верно ли что каждый ромб является параллелограммом

Ромб. Свойства и признаки ромба

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Если у ромба – прямые углы, то он называется квадратом.

Свойства ромба

1. Поскольку ромб – это параллелограмм, то все свойства параллелограмма верны для ромба.

Помимо этого:

2. Диагонали ромба перпендикулярны.

3. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

4. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4.

Признаки ромба

Чтобы параллелограмм оказался ромбом, необходимо выполнение одного из следующих условий:

1. Все стороны параллелограмма равны между собой ().

2. Диагонали пересекаются под прямым углом ().

3. Диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов.

Площадь ромба

Смотрите также таблицу-шпаргалку «Площади простейших фигур» здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Источник

Параллелограмм: свойства и признаки

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Определение параллелограмма

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Как выглядит параллелограмм:

Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.

Диагонали — отрезки, которые соединяют противоположные вершины.

Свойства диагоналей параллелограмма:

Биссектриса параллелограмма — это отрезок, который соединяет вершину с точкой на одной из двух противоположных сторон и делит угол при вершине пополам.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

Как найти площадь параллелограмма:

Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.

P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.

У нас есть отличные дополнительные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Свойства параллелограмма

Геометрическая фигура — это любое множество точек. У каждой фигуры есть свои свойства, которые отличают их между собой и помогают решать задачи по геометрии в 8 классе.

Рассмотрим основные свойства диагоналей и углов параллелограмма, узнаем чему равна сумма углов параллелограмма и другие особенности этой фигуры. Вот они:

А сейчас докажем теорему, которая основана на первых двух свойствах.

Теорема 1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

В любом выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются. Все, что мы знаем о точке их пересечения — это то, что она лежит внутри четырехугольника.

Если мы проведем обе диагонали в параллелограмме, точка пересечения разделит их пополам. Убедимся, так ли это:

Теорема доказана. Наше предположение верно.

Признаки параллелограмма

Признаки параллелограмма помогают распознать эту фигуру среди других четырехугольников. Сформулируем три основных признака.

Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 1 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

Чтобы назвать этот четырехугольник параллелограммом, нужно внимательно рассмотреть его стороны.

Сейчас мы видим одну пару параллельных сторон. Нужно доказать, что вторая пара сторон тоже параллельна.

Шаг 2. Проведем диагональ. Получились два треугольника ABC и CDA, которые равны по первому признаку равенства, то есть по по двум сторонам и углу между ними:

Шаг 3. Из равенства треугольников также следует:

Эти углы тоже являются внутренними накрест лежащими для прямых CB и AD. А это как раз и есть признак параллельности прямых. Значит, CB || AD и ABCD — параллелограмм.

Вот так быстро мы доказали первый признак.

Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 2 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

Шаг 2. Проведем диагональ AC и рассмотрим треугольники ABC и CDA:

Из этого следует, что треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку, а именно по трем сторонам.

Шаг 3. Из равенства треугольников следует:

А так как эти углы — накрест лежащие при сторонах BC и AD и диагонали AC, значит, стороны BC и AD параллельны.

Эти углы — накрест лежащие при сторонах AB и CD и секущей AC. Поэтому стороны AB и CD тоже параллельны. Значит, четырехугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.

Доказали второй признак.

Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 3 признак параллелограмма:

Шаг 1. Если диагонали четырехугольника ABCD делятся пополам точкой O, то треугольник AOB равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними:

Шаг 2. Из равенства треугольников следует, что CD = AB.

Эти стороны параллельны CD || AB, по равенству накрест лежащих углов: ∠1 = ∠2 (следует из равенства треугольников AOB и COD).

Значит, ABCD является параллелограммом по первому признаку, который мы доказали ранее. Что и требовалось доказать.

Теперь мы знаем свойства параллелограмма и то, что выделяет его среди других четырехугольников — признаки. Так как они совпадают, эти формулировки можно использовать для определения параллелограмма. Но самое распространенное определение все-таки связано с параллельностью противоположных сторон.

Источник

12.10.21 8 класс геометрия

Просмотр содержимого документа
«12.10.21 8 класс геометрия»

12.10.21 Геометрия 8 а класс
Тема: Прямоугольник, ромб, квадрат. Решение задач. Самостоятельная работа.

