в чем заключается математическое моделирование
Математическое моделирование
1. Что такое математическое моделирование?
С середины XX в. в самых различных областях человеческой деятельности стали широко применять математические методы и ЭВМ. Возникли такие новые дисциплины, как «математическая экономика», «математическая химия», «математическая лингвистика» и т. д., изучающие математические модели соответствующих объектов и явлений, а также методы исследования этих моделей.
Математическая модель — это приближенное описание какого-либо класса явлений или объектов реального мира на языке математики. Основная цель моделирования — исследовать эти объекты и предсказать результаты будущих наблюдений. Однако моделирование — это еще и метод познания окружающего мира, дающий возможность управлять им.
2. Основные этапы математического моделирования
1) Построение модели. На этом этапе задается некоторый «нематематический» объект — явление природы, конструкция, экономический план, производственный процесс и т. д. При этом, как правило, четкое описание ситуации затруднено. Сначала выявляются основные особенности явления и связи между ними на качественном уровне. Затем найденные качественные зависимости формулируются на языке математики, то есть строится математическая модель. Это самая трудная стадия моделирования.
2) Решение математической задачи, к которой приводит модель. На этом этапе большое внимание уделяется разработке алгоритмов и численных методов решения задачи на ЭВМ, при помощи которых результат может быть найден с необходимой точностью и за допустимое время.
3) Интерпретация полученных следствий из математической модели. Следствия, выведенные из модели на языке математики, интерпретируются на языке, принятом в данной области.
4) Проверка адекватности модели. На этом этапе выясняется, согласуются ли результаты эксперимента с теоретическими следствиями из модели в пределах определенной точности.
5) Модификация модели. На этом этапе происходит либо усложнение модели, чтобы она была более адекватной действительности, либо ее упрощение ради достижения практически приемлемого решения.
3. Классификация моделей
Классифицировать модели можно по разным критериям. Например, по характеру решаемых проблем модели могут быть разделены на функциональные и структурные. В первом случае все величины, характеризующие явление или объект, выражаются количественно. При этом одни из них рассматриваются как независимые переменные, а другие — как функции от этих величин. Математическая модель обычно представляет собой систему уравнений разного типа (дифференциальных, алгебраических и т. д.), устанавливающих количественные зависимости между рассматриваемыми величинами. Во втором случае модель характеризует структуру сложного объекта, состоящего из отдельных частей, между которыми существуют определенные связи. Как правило, эти связи не поддаются количественному измерению. Для построения таких моделей удобно использовать теорию графов. Граф — это математический объект, представляющий собой некоторое множество точек (вершин) на плоскости или в пространстве, некоторые из которых соединены линиями (ребрами).
По характеру исходных данных и результатов предсказания модели могут быть разделены на детерминистические и вероятностно-статистические. Модели первого типа дают определенные, однозначные предсказания. Модели второго типа основаны на статистической информации, а предсказания, полученные с их помощью, имеют вероятностный характер.
4. Примеры математических моделей
1) Задачи о движении снаряда.
Рассмотрим следующую задачу механики.
Снаряд пущен с Земли с начальной скоростью v0 = 30 м/с под углом a = 45° к ее поверхности; требуется найти траекторию его движения и расстояние S между начальной и конечной точкой этой траектории.
Тогда, как это известно из школьного курса физики, движение снаряда описывается формулами:
где t — время, g = 10 м/с 2 — ускорение свободного падения. Эти формулы и дают математическую модель поставленной задачи. Выражая t через x из первого уравнения и подставляя во второе, получим уравнение траектории движения снаряда:
Эта кривая (парабола) пересекает ось x в двух точках: x1 = 0 (начало траектории) и 
(место падения снаряда). Подставляя в полученные формулы заданные значения v0 и a, получим
Отметим, что при построении этой модели использован ряд предположений: например, считается, что Земля плоская, а воздух и вращение Земли не влияют на движение снаряда.
2) Задача о баке с наименьшей площадью поверхности.
Запишем следующие формулы для объема и площади поверхности цилиндра высоты h и радиуса r:
V = p r 2 h, S = 2 p r(r + h).
Выражая h через r и V из первой формулы и подставляя полученное выражение во вторую, получим:
Таким образом, с математической точки зрения, задача сводится к определению такого значения r, при котором достигает своего минимума функция S(r). Найдем те значения r0, при которых производная
обращается в ноль:
Можно проверить, что вторая производная функции S(r) меняет знак с минуса на плюс при переходе аргумента r через точку r0. Следовательно, в точке r0 функция S(r) имеет минимум. Соответствующее значение h0 = 2r0. Подставляя в выражение для r0 и h0 заданное значение V, получим искомый радиус 
и высоту 
3) Транспортная задача.
