верно ли утверждение что диагонали ромба равны

Свойства диагоналей ромба — основные формулы и доказательство теоремы

При решении математических и физических задач необходимо уметь правильно находить некоторые параметры ромба. Свойства диагоналей могут уменьшить количество и время вычислений. Однако в интернете информация не систематизирована. Кроме того, некоторые сайты наполняются ошибочными данными, которые и путают новичков. Специалисты предлагают специальный алгоритм, помогающий в решении. Однако для этого следует ознакомиться с теорией.

Общие сведения

На начальных этапах при расчетах следует правильно опознать фигуру. Для каждого геометрического тела существуют основные признаки, по которым она идентифицируется. Кроме того, некоторые параметры взаимосвязаны между собой некоторыми зависимостями. У каждой из них есть такие характеристики: размер сторон, углы, периметр, площадь, а также свойства, полученные при доказательстве теорем.

В любой дисциплине с физико-математическим уклоном существуют аксиомы и теоремы. Первые не требуют доказательства, а для вторых — оно необходимо. Последние доказываются на основании аксиом или доказательств других теорем. При изучении какой-либо фигуры следует начинать с определения, исходя из которого можно получит некоторую важную информацию.

Информация о ромбе

Ромбом называется параллелограмм, который имеет равные стороны. Частным его случаем считается квадрат, у которого внутренние углы при вершинах прямые. Фигуры отличаются размером сторон и углами. Однако для всего типа действуют признаки и свойства. Некоторые путают эти два термина. Однако они существенно отличаются между собой.

С помощью признаков можно правильно распознать фигуру, а потом применить необходимые формулы для решения задач. Свойства используются только после идентификации. Они позволяют вычислить некоторые параметры или доказать теоремы. Достаточно двух признаков для точного определения типа фигуры.

Чтобы не запутаться в терминологии математики предлагают простые определения. Признаками является характерные параметры, которые присущи определенному типу геометрического тела. Свойства — совокупность утверждений, которые применяются для нахождения параметров, величин, доказательства тождеств и решения уравнений.

Основные признаки

Ромб имеет такие же признаки, как и параллелограмм. Однако существуют некоторые критерии, по которым можно отличить эти две фигуры:

Однако под эти признаки попадает не только ромб, но и квадрат. Существует специальный алгоритм, позволяющий выяснить принадлежность четырехугольника к той или иной группе. Он состоит из следующих шагов:

Например, у четырехугольника с прямыми внутренними углами диагонали пересекаются в некоторой точке, и образуют 4 треугольника с прямым углом. Следует идентифицировать тип фигуры. Для этого нужно воспользоваться вышеописанным алгоритмом:

Алгоритм является очень простым. При его применении не возникает проблем вообще.

При использовании признаков и алгоритма специалисты-математики гарантируют точность определения. После идентификации фигуры необходимо обратить внимание на ее свойства.

Важные свойства

Ромб обладает всеми свойствами параллелограмма, которые следует учитывать. Ошибка некоторых новичков заключается в том, что они при поиске свойств не обращают внимания на частные случаи. Из-за невнимательности некоторые задачи решаются очень долго, а иногда произвести вычисления просто невозможно. К основным свойствам параллелограмма относятся следующие:

Ромб обладает также свойствами, которые присущи только ему. Это связано с тем, что он является частным случаем класса параллелограммов. К ним необходимо отнести следующие:

Некоторые из свойств были получены при доказательстве теорем. Для выведения третьего свойства использовалась теорема Пифагора.

Теоремы о диагоналях

В геометрии всего две теоремы о диагоналях ромба. Для удобства их можно объединить в одну с такой формулировкой: диагонали ромба взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами внутренних углов фигуры. Для доказательства следует рассмотреть сначала первое свойство, которое называется теоремой о свойстве диагоналей ромба.

Для этого необходимо начертить произвольный ромб ABCD с диагоналями, которые будут обозначаться АС = d1 и BD = d2. Они пересекаются в некоторой точке W. По восьмому свойству параллелограмма: AW = CW, т. е. они будут делиться на два равных отрезка (половина длины диагонали).