Цель: закрепить изученный материал о прямоугольнике, ромбе, квадрате в процессе решения задач.

Математический диктант (по вариантам)

1. I. Является ли прямоугольником параллелограмм, у которого есть прямой угол?

II. Обязательно ли является прямоугольником четырехугольник, у которого есть прямой угол?

2. I. Верно ли, что каждый прямоугольник является параллелограммом?

II. Верно ли, что каждый параллелограмм является прямоугольником?

3. I. Диагонали прямоугольника АЕKМ пересекаются в точке О. Отрезок АО = 3. Найдите длину диагонали ЕМ.

II. Диагонали параллелограмма равны 3 и 5 дм. Является ли этот параллелограмм прямоугольником?

4. I. Диагонали четырехугольника равны. Обязательно ли этот четырехугольник является прямоугольником?

II. Сумма длин диагоналей прямоугольника 13 см. Найдите длину каждой диагонали.

5. I. Периметр ромба равен 12 см. Найдите длины его сторон.

II. Верно ли, что каждый ромб является параллелограммом?

6. I. Верно ли, что каждый параллелограмм является ромбом?

II. Периметр ромба равен 30 см. Найдите его стороны.

7. I. Диагонали ромба делят его на четыре треугольника. Найдите углы каждого треугольника, если один из углов ромба 30°.

II. Ромб АВСD имеет прямой угол. Является ли этот ромб квадратом?

8. I. Две соседние стороны параллелограмма равны и образуют прямой угол. Как называется такой параллелограмм?

II. Диагонали квадрата делят его на четыре треугольника. Найдите углы каждого треугольника.

II. Решение задач. Решите задачи самостоятельно, проверьте по образцу.
№№ 412, 407 (устно).

1. АВС – прямоугольный и равнобедренный 1 = 4 = 45°.

2. АFE – прямоугольный.

1 = 45° 3 = 45° DВ = DE.

3. DВЕ – прямоугольный.

4 = 45° 2 = 45° AF = FE.

4. СDЕF – квадрат СD = DE =
= EF = CF.

5. АC = 12 cм. AF = CF = 6 cм.

III. Самостоятельная работа обучающего характера с самопроверкой.

1. Найдите углы ромба, если его диагонали составляют с его стороной углы, один из которых на 30° меньше другого.

1. Угол между диагоналями прямоугольника равен 80°. Найдите углы между диагональю прямоугольника и его сторонами.

Вариант III
(для более подготовленных учащихся)

1. В ромбе АВСD биссектриса угла ВАС пересекает сторону ВС и диагональ ВD соответственно в точках M и N. Найдите АNВ, если АМС = 120°.

2. Постройте прямоугольник АВСD по стороне АВ и углу АОВ, где О – точка пересечения диагоналей.

Решение на закрытой доске:

ПРОВЕРКА:
Вариант I

1. АВО на 30° больше ВАО.

АВО – прямоугольный;

ВАО = х°, АВО = х + 30°;

ВАО + АВО = 90°;

Построить прямоугольник АВСD.

1) Разделить АС пополам, отметить середину – точку О.

2) От луча ОС отложить угол, равный углу О.

3) На его другой стороне отложить отрезок ОD = АО.

4) На дополнительном луче к лучу ОD отложить отрезок ОВ = ОD.

5) АВСD – прямоугольник (его диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам).

1. ОС = ОВ DОС – равнобедренный ОСD = СDО = 50°.

Построить: ромб АВСD.

1) Отложим угол, равный углу В.

2) На сторонах угла отложим отрезки, равные MN, получим точки А и С.

3) Через точки А и С проведем прямые, параллельные прямым АВ и ВС, получим точку D.

4) АВСD – ромб. (Если у параллелограмма смежные стороны равны, то он является ромбом.)

1. ВСО = ВАО.

Пусть ВАN = САМ = х°;

ВСА = 2х°;

АМС: 2х + х + 120° = 180°;

ВОА: АВО = 90° – 40° = 50°;

ВNА: ВNА = 180° – 50° – 20°;

ВNА = 110°.

Построить: АВСD – прямоугольник.

1) Построим угол, смежный с углом О и его биссектрису, получаем углы 1 и 2.

