вероятность что канал свободен доля времени простоя каналов

Абсолютная пропускная способность

A = p_обс·λ = 0.87·6 = 5.2 заявок/мин.
9. Среднее время простоя СМО.
t_пр = p_отк ∙ t_обс = 0.13∙ 0.5 = 0.06 мин.
10. Среднее число заявок, находящихся в очереди.

ед.
11. Среднее время простоя СМО (среднее время ожидания обслуживания заявки в очереди).
мин.
12. Среднее число обслуживаемых заявок.
L_обс = ρ·Q = 3·0.87 = 2.62 ед.
13. Среднее число заявок в системе.
L_CMO = L_оч + L_обс = 1.9 + 2.62 = 4.52 ед.
13. Среднее время пребывания заявки в СМО.
мин.
Число заявок, получивших отказ в течение часа: λ·p₁ = 0.78 заявок в мин.
Номинальная производительность СМО: 3 / 0.5 = 6 заявок в мин.
Фактическая производительность СМО: 5.2 / 6 = 87% от номинальной производительности.

Теперь ответим на вопрос: какова должна быть емкость подсобных помещений m₁, чтобы вероятность обслуживания была бы больше или равна заданной величине, т.е. P_обс. > 0.92. Расчет производим исходя из условия:

где
Для наших данных:

Далее необходимо подобрать такое k (см. п.3 «доля времени простоя каналов»), при котором p_отк 0.92.
например, при k = m₁ = 4, p_отк = 0.07 или p_обс = 0.93.

Решение:
Определяем тип СМО. Фраза « На станцию» говорит об единственном устройстве обслуживания, т.е. для проверки решения используем сервис Одноканальные СМО.
Определяем вид одноканальной СМО. Поскольку имеется упоминание об очереди, следовательно выбираем «Одноканальная СМО с ограниченной длиной очереди».
Параметр λ необходимо выразить в часах. Интенсивность заявок 1 автомобиль за 2 ч или 0,5 за 1 час.
Интенсивность потока обслуживания μ явно не задана. Здесь приводится время обслуживания t_обс = 2 часа.

Исчисляем показатели обслуживания для одноканальной СМО:
Интенсивность потока обслуживания:

1. Интенсивность нагрузки.
ρ = λ·t_обс = 0.5·2 = 1
Интенсивность нагрузки ρ=1 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.

3. Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя канала).


Следовательно, 20% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно t_пр = 12 мин.

4. Доля заявок, получивших отказ.
Заявки не получают отказ. Обслуживаются все поступившие заявки, p_отк = 0.

6. Абсолютная пропускная способность.
A = Q·λ = 1·0.5 = 0.5 заявок/час.

8. Среднее число заявок в очереди (средняя длина очереди).

ед.

9. Среднее время простоя СМО (среднее время ожидания обслуживания заявки в очереди).
час.

10. Среднее число обслуживаемых заявок.
L_обс = ρ·Q = 1·1 = 1 ед.

12. Среднее число заявок в системе.
L_CMO = L_оч + L_обс = 1.2 + 1 = 2.2 ед.

13. Среднее время пребывания заявки в СМО.
час.

Число заявок, получивших отказ в течение час: λ·p₁ = 0 заявок в час.
Номинальная производительность СМО: 1 / 2 = 0.5 заявок в час.
Фактическая производительность СМО: 0.5 / 0.5 = 100% от номинальной производительности.

Вывод: станция загружена на 100%. При этом отказов не наблюдается.

Источник

Примеры задач для одноканальных СМО

Одноканальная СМО с отказами в обслуживании

1. Пункт по ремонту радиотехники работает в режиме отказа с одним мастером. Интенсивность потока заявок λ, производительность мастера μ. Определить предельные значения относительной пропускной способности Q, абсолютной пропускной способности А и вероятность отказа Ротк телефонной линии. Определить также среднее время обслуживания одного вызова, среднее время простоя канала и вероятность того, что канал свободен или занят.
Скачать решение

2. Статистическими исследованиями в результате наблюдения установлено, что интенсивность потока телефонных звонков коммерческому директору λ = 1.2 вызова в минуту, средняя продолжительность разговора (обслуживания заявки) t_обсл = 2.5 мин и все потоки событий (вызовов и обслуживания) имеют характер простейших пуассоновских потоков.
Определим предельную (относительную и абсолютную) пропускную способность СМО, вероятность отказа, а также полное число обслуженных и необслуженных (получивших отказ) заявок в течение 1 ч работы СМО. Сравнить фактическую пропускную способность СМО с номинальной, т.е. с пропускной, способностью, которой обладала бы система в том случае, если бы каждая заявка обслуживалась ровно 2,5 мин и все заявки следовали бы одна за другой без перерыва.

