относительно точки

Пусть О — фиксированная точка и X — произвольная точка плоскости. Отложим на продолжении отрезка ОХ за точку О отрезок ОХ’, равный ОХ. Точка X’ называется симметричной точке X относительно точки О. Точка, симметричная точке О, есть сама точка О. Очевидно, что точка, симметричная точке X’, есть точка X.

Преобразование фигуры F в фигуру F’, при котором каждая её точка X переходит в точку X’, симметричную относительно данной точки О, называется преобразованием симметрии относительно точки О. При этом фигуры F и F’ называются симметричными относительно точки О (рис. 189).

Если преобразование симметрии относительно точки О переводит фигуру F в себя, то она называется центрально-симметричной, а точка О называется центром симметрии.

Например, параллелограмм является центрально-симметричной фигурой. Его центр симметрии — точка пересечения диагоналей.

Теорема 9.2. Преобразование симметрии относительно точки является движением.

Симметрия относительно прямой

Пусть g — фиксированная прямая. Возьмём произвольную точку X и опустим перпендикуляр АХ на прямую g. На продолжении перпендикуляра за точку А отложим отрезок АХ’, равный отрезку АХ. Точка X’ называется симметричной точке относительно прямой g. Если точка X лежит на прямой g, то симметричная ей точка есть сама точка X. Очевидно, что точка, симметричная точке X’, есть точка X.

Преобразование фигуры F в фигуру F’, при котором каждая её точка X переходит в точку X’, симметричную относительно данной прямой g, называется преобразованием симметрии относительно прямой g. При этом фигуры F и F’ называются симметричными относительно прямой g.

Если преобразование симметрии относительно прямой g переводит фигуру F в себя, то эта фигура называется симметричной относительно прямой g, а прямая g называется осью симметрии фигуры.

Например, прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей прямоугольника параллельно его сторонам, являются осями симметрии прямоугольника. Прямые, на которых лежат диагонали ромба, являются его осями симметрии.

Теорема 9.3. Преобразование симметрии относительно прямой является движением.

Поворот

Поворотом плоскости около данной точки называется такое движение, при котором каждый луч, исходящий из этой точки, поворачивается на один и тот же угол в одном и том же направлении.

Это значит, что если при повороте около точки О точка X переходит в точку X’, то лучи ОХ и ОХ’ образуют один и тот же угол, какова бы ни была точка X. Этот угол называется углом поворота. Преобразование фигур при повороте плоскости также называется поворотом.

Параллельный перенос и его свойства

Наглядно параллельный перенос определяется как преобразование, при котором точки смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние (данное определение не является математически строгим).

Параллельный перенос задаётся формулами х = х + а, у’ = у + b. Эти формулы выражают координаты х’, у’ точки, в которую переходит точка (х; у) при параллельном переносе.

Параллельный перенос есть движение. Параллельный перенос сохраняет расстояния, а значит, является движением. При параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние. При параллельном переносе прямая переходит в параллельную прямую (или в себя).

Существование и единственность параллельного переноса. Сонаправленность полупрямых

Теорема 9.4. Каковы бы ни были две точки А и А’, существует один и только один параллельный перенос, при котором точка А переходит в точку А’.

Две полупрямые называются одинаково направленными или сонаправленными, если они совмещаются параллельным переносом, т. е. существует параллельный перенос, который переводит одну полупрямую в другую.

Если полупрямые а и b одинаково направлены и полупрямые b и с одинаково направлены, то полупрямые а и с тоже одинаково направлены.

Две полупрямые называются противоположно направленными, если каждая из них одинаково направлена с полупрямой, дополнительной к другой.

Геометрические преобразования на практике

Известно, что геометрия как наука выросла из практического землемерия. А теперь сама она имеет большое прикладное значение. В частности, на практике широко используются геометрические преобразования

Равенство фигур

Две фигуры называются равными, если они движением переводятся одна в другую. Для обозначения равенства фигур используется обычный знак равенства. Запись F = F’ означает, что фигура F равна фигуре F’. В записи равенства треугольников: DАВС = DA1B1C1 — предполагается, что совмещаемые при движении вершины стоят на соответствующих местах. При таком условии равенство треугольников, определяемое через их совмещение движением, и равенство, как мы его понимали до сих пор, выражают одно и то же.