После этого нужно рассмотреть треугольник ABC, который является равнобедренным по определению ромба, а также по третьему признаку. Если AW = CW, то BW является его медианной. В равнобедренном треугольнике она является биссектрисой, а также высотой. Последняя — проходит под прямым углом к противолежащей стороне. Следовательно, перпендикулярность двух диагоналей доказана.

В треугольнике ABC отрезок BW — биссектриса угла B. Аналогично необходимо доказывать для углов A, С и D (рассматриваются треугольники BAD, BCD и ADC соответственно). Таким методом доказано и второе свойство ромба. Однако для решения задач недостаточно признаков и свойств. Для этих целей необходимо использовать формулы.

Формулы для вычислений

Каждую геометрическую характеристику ромба можно определить, используя некоторые соотношения. В задачах бывают известны определенные значения. Однако их бывает недостаточно, поскольку для вычисления какого-либо параметра следует найти промежуточные величины.

Чтобы правильно понимать формулы, следует ввести некоторые обозначения. Они позволят заметно сократить записи. Этот особый подход часто применяют математики. Пусть дан ромб, который имеет такие параметры:

Кроме того, у него есть такие характеристики, как площадь (размерность) и периметр. Они обозначаются литерами S и P соответственно.

Периметр и размерность

Периметром геометрической фигуры называется величина, которая эквивалентна суммарному значению всех его сторон. Площадь — характеристика геометрического тела, которая показывает его размерность. Следует отметить, что размерность существует только у двумерной фигуры. Если последняя принадлежит трехмерному пространству, то необходимо вычислять ее объем, поскольку размерности у нее нет.

Для определения периметра существует одна формула P = 4a. Однако сторону можно выражать через S, R, D, d1, d2, высоту h, а также через углы f и g. Для S существует больше соотношений. Некоторые из них можно также дополнительно вывести, выражая через некоторые параметры. Базовыми формулами являются следующие:

В последнее соотношение необходимо верно подставлять значения. Нужно обратить внимание на то, что берется произведение большей диагонали d1 на тангенс острого угла g, и наоборот — значение меньшей диагонали, умноженной на тангенс тупого угла g.

Длина стороны

В задачах определенного типа возникает необходимость найти длину стороны. Для нахождения этого параметра ромба существуют также формулы и соотношения, которые помогут получить верный ответ. К базовым из них можно отнести следующие:

Чтобы вычисления были верными, необходимо учитывать, что в 5 и 6 пунктах угол f — острый, a g — тупой. Функция «sqrt» применяется в различных математических пакетах и языках программирования. Она эквивалентна квадратному корню из числа, которое находится под корнем.

Соотношения для диагоналей

Существуют определенные задачи, в которых необходимо найти диагонали ромба. Можно, конечно, не пользоваться готовыми формулами, а выводить их. Математики рекомендуют осуществлять такие операции, поскольку идет тренировка мозга. Однако в некоторых ситуациях, например на контрольной или экзамене, время не хватает. Следовательно, на решение нужно тратить меньше времени.

Как бы быстро ни считал человек в уме или пользовался калькулятором, лишние вычисления занимают много времени. Следовательно, для оптимизации нужно пользоваться готовыми соотношениями, позволяющими находить нестандартные параметры. К ним можно отнести вычисление длины диагоналей ромба (d1 — большая, d2 — меньшая). Для этого следует применять такие формулы:

В 11 и 12 формулах следует обратить особое внимание на обозначения углов. Острый угол — f, а тупой — g. Следует отметить, что все 12 пунктов — базовые формулы для нахождения диагоналей. Однако можно выводить соотношения самостоятельно, как в пунктах 5 и 6 (замена a 2 на S).

Вписанная окружность

Когда в ромб вписана окружность, то появляются другие соотношения. Очень часто математики специально вписывают ее, поскольку в результате такой операции открывается больше возможностей. Базовые соотношения следующие:

Необходимо отметить, что R = D / 2. Если умножить каждое из соотношений на 2, то можно получить значение диаметра D вписанной окружности.