В городе имеются два склада муки и два хлебозавода. Ежедневно с первого склада вывозят 50 т муки, а со второго — 70 т на заводы, причем на первый — 40 т, а на второй — 80 т.
Обозначим через aij стоимость перевозки 1 т муки с i-го склада на j-й завод (i, j = 1,2). Пусть
Как нужно спланировать перевозки, чтобы их стоимость была минимальной?
Придадим задаче математическую формулировку. Обозначим через x1 и x2 количество муки, которое надо перевезти с первого склада на первый и второй заводы, а через x3 и x4 — со второго склада на первый и второй заводы соответственно. Тогда:
Общая стоимость всех перевозок определяется формулой
С математической точки зрения, задача заключается в том, чтобы найти четыре числа x1, x2, x3 и x4, удовлетворяющие всем заданным условиям и дающим минимум функции f. Решим систему уравнений (1) относительно xi (i = 1, 2, 3, 4) методом исключения неизвестных. Получим, что
а x4 не может быть определено однозначно. Так как xi і 0 (i = 1, 2, 3, 4), то из уравнений (2) следует, что 30 Ј x4 Ј 70. Подставляя выражение для x1, x2, x3 в формулу для f, получим
Легко видеть, что минимум этой функции достигается при максимально возможном значении x4, то есть при x4 = 70. Соответствующие значения других неизвестных определяются по формулам (2): x1 = 40, x2 = 10, x3 = 0.
4) Задача о радиоактивном распаде.
5) Задача о коммивояжере.
Коммивояжеру, живущему в городе A1, надо посетить города A2, A3 и A4, причем каждый город точно один раз, и затем вернуться обратно в A1. Известно, что все города попарно соединены между собой дорогами, причем длины дорог bij между городами Ai и Aj (i, j = 1, 2, 3, 4) таковы:
Надо определить порядок посещения городов, при котором длина соответствующего пути минимальна.
Найдем теперь длины этих циклов (в км): L1 = 160, L2 = 180, L3 = 200. Итак, маршрут наименьшей длины — это первый.
Заметим, что если в графе n вершин и все вершины попарно соединены между собой ребрами (такой граф называется полным), то число циклов, проходящих через все вершины, равно 
Следовательно, в нашем случае имеется ровно три цикла.
6) Задача о нахождении связи между структурой и свойствами веществ.
Требуется найти приближенную зависимость между температурой кипения и числом n для этих соединений. Предположим, что эта зависимость имеет вид
где a, b — константы, подлежащие определению. Для нахождения a и b подставим в эту формулу последовательно n = 3, 4, 5, 6 и соответствующие значения температур кипения. Имеем:
– 42 » 3a + b, 0 » 4a + b, 28 » 5a + b, 69 » 6a + b.
Для определения наилучших a и b существует много разных методов. Воспользуемся наиболее простым из них. Выразим b через a из этих уравнений:
b » – 42 – 3a, b » – 4a, b » 28 – 5a, b » 69 – 6a.
Возьмем в качестве искомого b среднее арифметическое этих значений, то есть положим b » 16 – 4,5a. Подставим в исходную систему уравнений это значение b и, вычисляя a, получим для a следующие значения: a » 37, a » 28, a » 28, a » 36. Возьмем в качестве искомого a среднее значение этих чисел, то есть положим a » 34. Итак, искомое уравнение имеет вид
Проверим точность модели на исходных четырех соединениях, для чего вычислим температуры кипения по полученной формуле:
Таким образом, ошибка расчетов данного свойства для этих соединений не превышает 5°. Используем полученное уравнение для расчета температуры кипения соединения с n = 7, не входящего в исходное множество, для чего подставим в это уравнение n = 7: yр(7) = 99°. Результат получился довольно точный: известно, что экспериментальное значение температуры кипения yэ(7) = 98°.
7) Задача об определении надежности электрической цепи.
Суммой событий A и B называется событие A + B, состоящее в том, что в опыте происходит хотя бы одно из них. Произведением событий A и B называется событие AB, состоящее в одновременном появлении этих событий. Для независимых событий A и B верны формулы
P(AB) = P(A)•P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).
8) Рассмотрим теперь следующую задачу. Предположим, что в электрическую цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо друг от друга. Вероятности отказов 1-го, 2-го и 3-го элементов соответственно равны P1 = 0,1, P2 = 0,15, P3 = 0,2. Будем считать цепь надежной, если вероятность того, что в цепи не будет тока, не более 0,4. Требуется определить, является ли данная цепь надежной.