2) Откладываем АВ и строим в одну полуплоскость от лучей АВ и ВА углы, равные 1 и 2.

3) Получили АВО.

4) На дополнительных лучах лучам ОВ и ОА откладываем отрезки ОС = АО и ОD = ОВ.

5) АВСD – прямоугольник. (Диагонали его точкой пересечения делятся пополам и равны.)

Выполнить: вопросы 14–15, с. 115; №№ 410, 413 (а), 415 (б).

По желанию(разберите решение).

АВСD – ромб. DВЕ = 20°

Найти: ВАD.

1) ВDЕ = 70° из прямоугольного ВЕD.

2) ВАD – равнобедренный.

АВD = АDВ.

3) ВDЕ = АВD = 70° как внутренние накрест лежащие при
АВ || СD и секущей ВD.

4) АВD = АDВ = 70°.

5) ВАD = 180° – 70° – 70° = 40°.

Источник

Отличие ромба от параллелограмма в чем

В геометрии существует много типов четырехугольника, например параллелограмм, ромб, квадрат, прямоугольник, трапеция и воздушный змей, которые имеют общие характеристики, из-за которых люди сталкивают

Содержание

В геометрии существует много типов четырехугольника, например параллелограмм, ромб, квадрат, прямоугольник, трапеция и воздушный змей, которые имеют общие характеристики, из-за которых люди сталкиваются с проблемами при понимании этих фигур. А ромб можно назвать косым квадратом, у которого смежные стороны равны. Напротив, параллелограмм представляет собой наклонный прямоугольник с двумя наборами параллельных противоположных сторон.

Основное различие между ромбом и параллелограммом заключается в их свойствах, то есть все стороны ромба имеют одинаковую длину, а параллелограмм — это прямолинейная фигура, противоположные стороны которой параллельны.

Сравнительная таблица

Определение ромба

Четырехугольник, длины сторон которого равны, называется ромбом. Он имеет плоскую форму и четыре стороны; при этом обращенные стороны параллельны друг другу (см. рисунок ниже).

Противоположные углы ромба равны, т. Е. Одного градуса. Его диагонали пересекаются под углом 90 градусов (прямой угол), поэтому перпендикулярны друг другу и образуют два равносторонних треугольника. Его смежные стороны являются дополнительными, а это значит, что сумма их меры равна 180 градусам. Он также известен как равносторонний параллелограмм.

Определение параллелограмма

Параллелограмм, как следует из его названия, описывается как фигура плоской формы, имеющая четыре стороны, множество противоположных сторон которых параллельны и конгруэнтны (см. Рисунок ниже).

Мера углов его облицовки одинакова, а следующие друг за другом углы являются дополнительными, т. Е. Сумма их меры равна 180 градусам. Его диагонали пересекают друг друга, образуя два равных треугольника.

Ключевые различия между ромбом и параллелограммом

Разницу между ромбом и параллелограммом можно четко провести по следующим причинам:

Вывод

И параллелограмм, и ромб — четырехугольники, у которых лицевые стороны параллельны, противоположные углы равны, сумма внутренних углов составляет 360 градусов. Сам ромб — это особый вид параллелограмма. Следовательно, можно сказать, что каждый ромб — это параллелограмм, но обратное невозможно.

Параллелограмм: свойства и признаки

Определение параллелограмма

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Как выглядит параллелограмм:

Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.

Диагонали — отрезки, которые соединяют противоположные вершины.

Свойства диагоналей параллелограмма:

Биссектриса параллелограмма — это отрезок, который соединяет вершину с точкой на одной из двух противоположных сторон и делит угол при вершине пополам.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

Как найти площадь параллелограмма:

Для параллелограмма: S = 0,5 × (d1 × d2) × sinβ, где β — угол между диагоналями.

Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.

P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.

У нас есть отличные дополнительные занятия по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Свойства параллелограмма

Геометрическая фигура — это любое множество точек. У каждой фигуры есть свои свойства, которые отличают их между собой и помогают решать задачи по геометрии в 8 классе.

Рассмотрим основные свойства диагоналей и углов параллелограмма, узнаем чему равна сумма углов параллелограмма и другие особенности этой фигуры. Вот они:

ABCD — параллелограмм, значит, AB = DC, BC = AD.