Таким образом, очень важным шагом при решении задачи является идентификация геометрической фигуры. После этого можно применять основные формулы для нахождения неизвестных величин.

Источник

Верно ли утверждение что диагонали ромба равны

Какое из следующих утверждений верно?

1. Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.

2. Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.

3. Диагонали ромба равны.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Рассмотрим каждое из утверждений:

Какое из следующих утверждений верно?

1) Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

2) Диагонали ромба равны.

3) Тангенс любого острого угла меньше единицы.

Проверим каждое из утверждений.

1) « Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.» — верно, это утверждение — один из признаков подобия треугольников.

2) «Диагонали ромба равны.» — неверно, диагонали ромба не равны.

3) «Тангенс любого острого угла меньше единицы.» — неверно, тангенс может быть больше единицы.

Какое из следующих утверждений верно?

1) Внешний угол треугольника равен сумме его внутренних углов.

2) Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

3) Касательная к окружности параллельна радиусу, проведённому в точку касания.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Внешний угол треугольника равен сумме его внутренних углов.» — неверно, внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

2) «Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.» — верно, диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

3) «Касательная к окружности параллельна радиусу, проведённому в точку касания.» — неверно, верное утверждение: «Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания».

Какое из следующих утверждений верно?

1) Диагонали ромба равны.

2) Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

3) В треугольнике против большего угла лежит бо́льшая сторона.

В ответе запишите номер выбранного утверждения.

1) «Диагонали ромба равны.» — неверно, диагонали ромба не равны

2) «Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия.» — неверно, отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия.

3) «В треугольнике против бо́льшего угла лежит бо́льшая сторона» — верно.

Какие из следующих утверждений верны?

1) Площадь многоугольника, описанного около окружности, равна произведению его периметра на радиус вписанной окружности.

2) Если диагонали ромба равна 3 и 4, то его площадь равна 6.

3) Площадь трапеции меньше произведения суммы оснований на высоту.

4) Площадь прямоугольного треугольника меньше произведения его катетов.

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Площадь многоугольника, описанного около окружности, равна произведению его периметра на радиус вписанной окружности.» — неверно, площадь многоугольника равна произведению половине периметра на радиус вписанной окружности.

2) «Если диагонали ромба равна 3 и 4, то его площадь равна 6.» — верно, площадь ромба равна половине произведения диагоналей.

3) «Площадь трапеции меньше произведения суммы оснований на высоту.» — верно, площадь трапеции равна половине произведения суммы оснований на высоту.

4) «Площадь прямоугольного треугольника меньше произведения его катетов.» — верно, площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

Укажите номера верных утверждений.

1) Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, перпендикулярна основанию.

2) Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

3) Из двух хорд окружности больше та, середина которой находится дальше от центра окружности.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, перпендикулярна основанию» — верно, по свойству равнобедренного треугольника.

2) «Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам» — верно, т. к. ромб — частный случай параллелограмма.

Укажите номера неверных утверждений.

1) При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой сумма накрест лежащих углов равна 180°.

2) Диагонали ромба перпендикулярны.

3) Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения его биссектрис.

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Проверим каждое из утверждений.

1) «При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой сумма накрест лежащих углов равна 180°» — неверно, накрест лежащие углы равны.

2) «Диагонали ромба перпендикулярны» — верно, по свойству ромба.

3) «Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения его биссектрис» — неверно,верным будет утверждение: «Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения его серединных перпендикуляров».

В ответ требуется записать номера неверных утверждений, следовательно, ответ — 13.

Аналоги к заданию № 311851: 316323 316349 316375 Все

Какие из следующих утверждений верны?

1) Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.

2) Диагонали ромба перпендикулярны.

3) Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон.

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

1) Средняя линия трапеции равна сумме её оснований. — неверно, Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.

2) Диагонали ромба перпендикулярны. — верно, по свойству ромба.

3) Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон. — верно, так как площадь треугольника равна где — угол между сторонами a и b треугольника. Синус угла всегда меньше единицы, поэтому площадь треугольника меньше произведения двух его сторон.

