в чем суть выборочного метода

Теория выборочного метода

Главная > Учебные материалы > Математика: Теория выборочного метода

1.Выборочный метод. 2.Оценка параметров выборочной совокупности. 3.Доверительная вероятность. Предельная ошибка выборки.

1.Выборочный метод.

Одним из недостатков, который возникает при использовании выборочного метода, является ошибка репрезентативности. Данная ошибка возникает по причине того, что исследуется не вся совокупность, а выборочная.

Критерий, который должен соблюдаться при отборе объектов для изучения, является случайность. Иными словами, все объекты, отобранные для обследования, должны случайным образом попасть в выборочную совокупность. В противном случае результаты могут оказаться ложными.

Для отбора объектов, которые должны будут подвергнуты изучению, обычно используют один из двух способов образования выборки. Первый способ предусматривает возвращение объекта обследования в общую совокупность после его изучения. Второй способ предусматривает, что отобранный объект не будет возвращен в общую совокупность после его изучения.

Числовые характеристики выборочной совокупности называются соответственно выборочными. Основные характеристики:

Основной задачей выборочного метода наблюдений заключается в том, что бы оценить характеристики генеральной совокупности объектов исследования по данным выборочной совокупности.

2.Оценка параметров выборочной совокупности.

Пусть задана генеральная совокупность объектов исследования. Число объектов генеральной совокупности равно N. Число N имеет большое значение и исследовать всю совокупность не представляется возможным. По этой причине исследуют выборочную совокупность. И параметр , который расчитывается по этой совокупности, представляет собой оценку параметра θ генеральной совокупности. Отсюда можно дать следующее определение: оценкой параметра генеральной совокупности называется величина или функция, расчтитанная по значениям случайной величины Х выборочной совокупности. Т.е.

Например, пусть параметр θ является математическим ожиданием случайной величины Х. Тогда оценкой этого параметра будет являться выборочная средняя арифметическая.

Свойства оценок. Основными свойствами оценок является несмещенность, состоятельность и эффективность.

Несмещенность оценки означает ее отклонение от этого же параметра генеральной совокупности, т.е. математическое ожидание этой оценки равно оцениваемому параметру.

Если это равенство не выполняется, то полученная оценка является завышенной или заниженной.

Состоятельность означает приближение оценки к оцениваемому параметру при стремлении n к бесконечности. Или сходимость по вероятности к параметру генеральной совокупности.

Отсюда можно сделать вывод, что чем больше выборка n, тем точнее оцениваемый параметр.

Эффективной оценкой параметра θ называется такая несмещенная оценка , которая имеет наименьшую дисперсию из всех возможных несмещенных оценок параметра θ, и вычисленную по выборке одного и того же объема n. Эффективность оценки рассчитывается из соотношения:

3.Доверительная вероятность. Предельная ошибка выборки.

При исследовании выборочной совокупности рассчитанная средняя арифметическая может иметь некоторое отклонение от средней арифметической генеральной совокупности. Это отклонение называется ошибкой репрезентативности, которая возникает по причине исследования не всей, а выборочной совокупности. Наибольшее отклонение выборочной средней от средней арифметической генеральной совокупности, которое возможно при заданной доверительной вероятности называется предельной ошибкой выборки.

Построение доверительного интервала для генеральной средней по большой выборке.

Доверительный интервал для генеральной средней при n порядка нескольких сотен рассчитывается по следующей формуле:

переменная t равна:

Отсюда следует, что при заданной доверительной вероятности γ предельная ошибка выборочной средней равна произведению t (значение функции Лапласа) и средней квадратической ошибки.

Доверительный интервал генеральной средней рассчитывается по формуле:

Для нахождения предельной ошибки Δ необходимо найти среднюю квадратическую ошибку. Средняя квадратическая ошибка рассчитывается по следующей формуле:

При достаточно большом объеме выборки n выборочная дисперсия приближается к генеральной дисперсии, поэтому чем больше n, тем точнее значение средней квадратической ошибки.

Построение доверительного интервала для генеральной доли по большой выборке.