ABCD — параллелограмм, значит, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D.

ABCD — параллелограмм, AC и BD — диагонали, AC∩BD=O, значит, BO = OD, AO = OC.

ABCD — параллелограмм, AC — диагональ, значит, △ABC = △CDA.

ABCD — параллелограмм, значит, ∠A + ∠D = 180°.

А сейчас докажем теорему, которая основана на первых двух свойствах.

Теорема 1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

В любом выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются. Все, что мы знаем о точке их пересечения — это то, что она лежит внутри четырехугольника.

Если мы проведем обе диагонали в параллелограмме, точка пересечения разделит их пополам. Убедимся, так ли это:

Теорема доказана. Наше предположение верно.

Признаки параллелограмма

Признаки параллелограмма помогают распознать эту фигуру среди других четырехугольников. Сформулируем три основных признака.

Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 1 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

Чтобы назвать этот четырехугольник параллелограммом, нужно внимательно рассмотреть его стороны.

Сейчас мы видим одну пару параллельных сторон. Нужно доказать, что вторая пара сторон тоже параллельна.

Шаг 2. Проведем диагональ. Получились два треугольника ABC и CDA, которые равны по первому признаку равенства, то есть по по двум сторонам и углу между ними:

Шаг 3. Из равенства треугольников также следует:

Эти углы тоже являются внутренними накрест лежащими для прямых CB и AD. А это как раз и есть признак параллельности прямых. Значит, CB || AD и ABCD — параллелограмм.

Вот так быстро мы доказали первый признак.

Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 2 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

Шаг 2. Проведем диагональ AC и рассмотрим треугольники ABC и CDA:

Из этого следует, что треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку, а именно по трем сторонам.

Шаг 3. Из равенства треугольников следует:

А так как эти углы — накрест лежащие при сторонах BC и AD и диагонали AC, значит, стороны BC и AD параллельны.

Эти углы — накрест лежащие при сторонах AB и CD и секущей AC. Поэтому стороны AB и CD тоже параллельны. Значит, четырехугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.

Доказали второй признак.

Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 3 признак параллелограмма:

Шаг 1. Если диагонали четырехугольника ABCD делятся пополам точкой O, то треугольник AOB равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними:

Шаг 2. Из равенства треугольников следует, что CD = AB.

Эти стороны параллельны CD || AB, по равенству накрест лежащих углов: ∠1 = ∠2 (следует из равенства треугольников AOB и COD).

Значит, ABCD является параллелограммом по первому признаку, который мы доказали ранее. Что и требовалось доказать.

Теперь мы знаем свойства параллелограмма и то, что выделяет его среди других четырехугольников — признаки. Так как они совпадают, эти формулировки можно использовать для определения параллелограмма. Но самое распространенное определение все-таки связано с параллельностью противоположных сторон.

Ромб и квадрат. Ромб Чем ромб отличается от параллелограмма? Ромб Параллелограмм. — презентация

Презентация на тему: » Ромб и квадрат. Ромб Чем ромб отличается от параллелограмма? Ромб Параллелограмм.» — Транскрипт:

2 Ромб Чем ромб отличается от параллелограмма? Ромб Параллелограмм

3 Ромб Определение: Ромбом называется параллелограмм у которого все стороны равны. Так как ромб является параллелограммом, то он обладает всеми свойствами параллелограмма A B C D O Какими свойства обладает ромб ABCD? 1) BO=OD, AO=OC 2) Как вы думаете, нет ли у ромба ещё свойств?

4 Свойство ромба Свойство: Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам. Доказательство 1. AB=AD (по определению ромба) Дано: ABCD — ромб A B C D OДоказать: AO=OC (свойство параллелограмма) 4. Следовательно AO — медиана 5. Из (2) и (4) следует что AO — высота и биссектриса 6. Следовательно

5 Квадрат Чем квадрат отличается от прямоугольника? Квадрат Прямоугольник

6 Квадрат Определение: Квадратом называется прямоугольник у которого все стороны равны. Прямоугольник является параллелограммом, поэтому и квадрат является параллелограммом у которого все стороны равны, то есть ромбом. Квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба.