Так как элементы включены последовательно, то тока в цепи не будет (событие A), если откажет хотя бы один из элементов. Пусть Ai — событие, заключающееся в том, что i-й элемент работает (i = 1, 2, 3). Тогда P(A1) = 0,9, P(A2) = 0,85, P(A3) = 0,8. Очевидно, что A1A2A3 — событие, заключающееся в том, что одновременно работают все три элемента, и
В заключение отметим, что приведенные примеры математических моделей (среди которых есть функциональные и структурные, детерминистические и вероятностные) носят иллюстративный характер и, очевидно, не исчерпывают всего разнообразия математических моделей, возникающих в естественных и гуманитарных науках.
Просто о сложном: что такое математическое моделирование и почему нам больше не нужны эксперименты на людях
tany_savelieva
Сегодня математики пытаются помочь медикам представить, как устроены внутренние процессы в организме, или предсказать реакцию конкретного пациента на лечение с помощью языков программирования и без проведения дорогих и опасных экспериментов. Метод математического моделирования применяется в самых разных областях науки, в том числе в физиологии и медицине. В рамках проекта «Физтех.Читалка» молодой ученый, аспирант МФТИ Тимур Гамилов рассказал «Теориям и практикам», как математические модели помогают врачам ставить диагнозы, а спортсменам — рекорды.
«Лего» для ученых
Математическое моделирование начали использовать в спорте и медицине еще в 50-х годах. В этой сфере активно работают математики, информатики и физики различных специализаций. Метод математического моделирования устроен по принципу конструктора «Лего», в котором вместо деталей — данные о состоянии здоровья человека и математические формулы, на основе которых врачи ставят диагноз и составляют план лечения. Используя данные о медицинских показателях, математики и инженеры создают гипотезу, которую затем проектируют и проверяют с помощью специального языка программирования.
Неудивительно, что интерес к математическому моделированию в медицине и спорте растет: в США с 1961 по 2006 год процент бюджетных денег, которые тратятся на медицину, возрос с 4% до 20%. В других странах люди тоже хотят жить долго и хорошо, а готовность властей финансировать науку и текущий уровень развития технологий растут с каждым годом. Поэтому вместо того, чтобы проводить медицинские эксперименты на людях, в качестве подопытных кроликов ученые используют математические модели.
Модель для сборки: инструкция
Для построения любой математической модели необходимы данные. Базовые знания о строении и функционировании организма человека можно найти в анатомических атласах и другой справочной литературе. Но поскольку организм каждого человека уникален, врачи наблюдают за каждым пациентом индивидуально: проводят МРТ, компьютерную томографию, измеряют пульс, давление.
Представим, что перед командой ученых (биологов, математиков, физиков, программистов) стоит задача — помочь в постановке диагноза и поиске метода лечения пациентов со стенозом. Первым делом мы, ученые, должны понять, что такое стеноз, и расспрашиваем об этом врачей. Оказывается, стеноз — это возникновение бляшек на сосудах, которые создают разницу в давлении между участками сосуда. В результате сосуд может не выдержать такой нагрузки и порваться. Диагностируется заболевание двумя путями. Первый — качественный способ: нужно сделать снимок сосуда, найти бляшку и по ее виду сделать вывод. Второй — количественный: через бедренную артерию в нужные участки сосуда вводятся датчики, которые измеряют разницу давлений. Результаты количественного анализа — более точные. Это значит, что можно не оперировать пациента без надобности, а осложнения после лечения будут минимальными. Минусы этого способа — в цене и высоких рисках для пациента. Нужна дешевая и безопасная альтернатива, которая поможет поставить количественный диагноз и принять верное решение о лечении. Такой альтернативой может стать математическая модель процессов, происходящих в организме, связанных с развитием болезни.
В нашем случае нужно понять, по каким законам возникает разница в давлениях внутри сосудов, и записать эти законы в виде уравнений. Модели создаются под каждую проблему, болезнь или задачу. Для начала в уравнения (например, гидродинамики) вписывают величины, примерно одинаковые для всех пациентов — в науке они называются константами. Помимо констант, существуют параметры — показатели, которые учитываются для каждого человека индивидуально: длина, ширина сосудов, частота пульса, вид шума в сосудах. После того как мы вписали в уравнения константы, снимаем данные с пациента и записываем их в уравнения. Так ученые связывают параметры и константы с помощью формул: теперь в готовое уравнение мы подставляем разные значения для разных пациентов, чтобы получить необходимый результат — показатель разницы давлений между участками сосуда. Лечение стеноза, в зависимости от степени тяжести заболевания, врачи проводят либо медикаментозно (когда разница в давлениях небольшая), либо с помощью хирургического вмешательства (для более серьезных случаев).