Рекомендации к решению задачи: здесь λ = 1.2 ед. в мин.; t = 2.5 мин. или μ = 0.4 заявки в мин.

3. Рабочий обслуживает m станков. Поток требований на обслуживание пуассоновский с параметром λ станков в час. Время обслуживания одного станка подчинено экспоненциальному закону. Среднее время обслуживания одного станка равна μ минут. Определить: 1) среднее число станков, ожидающих обслуживания, 2) коэффициент простоя станка, 3) коэффициент простоя рабочего.
n=1, m=3, λ=2, μ=8.

Одноканальная СМО с ограниченной длиной очереди

1. В магазине самообслуживания установлено, что поток покупателей является простейшим с интенсивностью λ = 2 покупателя в минуту. В этом магазине установлен один кассовый аппарат, позволяющий добиться такой производительности труда, при которой интенсивность потока обслуживания составляет величину μ = покупателя в минуту. Определим характеристики СМО при условии, что очередь ограничена контролером при входе в зал самообслуживания: m = 5 покупателям.

2. На автомойку в среднем за час приезжают три автомобиля, если в очереди уже находятся два автомобиля, то вновь подъезжающие автомобили не желают терять время в ожидании обслуживания и покидают мойку, поскольку среднее время мойки одного автомобиля составляет 20 мин, а мест для мойки всего одно. Необходимо провести анализ работы системы обслуживания с 9-00 до 21-00 ч, если средняя стоимость мойки одного автомобиля составляет 70 руб.

Рекомендации к решению задачи: здесь m = 2; λ = 3 ед. в час.; t_обс = 20 мин.

Рекомендации к решению задачи: здесь m = 2; λ = 6 ед. в час.; t_обс = 20 мин.

4. Рабочий обслуживает m станков. Поток требований на обслуживание пуассоновский с параметром λ станков в час. Время обслуживания одного станка подчинено экспоненциальному закону. Среднее время обслуживания одного станка равна μ минут.
Определить: 1) среднее число станков, ожидающих обслуживания, 2) коэффициент простоя станка, 3) коэффициент простоя рабочего.

Одноканальная СМО с неограниченной очередью

1. Булочная «Горячий хлеб» имеет одного контролера-кассира. В течение часа приходят в среднем 54 покупателя. Средняя» стоимость одной покупки составляет 7 руб. Среднее время обслуживания контролером-кассиром одного покупателя составляет 1 мин. Определим выручку от продажи, характеристики СМО и проведем анализ ее работы.

Рекомендации к решению задачи: здесь λ = 54 ед. в час.; μ = 60 ед. в час.

2. Интенсивность потока автомобилей на АЗС к колонке за бензином АИ-92 составляет 30 автомобилей в 1 ч, а среднее время заправки равно 5 мин. Проведем анализ работы системы массового обслуживания АЗС.

Рекомендации к решению задачи: здесь λ = 2.4 ед. в час.; t_обс = 20 мин.

Рекомендации к решению задачи: здесь λ = 30 ед. в час.; t_обс = 5 мин.
В качестве количества заявок в очереди можно указать, например, m = 4. тогда будут рассчитаны соответствующие вероятность появления данных заявок.

4. В порту имеется один причал для разгрузки судов. Интенсивность потока судов равна 0,4 (судов в сутки). Среднее время разгрузки одного судна составляет 2 суток. Предполагается, что очередь может быть неограниченной длины. Найти показатели эффективности работы причала, а также вероятность того, что ожидают разгрузки не более чем 2 судна.

Рекомендации к решению задачи: здесь λ = 0.4 ед. в час.; t_обс = 2 час, m = 2.
После получения решения единицы измерения «час» следует заменить на «сутки».