Если распределение выборочной доли w считать приблизительно нормальным, то для нахождения доверительного интервала для генеральной доли используем формулу предельную ошибки:

Из графика (рис.2) можно увидеть, что доверительный интервал находится внутри эллипса между значениями p1 и p2. И чем больше объем выборки n, тем эллипс становится более вытянутым и доверительный интервал становится более узким.

Можно вспомнить, что и дисперсия случайной величины, которая равна D(X) = npq для биномиального распределения, так же имеет максимальное значение в этой точке.

Пример.

В коммерческом банке из 5000 вкладов отобраны 792, которые распределены по группам в зависимости от их величины. Распределение вкладов имеет показательный закон распределения. Данные представлены в таблице.

Необходимо найти вероятность того, что средний размер вклада отличается от выборочной средней не более, чем 20 д.е. по абсолютной величине и найти так же границы, в которых с вероятностью 0.99 заключен средний размер вклада. Данные величины найти для повторной и бесповторной выборки. Найти вероятность того, что размер вклада будет заключен в пределах от 600 до 1000 д.е.

Решение.

Найдем выборочную среднюю арифметическую и выборочную дисперсию и построим гистограмму распределения частот.

Найдем границы, в которых с вероятностью 0.99 заключен средний размер вклада.

Найдем вероятность того, что размер вклада будет заключен в пределах от 600 до 1000 д.е.

Источник

СУТЬ ВЫБОРОЧНОГО МЕТОДА

ББК 22.172

УДК 519.2

Новротская, Н. Л.

Н. Л. Новротская

доцент кафедры экономики и управления бизнесом ГИУСТ БГУ
кандидат физико-математических наук, доцент Н. Н. Рачковский

Рассмотрено и одобрено

на заседании кафедры высшей математики и статистики,

протокол № 1 от 28.08 2009 г.

Н 76 Высшая математика. Выборочный метод.: учеб.-метод. пособие / Н. Л. Новротская. – Минск: Частн. ин-т упр. и предпр., 2010. – 25 с.

Раскрывается суть выборочного метода. Излагаются основные способы организации выборок и их представление в виде статистических распределений.

Предназначено для студентов дневной и заочной форм обучения Частного института управления и предпринимательства.

© Новротская Н. Л., 2010

ISBN 978-985-6877-70-7. © Частный институт управления и предпринимательства, 2010

Лекция. Выборочный метод

План:

1. Суть выборочного метода.

2. Выборка и способы ее получения.

3. Статистическое распределение выборки.

Ключевые слова:

Одной из задач, которые стоят перед экономистами при проведении исследования, является сбор необходимых эмпирических данных об объекте исследования. Множество всех единиц совокупности, обладающих определенным признаком и подлежащих изучению, называют генеральной совокупностью (ГС). Наиболее точным и информативным способом сбора данных является сплошное обследование ГС. Однако применение сплошного обследования не всегда представляется возможным. В этом случае применяется выборочное обследование, суть которого заключается в том, что обследованию подвергается только часть элементов ГС, которая называется выборочной совокупностью (ВС). Данный вид обследования является одним из наиболее широко применяемых видов несплошного обследования, целью которого является получение информации для определения обобщающих характеристик ГС. Например, контролер определяет качество производимых консервов. Он не вскрывает всю партию консервов, а только некоторую часть, по которой делает вывод о качестве всей партии изделий ГС.

Теоретической основой выборочного метода является закон больших чисел. В силу данного закона при ограниченном рассеивании признака в ГС и достаточно большой выборке с вероятностью, близкой к единице, выборочная средняя может быть сколь угодно близка к генеральной средней. Закон больших чисел, включающий в себя группу теорем, доказан строго математически. Таким образом, средняя арифметическая, рассчитанная по выборке, может с достаточным основанием рассматриваться как показатель, характеризующий генеральную совокупность в целом.

Известно, что еще до теоретического обоснования возможностей применения выборочного метода статистики были вынуждены проводить выборочные обследования. Необходимость исследования ГС с помощью выборки объясняется тем, что:

а) исследование всей ГС трудоемко и приводит к большим затратам средств и времени или практически неосуществимо, например, перепись населения Республики Беларусь производится один раз в 10 лет;

б) исследование всех объектов ГС приводит к их порче, например, исследование всех электроламп на продолжительность горения.