После того как модель запрограммирована, работа не заканчивается. Во-первых, измерить большую часть параметров, которые нужно внести в уравнения, скорее всего, не получится без огромных затрат и дорогостоящих операций. Например, для детального определения структуры бляшек, упругих свойств сосуда и законов, по которым он меняется со временем, потребуется колоссальное количество сил и средств. Поставить такую технологию на поток вряд ли удастся.
Во-вторых, снятые параметры могут измениться через определенное время. Эластичность сосудов сильно меняется в зависимости от гормонов, которые на данный момент присутствуют в крови. А чтобы предсказать, сколько каких гормонов содержится в кровяном русле в интересующий нас период, нужно замоделировать в буквальном смысле весь организм человека, так как гормональный фон зависит от огромного количества факторов.
Врачи не знают математику, а математики — биологию, однако без диалога невозможна ни одна дисциплина на стыке наук
В-третьих, даже если мы сможем измерить все необходимые параметры и они не станут сильно меняться со временем, измерения, скорее всего, будут неточными. И чем больше параметров мы снимаем, тем активнее будет расти эта неточность. А поскольку в организме от небольшого изменения каждого параметра существенно меняются все остальные величины, такая неточность часто становится критичной. Например, даже несущественное количество введенного лекарства, растворяющего тромбы, может привести к передозировке, которая вызовет серьезное кровотечение.
Решаются эти проблемы путем упрощения модели: ученые по максимуму сокращают количество параметров и уравнений, стараются сделать их проще, или, как говорят математики, оптимизируют систему. Несмотря на технологическое несовершенство, метод математического моделирования уже работает и помогает людям. Благодаря математическому моделированию была создана известная модель токов в клетке Ходжкина — Хаксли, которая помогла описать, как распространяются электрохимические импульсы, передающие информацию в организме по нервным клеткам. Эта разработка считается одним из самых важных открытий неврологии XX века. За нее ученые получили Нобелевскую премию.
В помощь Усэйну Болту
Математически смоделированные стратегии для тренировок — уже рутина для спортивной индустрии. Показатели великого бегуна Усэйна Болта почти совпадают с графиком кривой оптимального темпа для бега на 100 метров в каждый момент времени. На соревнованиях по прыжкам с трамплина на лыжах высота конструкции выбирается с использованием математической модели тел спортсменов так, чтобы нагрузки не стали критичны для организма.
Математика + медицина
Главная трудность в развитии метода пока заключается в том, что значительное количество разработок так и остаются теорией. В повседневное клиническое использование вводится крайне малая часть таких проектов. Ученые видят будущее моделей в их адаптации под реальные условия. Теоретические расчеты нужны и важны для понимания процессов, которые происходят в организме, но не менее важно научиться использовать такие расчеты глобально. Сильно упростит задачу, если пациентам будет легко и понятно снимать показатели самостоятельно.
Ученым из разных областей придется все чаще работать на стыке наук и сотрудничать с инженерами и врачами. Чтобы эти идеи не оставались на страницах научных журналов, а реально помогали людям, математики должны начать взаимодействовать с врачами, которые ставят перед ними конкретные медицинские задачи. Такое взаимодействие (из-за особенностей образования и способа мышления) часто дается обеим сторонам непросто: врачи не знают математику, а математики — биологию, все они пользуются разной терминологией и методами. Однако без подобного диалога невозможна ни одна дисциплина на стыке наук.
Лекция: Математическое моделирование. Форма и принципы представления математических моделей
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ
По курсу
«Математическое моделирование машин и транспортных систем»
В курсе рассмотрены вопросы, связанные с математическим моделированием, с формой и принципом представления математических моделей. Рассмотрены численные методы решения одномерных нелинейных систем. Освещаются вопросы компьютерного моделирования и вычислительного эксперимента. Рассмотрены методы обработки данных, полученных в результате научных или производственных экспериментов; исследования различных процессов, выявления закономерностей в поведении объектов, процессов и систем. Рассмотрены методы интерполирования и аппроксимации опытных данных. Рассмотрены вопросы, связанные с компьютерным моделированием и решением нелинейных динамических систем. В частности, рассмотрены методы численного интегрирования и решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого, второго и более высоких порядков.
Лекция: Математическое моделирование. Форма и принципы представления математических моделей
В лекции рассмотрены общие вопросы математического моделирования. Приведена классификация математических моделей.