Источник

Абсолютная пропускная способность СМО. Пример решения

Решение:
Определяем тип СМО. Фраза «На станцию» говорит об единственном устройстве обслуживания, т.е. для решения используем формулы для одноканальной СМО.
Определяем вид одноканальной СМО. Поскольку имеется упоминание об очереди, следовательно выбираем «Одноканальная СМО с ограниченной длиной очереди».
Параметр λ необходимо выразить в часах. Интенсивность заявок 1 автомобиль за 2 ч или 0,5 за 1 час.

Интенсивность потока обслуживания μ явно не задана. Здесь приводится время обслуживания t_обс = 2 часа.

Исчисляем показатели обслуживания для одноканальной СМО:

ρ = λ • t_обс = 0.5 • 2 = 1

Интенсивность нагрузки ρ=1 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.

3. Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя канала).


Следовательно, 20% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно t_пр = 12 мин.

Заявки не получают отказ. Обслуживаются все поступившие заявки, p_отк = 0.

Следовательно, 100% из числа поступивших заявок будут обслужены. Приемлемый уровень обслуживания должен быть выше 90%.

Число заявок, получивших отказ в течение час: λ • p₁ = 0 заявок в час.
Номинальная производительность СМО: 1 / 2 = 0.5 заявок в час.
Фактическая производительность СМО: 0.5 / 0.5 = 100% от номинальной производительности.

Вывод: станция загружена на 100%. При этом отказов не наблюдается.

Источник

Вероятность что канал свободен доля времени простоя каналов

Теория массового обслуживания исследует на основе теории вероятностей математические методы количественной оценки процессов массового обслуживания. Целью ее исследования является рациональный выбор структуры системы обслуживания на основе изучения потоков требований на обслуживание, поступающих в систему и выходящих из нее, длительность ожидания и длины очередей. Общей особенностью всех задач, связанных с массовым обслуживанием, является случайный характер исследуемых явлений [1,2].

А.Я. Хинчин – первый советский математик, который разработал теорию потока однородных событий, которые легли в основу теории массового обслуживания. Первыми задачами данной теории стало упрощение работы телефонной станции и определение заранее качество обслуживания потребителей в зависимости от числа используемых устройств (А. Эрланг, 1908-1922 г.).

Данная теория имеет широкое применение в математическом моделировании экономических, физических, медицинских задач. В частности, в экономике с помощью неё строятся модели таких предприятий, в работе которых предполагается наличие очереди, время ожидания и т.д. Например, как систему массового обслуживания можно рассматривать работу клиентского зала банка, работу салона красоты, работу кассового зала супермаркета и т.д. По рассчитанным показателям можно делать выводы об эффективности работы предприятия, делать прогнозы на будущее, решать возможные проблемы.

В борьбу за клиента в современной экономике вкладываются огромные средства. Нахождение подхода и завоевание фирмой нового клиента обходится ей в 6 раз дороже, чем удержание существующих покупателей, а на возврат неудовлетворенного клиента необходимо потратить в 25 раз больше средств. Использование теории массового обслуживания позволяет фирме сохранить своих клиентов и избежать таких неприятностей. Система массового обслуживания представляет собой теоретические основы эффективного конструирования и предназначены для многократного использования при выполнении однотипных задач [3,4].

В данной статье построена математическая модель кофейни, как системы массового обслуживания.

Решим задачу: В кофейне принимаются заказы по двум кассам. Среднее количество заказов, поступающих в час – 80 чел. Среднее время оформления заказа – 1 мин. Определить показатели системы массового обслуживания.

Здесь n=2, λ = 80 в час, t = 1 мин.

1. Интенсивность нагрузки:

Интенсивность нагрузки ρ=80 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.

При анализе данного параметра можно сделать выводы о необходимости найма на работу новых сотрудников и введения в зал ещё одной работающей кассы. Это снизит интенсивность работы [6].

2. Время обслуживания (час):

3. Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя каналов).

Следовательно, 0,03% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно tпр = 0 мин.Вероятность того, что обслуживанием:

,

,

4. Вероятность отказа (вероятность того, что канал занят) (доля заявок, получивших отказ).