7 Основные свойства квадрата 1. Все углы квадрата прямые A BC D 2. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам A BC D O

8 Решение задач Докажите, что ромб, один из углов которого прямой, является квадратом. A BC D Доказать:ABCD — квадрат Доказать: ABCD — квадрат Дано: ABCD — ромб, Доказательство 1.ABCD — ромб по условию, следовательно, AB=BC=CD =AD, 2. по условию, следовательно следовательно 5. Все стороны равны и все углы равны, следовательно ABCD — квадрат

9 Домашнее задание

5.1.2 Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат

Видеоурок 1: Прямоугольник, ромб и квадрат. Часть 1

Видеоурок 2: Прямоугольник, ромб и квадрат. Часть 2

Лекция: Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат

Один подраздел многоугольников мы изучили в прошлом вопросе, сейчас же перейдем к изучению четырехугольников — это многоугольники, у которых 4 стороны, 4 вершины, 4 угла.

В школьном курсе геометрии изучают несколько основных типов четырехугольников — это параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат и трапецию. В этом же вопросы мы рассмотрим все, кроме трапеции, поскольку все первые 4 типа многоугольников имеют некоторые похожие черты — у них противолежащая пара сторон параллельна.

Отличительная особенность всех четырехугольников — это то, что сумма всех углом равна 360 градусов.

Ну давайте начнем характеризовать все четырехугольники, имеющиеся в теме.

Исходя из названия, можно судить, что у данного четырехугольника что-то параллельное. Это совершенно верно, параллелограмм — это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.

Все четырехугольники характеризуются своими свойствами, поэтому давайте ознакомимся со свойствами параллелограмма:

Параллельные стороны параллелограмма попарно равны между собой

Противолежащие углы параллелограмма также равны

Диагонали параллелограмма пересекаются в точке, которая делит из пополам

Если у четырехугольника присутствуют перечисленные свойства, то он является параллелограммом:

Для любого параллелограмма справедлива следующая формула, по которой ясно, что сумма квадратов сторон диагоналей равна сумме квадратов всех сторон:

Данное свойство вытекает из теоремы Пифагора для двух прямоугольных треугольников.

Любую сторону можно найти по известным величинам диагоналей и углов между ними:

Найти стороны параллелограмма можно не только через диагонали, но и через высоты и площади:

Одними из наиболее важных формул являются формулы для нахождения диагоналей найти их можно по известным сторонам и углу между ними:

Но на самом деле самыми важными формулами являются формулы для нахождения площадей:

Правильный четырехугольник — это квадрат. Как известно, у всех правильных фигур равны стороны и равны углы. Квадрат можно назвать частным случаем параллелограмма, поскольку все свойства и признаки параллелограмма видны и у квадрата.Свойства квадрата:

Отличительной особенностью диагонали квадрата является то, что она есть гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными сторонам квадрата, а гипотенузой равной диагонали. Именно поэтому из теоремы Пифагора диагональ квадрата всегда в раз больше его стороны.

Так как у квадрата все стороны равны, то найти периметр и площадь этой фигуры не составляет ни малейшего труда:

Эта фигура характеризуется тем, что все её углы прямые, то есть по 90 градусов.

У прямоугольника все противолежащие стороны параллельны и равны между собой.

Точка пересечения диагоналей делит их на равные части.

Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его сторон:

Как можно было понять, данная формула была выведена из теоремы Пифагора, поскольку в основе прямоугольника лежат 2 прямоугольных треугольника.

Формулы нахождения сторон по известным величинам диагоналей, а также площадей:

Формулы сторон прямоугольника

Формулы периметра прямоугольника

И наконец-то мы подошли к последнему из параллелограммов, который называется ромбом.

У ромба, как и у квадрата, все стороны равно, но, как и у любого параллелограмма, его стороны попарно параллельны.

Отличительной особенностью ромба считается то, что его диагонали, пересекаясь под прямым углом, делятся пополам.

Не имеет смысла перечислять все свойства ромба, поскольку они аналогичны свойствам параллелограмма, а так же квадрата.

У ромба так же существует связь между длинами диагоналей и его сторон. Поскольку в основании ромба лежат 4 прямоугольных треугольника, то можно было вывести формулу связи диагоналей и сторон через теорему Пифагора:

Источник