Выборочный метод позволяет не только сократить временные и материальные затраты на проведение исследования, но и повысить качество проведения выборочного обследования вследствие возможности привлечения персонала более высокого класса и применения различных процедур контроля качества получаемой информации. Кроме того, выборочный метод за счет небольшого (по сравнению с ГС) объема выборки позволяет использовать более сложные методы обследования, включая использование различных технических средств (например, видео- и аудиоаппаратуры).

Разумеется, не всякая выборка может быть основой для характеристики всей совокупности, к которой она принадлежит. При проведении выборочного обследования должны соблюдаться следующие требования:

– случайности (каждая единица генеральной совокупности с одинаковой вероятностью может быть включена в выборку);

– репрезентативности (выборка должна быть максимально близкой к генеральной совокупности, т.е. представлять ее наилучшим образом как по свойствам отдельных единиц, так и по объему);

– независимости (извлечение элементов из совокупности не должно влиять на модель изменчивости совокупности).

Важно учитывать, что при помощи выборочного метода никогда нельзя получить абсолютно точную оценку наблюдаемого признака, всегда существует вероятность ошибки. Величина возможной ошибки складывается из ошибок регистрации и ошибок репрезентативности. Ошибки регистрации, или механические ошибки, связаны с недостаточной квалификацией наблюдателей, неточностью подсчетов, несовершенством приборов и т.д. Ошибкой репрезентативности, как правило, называют отклонение выборочной характеристики признака от предполагаемой характеристики генеральной совокупности. Ошибки репрезентативности бывают систематические и случайные. Систематические ошибки связаны с нарушением установленных правил отбора. Случайные (статистические) ошибки – это ошибки, которые возникают вследствие случайной вариации значений, вызванной тем, что наблюдается только часть единиц, а не вся ГС. Случайные ошибки уменьшаются с увеличением объема ВС. Случайную ошибку можно измерить методами математической статистики, если при формировании ВС соблюдался принцип случайности.Для соблюдения данного принципа формирование ВС должно проходить по строго определенным правилам, которые составляют метод формирования выборочной совокупности.

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Выборочный метод

Хорошо изученным примером использования зависимых наблюдений может служить оценка эмпирического распределения или его параметров в «генеральной совокупности» из N объектов по произведённой из неё «выборке», содержащей n

— необходимость в сборе первичной информации в «пилотных» исследованиях.

Ключевые вопросы выборочного обследования:

— количественная характеристика выборки или определение минимального количества наблюдений (объема выборки) для проведения исследования;

— качественная характеристика выборки или способы и методы формирования выборочной совокупности.

Главная задача выборочного обследования – с минимальным объемом выборки получить как можно более точное описание интересующей генеральной совокупности на основе выборочных данных. Добиться этого можно только на основе репрезентативной выборки, т.е. выборки объективно отражающей свойства генеральной совокупности.

Точность результатов выборочных обследований достигается за счет использования сложных методов формирования выборки (кластерного отбора, задания расслоения, использования вероятностно-пропорционального отбора, простого случайного или случайного отбора, повторного или бесповторного отбора).

Минимальный объем выборки зависит от многих параметров исследования (оцениваемого показателя или системы показателей, способа и методов формирования выборки, вариации исследуемых данных, заданной надежности получаемых результатов, максимально допустимой ошибки в оценки показателей) и определяется на основе формул математической статистики или экспертным путем.

Выборочный метод используют, прежде всего, в социологии, маркетинге, клинических исследованиях. Но фактически при статистическом анализе данных в любой области исследователь работает, как правило, не с генеральной совокупностью, а с выборкой. Ошибка многих исследователей, что они не придают этому значение, не задумываются, какими методами была получена анализируемая информация и насколько соблюдена методология выборочного обследования. Из-за этого получаемые результаты не соответствуют реально объективно существующим закономерностям, т.к. анализируется нерепрезентативная выборка.