ЭВМ прочно вошла в нашу жизнь, и практически нет такой области человеческой деятельности, где не применялась бы ЭВМ. ЭВМ сейчас широко используется в процессе создания и исследования новых машин, новых технологических процессов и поиске их оптимальных вариантов; при решении экономических задач, при решении задач планирования и управления производством на различных уровнях. Создание же крупных объектов в ракетотехнике, авиастроении, судостроении, а также проектирование плотин, мостов, и др. вообще невозможно без применения ЭВМ.
Для использования ЭВМ при решении прикладных задач, прежде всего прикладная задача должна быть «переведена» на формальный математический язык, т.е. для реального объекта, процесса или системы должна быть построена его математическая модель.
Целью моделирования являются получение, обработка, представление и использование информации об объектах, которые взаимодействуют между собой и внешней средой; а модель здесь выступает как средство познания свойств и закономерности поведения объекта.
Моделирование широко используются в различных сферах человеческой деятельности, особенно в сферах проектирования и управления, где особенными являются процессы принятия эффективных решений на основе получаемой информации.
Теорией моделирования является раздел науки, изучающий способы исследования свойств объектов-оригиналов, на основе замещения их другими объектами-моделями. В основе теории моделирования лежит теория подобия. При моделировании абсолютное подобие не имеет места и лишь стремится к тому, чтобы модель достаточно хорошо отображала исследуемую сторону функционирования объекта. Абсолютное подобие может иметь место лишь при замене одного объекта другим точно таким же.
Все модели можно разделить на два класса:
В свою очередь вещественные модели можно разделить на:
Идеальные модели можно разделить на:
Математическая модель является приближенным представлением реальных объектов, процессов или систем, выраженным в математических терминах и сохраняющим существенные черты оригинала. Математические модели в количественной форме, с помощью логико-математических конструкций, описывают основные свойства объекта, процесса или системы, его параметры, внутренние и внешние связи.
В общем случае математическая модель реального объекта, процесса или системы представляется в виде системы функционалов
Построение математической модели заключается в определении связей между теми или иными процессами и явлениями, создании математического аппарата, позволяющего выразить количественно и качественно связь между теми или иными процессами и явлениями, между интересующими специалиста физическими величинами, и факторами, влияющими на конечный результат.
Обычно их оказывается настолько много, что ввести в модель всю их совокупность не удается. При построении математической модели перед исследованием возникает задача выявить и исключить из рассмотрения факторы, несущественно влияющие на конечный результат (математическая модель обычно включает значительно меньшее число факторов, чем в реальной действительности). На основе данных эксперимента выдвигаются гипотезы о связи между величинами, выражающими конечный результат, и факторами, введенными в математическую модель. Такая связь зачастую выражается системами дифференциальных уравнений в частных производных (например, в задачах механики твердого тела, жидкости и газа, теории фильтрации, теплопроводности, теории электростатического и электродинамического полей).
Конечной целью этого этапа является формулирование математической задачи, решение которой с необходимой точностью выражает результаты, интересующие специалиста.
Форма и принципы представления математической модели зависит от многих факторов.
По принципам построения математические модели разделяют на:
В аналитических моделях процессы функционирования реальных объектов, процессов или систем записываются в виде явных функциональных зависимостей.
Аналитическая модель разделяется на типы в зависимости от математической проблемы:
1. уравнения (алгебраические, трансцендентные, дифференциальные, интегральные),
2. аппроксимационные задачи (интерполяция, экстраполяция, численное интегрирование и дифференцирование),
3. задачи оптимизации,
4. стохастические проблемы.
Однако по мере усложнения объекта моделирования построение аналитической модели превращается в трудноразрешимую проблему. Тогда исследователь вынужден использовать имитационное моделирование.
В зависимости от характера исследуемых реальных процессов и систем математические модели могут быть:
В детерминированных моделях предполагается отсутствие всяких случайных воздействий, элементы модели (переменные, математические связи) достаточно точно установленные, поведение системы можно точно определить. При построении детерминированных моделей чаще всего используются алгебраические уравнения, интегральные уравнения, матричная алгебра.
Стохастическая модель учитывает случайный характер процессов в исследуемых объектах и системах, который описывается методами теории вероятности и математической статистики.
По виду входной информации модели разделяются на:
По поведению моделей во времени они разделяются на:
Статические модели описывают поведение объекта, процесса или системы в какой-либо момент времени. Динамические модели отражают поведение объекта, процесса или системы во времени.
По степени соответствия между математической моделью и реальным объектом, процессом или системой математические модели разделяют на:
1. изоморфные (одинаковые по форме),
2. гомоморфные (разные по форме).