Какое из следующих утверждений верно?

1) Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

2) В тупоугольном треугольнике все углы тупые.

3) Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Рассмотрим каждое из утверждений:

1) «Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам» — верно по свойству ромба.

2) «В тупоугольном треугольнике все углы тупые» — неверно, так как в тупоугольном треугольнике только один угол — тупой.

3) «Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой» — неверно, верным будет являться утверждение: «Каждая из биссектрис равностороннего треугольника является его высотой».

Какое из следующих утверждений верно?

1. Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.

2. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

3. Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, перпендикулярны.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Рассмотрим каждое из следующих утверждений:

Какое из следующих утверждений верно?

1. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

2. Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу.

3. Две окружности пересекаются, если радиус одной окружности больше радиуса другой окружности.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Рассмотрим каждое из утверждений:

1. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам — верно.

2. Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу — неверно, т. к. угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

3. Две окружности пересекаются, если радиус одной окружности больше радиуса другой окружности — неверно, две окружности могут пересекаться, если их радиусы равны.

Какое из следующих утверждений верно?

1. Все прямоугольные треугольники подобны.

2. Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую.

3. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Проверим каждое из утверждений.

1) Все прямоугольные треугольники подобны — неверно, поскольку не соответствует ни одному из признаков подобия.

2) Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую — неверно, через две точки можно провести только одну прямую.

3) Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам — верно.

Какое из следующих утверждений верно?

1) В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

2) Диагонали ромба равны.

3) Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

1) В треугольнике против бо́льшего угла лежит бо́льшая сторона — верно.

2) Диагонали ромба равны — неверно.

3) Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей — неверно.

Какие из следующих утверждений верны?

1) Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению гипотенузы к прилежащему к этому углу катету.

2) Диагонали ромба перпендикулярны.

3) Существуют три прямые, которые проходят через одну точку.

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

1) «Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению гипотенузы к прилежащему к этому углу катету» — неверно.

2) «Диагонали ромба перпендикулярны» — верно.

3) «Существуют три прямые, которые проходят через одну точку» — верно.

Подставим в формулу известные величины:

Сторона ромба равна 5, а диагональ равна 6. Найдите площадь ромба.

Диагонали ромба пересекаются под углом 90° и точкой пересечения делятся пополам. Из прямоугольного треугольника, катетами которого являются половины диагоналей ромба, а гипотенузой — сторона ромба, по теореме Пифагора найдем половину неизвестной диагонали: Тогда вся неизвестная диагональ равна 8.

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей:

Какие из следующих утверждений верны?

1. Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.

2. Если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон этого угла.

3. Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Рассмотрим каждое из утверждений:

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 15, а одна из диагоналей ромба равна 60. Найдите углы ромба.

Пусть диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O, отрезок OH — высота треугольника AOD, причем AC = 60, OH = 15. Тогда в прямоугольном треугольнике AOH гипотенуза AO вдвое больше катета OH, значит, угол OAH равен 30°.

Диагонали ромба делят его углы пополам, значит, ∠BAD = ∠BCD = 60°, а ∠ABC = ∠ADC = 120°.

Ответ: 60°; 120°; 60°; 120°.

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 12, а одна из диагоналей ромба равна 48. Найдите углы ромба.

Пусть диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O, отрезок OH — высота треугольника AOD, причем AC = 48, OH = 12. Тогда в прямоугольном треугольнике AOH гипотенуза AO вдвое больше катета OH, значит, угол OAH равен 30°.

Диагонали ромба делят его углы пополам, значит, ∠BAD = ∠BCD = 60°, а ∠ABC = ∠ADC = 120°.

Ответ: 60°; 120°; 60°; 120°.

Сторона ромба равна 9, а расстояние от центра ромба до неё равно 1. Найдите площадь ромба.

Проведём построение и введём обозначения, как показано на рисунке. Учитывая, что и получаем Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам. Рассмотрим треугольники BOK и HOD, они прямоугольные, следовательно, треугольники BOK и HOD равны, откуда то есть высота Найдём площадь ромба как произведение стороны на высоту:

Источник