В теории выборочного метода разработаны различные способы отбора и виды выборки, обеспечивающие репрезентативность. Под способом отборапонимают порядок отбора единиц из генеральной совокупности. Различают два способа отбора: повторный и бесповторный. При повторном отборе каждая отобранная в случайном порядке единица после ее обследования возвращается в генеральную совокупность и при последующем отборе может снова попасть в выборку.

Этот способ отбора построен по схеме «возвращенного шара»: вероятность попасть в выборку для каждой единицы генеральной совокупности не меняется независимо от числа отбираемых единиц. При бесповторномотборе каждая единица, отобранная в случайном порядке, после ее обследования в генеральную совокупность не возвращается. Этот способ отбора построен по схеме «невозвращенного шара»: вероятность попасть в выборку для каждой единицы генеральной совокупности увеличивается по мере производства отбора.

Выборочное наблюдение применяется, когда применение сплошного наблюдения физически невозможно из-за большого массива данных или экономически нецелесообразно. Физическая невозможность имеет место, например, при изучении пассажиропотоков, рыночных цен, семейных бюджетов. Экономическая нецелесообразность имеет место при оценке качества товаров, связанной с их уничтожением, например, дегустация, испытание кирпичей на прочность и т.п.

Качество результатов выборочного наблюдения зависит от репрезентативности выборки, то есть от того, насколько она представительна в ГС. Для обеспечения репрезентативности выборки необходимо соблюдать принцип случайности отбора единиц, который предполагает, что на включение единицы ГС в выборку не может повлиять какой-либо иной фактор кроме случая.

Существует 4 способа случайного отбора в выборку:

1. Собственно случайный отбор или «метод лото», когда статистическим величинам присваиваются порядковые номера, заносимые на определенные предметы (например, бочонки), которые затем перемешиваются в некоторой емкости (например, в мешке) и выбираются наугад. На практике этот способ осуществляют с помощью генератора случайных чисел или математических таблиц случайных чисел.

2. Механический отбор, согласно которому отбирается каждая (N/n)-я величина генеральной совокупности. Например, если она содержит 100 000 величин, а требуется выбрать 1 000, то в выборку попадет каждая 100 000 / 1000 = 100-я величина. Причем, если они не ранжированы, то первая выбирается наугад из первой сотни, а номера других будут на сотню больше. Например, если первой оказалась единица № 19, то следующей должна быть № 119, затем № 219, затем № 319 и т.д. Если единицы генеральной совокупности ранжированы, то первой выбирается № 50, затем № 150, затем № 250 и так далее.

3. Отбор величин из неоднородного массива данных ведется стратифицированным (расслоенным) способом, когда генеральная совокупность предварительно разбивается на однородные группы, к которым применяется случайный или механический отбор.

4. Особый способ составления выборки представляет собой серийный отбор, при котором случайно или механически выбирают не отдельные величины, а их серии (последовательности с какого-то номера по какой-то подряд), внутри которых ведут сплошное наблюдение.

Качество выборочных наблюдений зависит и от типа выборки: повторная или бесповторная.

При повторном отборе попавшие в выборку статистические величины или их серии после использования возвращаются в генеральную совокупность, имея шанс попасть в новую выборку. При этом у всех величин генеральной совокупности одинаковая вероятность включения в выборку.

Бесповторный отбор означает, что попавшие в выборку статистические величины или их серии после использования не возвращаются в генеральную совокупность, а потому для остальных величин последней повышается вероятность попадания в следующую выборку.

Бесповторный отбор дает более точные результаты, поэтому применяется чаще. Но есть ситуации, когда его применить нельзя (изучение пассажиропотоков, потребительского спроса и т.п.) и тогда ведется повторный отбор.

Индексные методы в статистических исследованиях

Индекс — это обобщающий относительный показатель, характеризующий изменение уровня общественного явления во времени, по сравнению с программой развития, планом, прогнозом или его соотношение в пространстве.

Наиболее распространена сравнительная характеристика во времени. В этом случае индексы выступают какотносительные величины динамики.

Индексный метод является также важнейшим аналитическим средством выявления связей между явлениями. При этом применяются уже не отдельные индексы, а их системы.