В дальнейшем для краткого определения вида математической модели в приведенной классификации будем пользоваться следующими обозначениями:
Согласно этим обозначениям, описанная далее в лекции 2, модель кривошипно-шатунного механизма (Рис. 2.1.) обозначается как модель вида ДНА (детерминированная, непрерывная, аналитическая), так как:
1. Отсутствует (точнее не учитывается) влияние случайных процессов, т.е. модель детерминированная (Д).
2. Лекция: Особенности построения математических моделей
В лекции описан процесс построения математической модели. Приведен словесный алгоритм процесса.
Для использования ЭВМ при решении прикладных задач прежде всего прикладная задача должна быть «переведена» на формальный математический язык, т.е. для реального объекта, процесса или системы должна быть построена его математическая модель.
Математические модели в количественной форме, с помощью логико-математических конструкций, описывают основные свойства объекта, процесса или системы, его параметры, внутренние и внешние связи.
Для построения математической модели необходимо:
1. тщательно проанализировать реальный объект или процесс;
2. выделить его наиболее существенные черты и свойства;
3. определить переменные, т.е. параметры, значения которых влияют на основные черты и свойства объекта;
4. описать зависимость основных свойств объекта, процесса или системы от значения переменных с помощью логико-математических соотношений (уравнения, равенства, неравенства, логико-математические конструкций);
5. выделить внутренние связи объекта, процесса или системы с помощью ограничений, уравнений, равенств, неравенств, логико-математических конструкций;
6. определить внешние связи и описать их с помощью ограничений, уравнений, равенств, неравенств, логико-математических конструкций.
Математическое моделирование, кроме исследования объекта, процесса или системы и составления их математического описания, также включает:
1. построение алгоритма, моделирующего поведение объекта, процесса или системы;
2. проверка адекватности модели и объекта, процесса или системы на основе вычислительного и натурного эксперимента;
3. корректировка модели;
4. использование модели.
Математическое описание исследуемых процессов и систем зависит от:
1. природы реального процесса или системы и составляется на основе законов физики, химии, механики, термодинамики, гидродинамики, электротехники, теории пластичности, теории упругости и т.д.
2. требуемой достоверности и точности изучения и исследования реальных процессов и систем.
На этапе выбора математической модели устанавливаются: линейность и нелинейность объекта, процесса или системы, динамичность или статичность, стационарность или нестационарность, а также степень детерминированности исследуемого объекта или процесса. При математическом моделировании сознательно отвлекаются от конкретной физической природы объектов, процессов или систем и, в основном, сосредотачиваются на изучении количественных зависимостей между величинами, описывающими эти процессы.
Математическая модель никогда не бывает полностью тождественна рассматриваемому объекту, процессу или системе. Основанная на упрощении, идеализации она является приближенным описанием объекта. Поэтому результаты, полученные при анализе модели, носят приближенный характер. Их точность определяется степенью адекватности (соответствия) модели и объекта.
Построение математической модели обычно начинается с построения и анализа простейшей, наиболее грубой математической модели рассматриваемого объекта, процесса или системы. В дальнейшем, в случае необходимости, модель уточняется, делается ее соответствие объекту более полным.
Возьмем простой пример. Нужно определить площадь поверхности письменного стола. Обычно для этого измеряют его длину и ширину, а затем перемножают полученные числа. Такая элементарная процедура фактически обозначает следующее: реальный объект (поверхность стола) заменяется абстрактной математической моделью – прямоугольником. Прямоугольнику приписываются размеры, полученные в результате измерения длины и ширины поверхности стола, и площадь такого прямоугольника приближенно принимается за искомую площадь стола.
Однако модель прямоугольника для письменного стола – это простейшая, наиболее грубая модель. При более серьезном подходе к задаче прежде, чем воспользоваться для определения площади стола моделью прямоугольника, эту модель нужно проверить. Проверки можно осуществить следующим образом: измерить длины противоположных сторон стола, а также длины его диагоналей и сравнить их между собой. Если, с требуемой степенью точности, длины противоположных сторон и длины диагоналей попарно равны между собой, то поверхность стола действительно можно рассматривать как прямоугольник. В противном случае модель прямоугольника придется отвергнуть и заменить моделью четырехугольника общего вида. При более высоком требовании к точности может возникнуть необходимость пойти в уточнении модели еще дальше, например, учесть закругления углов стола.
С помощью этого простого примера было показано, что математическая модель не определяется однозначно исследуемым объектом, процессом или системой. Для одного и того же стола мы можем принять либо модель прямоугольника, либо более сложную модель четырехугольника общего вида, либо четырехугольника с закругленными углами. Выбор той или иной модели определяется требованием точности. С повышением точности модель приходится усложнять, учитывая новые и новые особенности изучаемого объекта, процесса или системы.