Значит, 98% из числа поступивших заявок не принимаются к обслуживанию.

5. Вероятность обслуживания поступающих заявок (вероятность того, что клиент будет обслужен).
В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому [5]:

Относительная пропускная способность:

Следовательно, 2% из числа поступивших заявок будут обслужены. Приемлемый уровень обслуживания должен быть выше 90%.

При анализе выше указанных параметров можно делать выводы о скорости износа оборудования и об оптимальном числе сотрудников, находящихся в зале.

6. Среднее число каналов, занятых обслуживанием (Среднее число занятых каналов).

канала

Среднее число простаивающих каналов.

канала

7. Коэффициент занятости каналов обслуживанием.

Следовательно, система на 100% занята обслуживанием.

8. Абсолютная пропускная способность (Интенсивность выходящего потока обслуженных заявок).

заявок/час.

9. Среднее время простоя СМО ( час.).

10. Среднее время простоя канала ( час.).

11. Среднее число заявок, находящихся в очереди.

12. Среднее время простоя СМО (среднее время ожидания обслуживания заявки в очереди) ( час.).

13. Среднее число обслуживаемых заявок

14. Среднее число заявок в системе (т.е. заявки, которые уже обслуживаются, и те, которые еще стоят в очереди и ждут обслуживания).

15. Среднее время пребывания заявки в СМО.

Число заявок, получивших отказ в течение часа:

заявок в час.
Номинальная производительность СМО:

заявок в час.

Фактическая производительность СМО:

от номинальной производительности.

Вывод: В данной статье была рассмотрена задача по теории массового обслуживания. Рассчитали все основные показатели системы массового обслуживания. Данную задачу можно применять на практике.

Если судить по полученным данным о рентабельности кофейни, то на данный момент она вполне рентабельна. Однако, учитывая интенсивность потока клиентов и почти непрерывную работу данного предприятия, можно сделать вывод о достаточно быстром износе оборудования кофейни. Это и оформление зала, и кухонный инвентарь и т.д. Кроме того, явно присутствует необходимость в увеличении числа сотрудников, если учесть число обслуживаемых в минуту клиентов.

Для решения данных проблем, например, можно открыть ещё одну кофейню данной сети в том же районе. Это снизит интенсивность потока, хотя и уменьшит прибыль данного предприятия.

Источник

Вероятность что канал свободен доля времени простоя каналов

Фирма по ремонту различной аппаратуры имеет n опытных мастеров. В среднем в течение рабочего дня от населения поступает в ремонт λ радиоаппаратов. Общее число радиоаппаратов, находящихся в эксплуатации у населения, очень велико, и они независимо друг от друга в различное время выходят из строя. Поэтому есть все основания полагать, что поток заявок на ремонт аппаратуры является случайным, пуассоновским. В свою очередь, каждый аппарат в зависимости от характера неисправности также требует различного (случайного) времени на ремонт. Время на проведение ремонта зависит во многом от серьезности полученного повреждения, квалификации мастера и множества других причин. Пусть статистика показала, что в среднем в течение рабочего дня каждый из мастеров успевает отремонтировать µ радиоаппаратов.

Требуется оценить характеристики работы фирмы по ремонту радиоаппаратуры.

Исчисляем показатели обслуживания многоканальной СМО:
1. Интенсивность нагрузки.

Интенсивность нагрузки ρ=5 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.
2. Время обслуживания.

Следовательно, система на 80% занята обслуживанием.
8. Абсолютная пропускная способность (Интенсивность выходящего потока обслуженных заявок).
A = λ = 25 заявок/час.
9. Среднее время простоя СМО.
t_пр = p_отк • t_обс = 0 • 0.2 = 0 мин.
Вероятность образования очереди.

10. Среднее число заявок, находящихся в очереди.

11. Среднее время простоя СМО (среднее время ожидания обслуживания заявки в очереди).

12. Среднее число обслуживаемых заявок.
L_об = ρ = 5
13. Среднее число заявок в системе.
L_CMO = L_оч + L_обс = 2.938 + 5 = 7.938 ед.
14. Среднее время пребывания заявки в СМО.

Источник