Это значит, что если у двух треугольников соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны, то эти треугольники совмещаются движением. И обратно: если два треугольника совмещаются движением, то у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны.

Раздел 5. Векторы

Абсолютная величина и направление вектора

Векторы АВ и CD называются одинаково направленными, если полупрямые АВ и CD одинаково направлены. Векторы АВ и CD называются противоположно направленными, если полупрямые АВ и CD противоположно направлены.

Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор.

Начало вектора может совпадать с его концом. Такой вектор будем называть нулевым вектором. Нулевой вектор обозначается нулём с чёрточкой (0). О направлении нулевого вектора не говорят. Абсолютная величина нулевого вектора считается равной нулю.

Равенство векторов

Два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным переносом. Это означает, что существует параллельный перенос, который переводит начало и конец одного вектора соответственно в начало и конец другого вектора. Из данного определения равенства векторов следует, что

равные векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине. Обратно: если векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине, то они равны.

Координаты вектора

Пусть вектор а имеет началом точку А1 (х1; у1), а концом точку А2 (х2; у2). Координатами вектора а будем называть числа а1 = х2 – х1, а2 = у2 – у1. Координаты нулевого вектора равны нулю.

Равные векторы имеют равные соответствующие координаты. И обратно: если у векторов соответствующие координаты равны, то векторы равны.

Сложение векторов

Суммой векторов а и b с координатами а1, а2 и b1, b2 называется вектор с с координатами a1 +b1, a2 + b2.

Теорема 10.1. Каковы бы ни были точки А, В, С, имеет место векторное равенство АВ + ВС = АС.

Сложение сил

Силу, приложенную к телу, удобно изображать вектором, направление которого совпадает с направлением действия силы, а абсолютная величина пропорциональна величине силы. Как показывает опыт, при таком способе изображения сил равнодействующая двух или нескольких сил, приложенных к телу в одной точке, изображается суммой соответствующих им векторов.

Представление силы в виде суммы сил, действующих в двух заданных направлениях, называется разложением силы по этим направлениям. Удобно производить разложение вектора по двум перпендикулярным осям. В этом случае составляющие вектора называются проекциями вектора на оси.

Умножение вектора на число

Произведением вектора (а1; а2) на число λ называется вектор (λа1; λа2).

Теорема 10.2. Абсолютная величина вектора λа равна |λ| |a|. Направление вектора λа при а ≠ 0 совпадает с направлением вектора а, если λ > 0, и противоположно направлению вектора а, если λ 2 и называется скалярным квадратом.

Для любых векторов а(а1; а2), b(b1; b2), с(с1; с2)
(а + b) • с = ас + bс.

Теорема 10.3. Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.

Из теоремы 10.3 следует, что если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. И обратно: если скалярное произведение отличных от нулевого векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.

Разложение вектора по координатным осям

Вектор называется единичным, если его абсолютная величина равна единице. Единичные векторы, имеющие направления положительных координатных полуосей, называются координатными векторами или ортами.

Для любого вектора a (a1; а2) получается разложение а = а1е1 + а2е2.

Вы смотрели «Геометрия 8 Погорелов: все теоремы и определения» — краткое повторение геометрии за 8 класс (основные понятия, определения и теоремы без доказательств ).

Источник

Справочный материал геометрия 8 класс

Периметром многоугольника называется сумма длин всех его сторон.

Две вершины, которые принадлежат одной стороне, называются соседними.

Отрезок, соединяющий любые две не соседние вершины, называется диагональю многоугольника.

Многоугольником называют фигуру, состоящую из отрезков и внутренней области.

Четырёхугольник – это геометрическая фигура, которая состоит из четырёх точек и четырёх последовательно соединяющих их отрезков.

Вершины четырехугольника, принадлежащие одной стороне, называются соседними.

Вершины, которые не являются соседними, называются противоположными.

Стороны четырёхугольника, исходящие из одной вершины, называются соседними.

Стороны, не имеющие общего конца, называются противоположными.

Отрезки, соединяющие противоположные вершины четырёхугольника, называются диагоналями.

Источник