Рассмотрим другой пример: исследование движения кривошипно-шатунного механизма (Рис. 2.1).
Рис. 2.1.
Для кинематического анализа этого механизма, прежде всего, необходимо построить его кинематическую модель. Для этого:
1. Заменяем механизм его кинематической схемой, где все звенья заменены жесткими связями;
2. Пользуясь этой схемой, мы выводим уравнение движения механизма;
3. Дифференцируя последнее, получаем уравнения скоростей и ускорения, которые представляют собой дифференциальные уравнения 1-го и 2-го порядка.
Запишем эти уравнения:
где С0– крайнее правое положение ползуна С:
r – радиус кривошипа AB;
l – длина шатуна BC;
– угол поворота кривошипа;
Полученные трансцендентные уравнения представляют математическую модель движения плоского аксиального кривошипно-шатунного механизма, основанную на следующих упрощающих предположениях:
1. нас не интересовали конструктивные формы и расположение масс, входящих в механизм тел, и все тела механизма мы заменили отрезками прямых. На самом деле, все звенья механизма имеют массу и довольно сложную форму. Например, шатун – это сложное сборное соединение, форма и размеры которого, конечно, будут влиять на движение механизма;
2. при построении математической модели движения рассматриваемого механизма мы также не учитывали упругость входящих в механизм тел, т.е. все звенья рассматривали как абстрактные абсолютно жесткие тела. В действительности же, все входящие в механизм тела – упругие тела. Они при движении механизма будут как-то деформироваться, в них могут даже возникнуть упругие колебания. Это все, конечно, также будет влиять на движение механизма;
3. мы не учитывали погрешность изготовления звеньев, зазоры в кинематических парах A, B, C и т.д.
Таким образом, важно еще раз подчеркнуть, что, чем выше требования к точности результатов решения задачи, тем больше необходимость учитывать при построении математической модели особенности изучаемого объекта, процесса или системы. Однако, здесь важно во время остановиться, так как сложная математическая модель может превратиться в трудно разрешимую задачу.
Наиболее просто строится модель, когда хорошо известны законы, определяющие поведение и свойства объекта, процесса или системы, и имеется большой практический опыт их применения.
Более сложная ситуация возникает тогда, когда наши знания об изучаемом объекте, процессе или системе недостаточны. В этом случае при построении математической модели приходится делать дополнительные предположения, которые носят характер гипотез, такая модель называется гипотетической. Выводы, полученные в результате исследования такой гипотетической модели, носят условный характер. Для проверки выводов необходимо сопоставить результаты исследования модели на ЭВМ с результатами натурного эксперимента. Таким образом, вопрос применимости некоторой математической модели к изучению рассматриваемого объекта, процесса или системы не является математическим вопросом и не может быть решен математическими методами.
Основным критерием истинности является эксперимент, практика в самом широком смысле этого слова.
Построение математической модели в прикладных задачах – один из наиболее сложных и ответственных этапов работы. Опыт показывает, что во многих случаях правильно выбрать модель – значит решить проблему более, чем наполовину. Трудность данного этапа состоит в том, что он требует соединения математических и специальных знаний. Поэтому очень важно, чтобы при решении прикладных задач математики обладали специальными знаниями об объекте, а их партнеры, специалисты, – определенной математической культурой, опытом исследования в своей области, знанием ЭВМ и программирования.
Лекция 3. Компьютерное моделирование и вычислительный эксперимент. Решение математических моделей
Компьютерное моделирование как новый метод научных исследований основывается на:
1. построении математических моделей для описания изучаемых процессов;
2. использовании новейших вычислительных машин, обладающих высоким быстродействием (миллионы операций в секунду) и способных вести диалог с человеком.
Суть компьютерного моделирования состоит в следующем: на основе математической модели с помощью ЭВМ проводится серия вычислительных экспериментов, т.е. исследуются свойства объектов или процессов, находятся их оптимальные параметры и режимы работы, уточняется модель. Например, располагая уравнением, описывающим протекание того или иного процесса, можно изменяя его коэффициенты, начальные и граничные условия, исследовать, как при этом будет вести себя объект. Более того, можно спрогнозировать поведение объекта в различных условиях.
Вычислительный эксперимент позволяет заменить дорогостоящий натурный эксперимент расчетами на ЭВМ. Он позволяет в короткие сроки и без значительных материальных затрат осуществить исследование большого числа вариантов проектируемого объекта или процесса для различных режимов его эксплуатации, что значительно сокращает сроки разработки сложных систем и их внедрение в производство.
Компьютерное моделирование и вычислительный эксперимент как новый метод научного исследования заставляет совершенствовать математический аппарат, используемый при построении математических моделей, позволяет, используя математические методы, уточнять, усложнять математические модели. Наиболее перспективным для проведения вычислительного эксперимента является его использование для решения крупных научно-технических и социально-экономических проблем современности (проектирование реакторов для атомных электростанций, проектирование плотин и гидроэлектростанций, магнитогидродинамических преобразователей энергии, и в области экономики – составление сбалансированного плана для отрасли, региона, для страны и др.).
В некоторых процессах, где натурный эксперимент опасен для жизни и здоровья людей, вычислительный эксперимент является единственно возможным (термоядерный синтез, освоение космического пространства, проектирование и исследование химических и других производств).
Для проверки адекватности математической модели и реального объекта, процесса или системы результаты исследований на ЭВМ сравниваются с результатами эксперимента на опытном натурном образце. Результаты проверки используются для корректировки математической модели или решается вопрос о применимости построенной математической модели к проектированию либо исследованию заданных объектов, процессов или систем.
В заключение подчеркнем еще раз, что компьютерное моделирование и вычислительный эксперимент позволяют свести исследование «нематематического» объекта к решению математической задачи. Этим самым открывается возможность использования для его изучения хорошо разработанного математического аппарата в сочетании с мощной вычислительной техникой. На этом основано применение математики и ЭВМ для познания законов реального мира и их использования на практике.
В задачах проектирования или исследования поведения реальных объектов, процессов или систем математические модели, как правило, нелинейны, т.к. они должны отражать реальные физические нелинейные процессы, протекающие в них. При этом параметры (переменные) этих процессов связаны между собой физическими нелинейными законами. Поэтому в задачах проектирования или исследования поведения реальных объектов, процессов или систем чаще всего используются математические модели типа ДНА.
Согласно классификации приведенной в лекции 1:
Д – модель детерминированная, отсутствует (точнее не учитывается) влияние случайных процессов.
Н – модель непрерывная, информация и параметры непрерывны.
А – модель аналитическая, функционирование модели описывается в виде уравнений (линейных, нелинейных, систем уравнений, дифференциальных и интегральных уравнений).
Итак, мы построили математическую модель рассматриваемого объекта, процесса или системы, т.е. представили прикладную задачу как математическую. После этого наступает второй этап решения прикладной задачи – поиск или разработка метода решения сформулированной математической задачи. Метод должен быть удобным для его реализации на ЭВМ, обеспечивать необходимое качество решения.
Все методы решения математических задач можно разделить на 2 группы:
1. точные методы решения задач;
2. численные методы решения задач.
В точных методах решения математических задач ответ удается получить в виде формул.
Например, вычисление корней квадратного уравнения:
или, например, вычисление производных функций:
или вычисление определенного интеграла:
Однако, подставляя числа в формулу в виде конечных десятичных дробей, мы все равно получаем приближенные значения результата.
Для большинства задач, встречающихся на практике, точные методы решения или неизвестны, или дают очень громоздкие формулы. Однако, они не всегда являются необходимыми. Прикладную задачу можно считать практически решенной, если мы сумеем ее решить с нужной степенью точности.
Для решения таких задач разработаны численные методы, в которых решение сложных математических задач сводится к последовательному выполнению большого числа простых арифметических операций. Непосредственная разработка численных методов относится к вычислительной математике.
Примером численного метода является метод прямоугольников для приближенного интегрирования, не требующий вычисления первообразной для подынтегральной функции. Вместо интеграла вычисляется конечная квадратурная сумма:
x1=a – нижний предел интегрирования;
xn+1=b – верхний предел интегрирования;
n – число отрезков, на которые разбит интервал интегрирования (a,b);
– длина элементарного отрезка;
f(xi) – значение подынтегральной функции на концах элементарных отрезков интегрирования.
Чем больше число отрезков n, на которые разбит интервал интегрирования, тем ближе приближенное решение к истинному, т.е. тем точнее результат.
Таким образом, в прикладных задачах и при применении точных методов решения, и при применении численных методов решения результаты вычислений носят приближенный характер. Важно только добиться того, чтобы ошибки укладывались в рамки требуемой точности.
Численные методы решения математических задач известны давно, еще до появления ЭВМ, но ими пользовались редко и только в сравнительно простых случаях в силу чрезвычайной трудоемкости вычислений. Широкое применение численных методов стало возможным благодаря ЭВМ.