В статистической практике индексы применяются при анализе развития всех отраслей экономики, на всех этапах экономической работы. В условиях рыночной экономики особенно возросла роль индексов цен, доходов населения, фондового рынка и территориальных индексов.

Статистика осуществляет классификацию индексов по следующим признакам:

1. В зависимости от объекта исследования:

— индексы объемных (количественных) показателей (индексы физического объема: товарооборота, продукции, потребления)

— индексы качественных показателей (индексы цен, себестоимости, заработной плата)

К индексам объемных показателей относятся индексы физического объема: товарооборота, продукции, потребления материальных благ и услуг; а также других показателей, имеющих количественный характер: численности работников, посевных площадей и т.п. К индексам качественных показателей относятся индексы: цен, себестоимости продукции, заработной платы, производительности труда, урожайности и т.п.;

2. По степени охвата элементов совокупности:

— индивидуальные индексы (дают сравнительную характеристику отдельных элементов явления)

— общие индексы (характеризуют изменение совокупности элементов или всего явления в целом)

3. В зависимости от методологии исчисления общие индексы подразделяются на:

— агрегатные (агрегатные индексы являются основной формой индексов и строятся как агрегаты путем взвешивания индексируемого показателя с помощью неизменной величины другого, взаимосвязанного с ним показателя).

— средние (являются производными от агрегатных)

4. В зависимости от базы сравнения различают:

— базисные (если при исчислении индексов за несколько периодов времени база сравнения остается постоянной)

— цепные (если база сравнения постоянно меняется)

Источник

В чем суть выборочного метода

1. Задачи математической статистики.

4. Статистическое распределение выборки.

5. Эмпирическая функция распределения.

6. Полигон и гистограмма.

7. Числовые характеристики вариационного ряда.

8. Статистические оценки параметров распределения.

9. Интервальные оценки параметров распределения.

1. Задачи и методы математической статистики

Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты. Например, если имеется партия деталей, то качественным признаком может служить стандартность детали, а количественным- контролируемый размер детали.

Иногда проводят сплошное исследование, т.е. обследуют каждый объект относительно нужного признака. На практике сплошное обследование применяется редко. Например, если совокупность содержит очень большое число объектов, то провести сплошное обследование физически невозможно. Если обследование объекта связано с его уничтожением или требует больших материальных затрат, то проводить сплошное обследование не имеет смысла. В таких случаях случайно отбирают из всей совокупности ограниченное число объектов (выборочную совокупность) и подвергают их изучению.

Основная задача математической статистики заключается в исследовании всей совокупности по выборочным данным в зависимости от поставленной цели, т.е. изучение вероятностных свойств совокупности: закона распределения, числовых характеристик и т.д. для принятия управленческих решений в условиях неопределенности.

Генеральная совокупность – это совокупность объектов, из которой производится выборка.

Выборочная совокупность (выборка) – это совокупность случайно отобранных объектов.

Если из 1000 деталей отобрано для обследования 100 деталей, то объем генеральной совокупности N = 1000, а объем выборки n = 100.

При составлении выборки можно поступить двумя способами: после того, как объект отобран и над ним произведено наблюдение, он может быть возвращен либо не возвращен в генеральную совокупность. Т.о. выборки делятся на повторные и бесповторные.

Повторной называют выборку, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность.

Бесповторной называют выборку, при которой отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.

На практике обычно пользуются бесповторным случайным отбором.

Для того, чтобы по данным выборки можно было достаточно уверенно судить об интересующем признаке генеральной совокупности, необходимо, чтобы объекты выборки правильно его представляли. Выборка должна правильно представлять пропорции генеральной совокупности. Выборка должна быть репрезентативной (представительной).

В силу закона больших чисел можно утверждать, что выборка будет репрезентативной, если ее осуществлять случайно.

Если объем генеральной совокупности достаточно велик, а выборка составляет лишь незначительную часть этой совокупности, то различие между повторной и бесповторной выборками стирается; в предельном случае, когда рассматривается бесконечная генеральная совокупность, а выборка имеет конечный объем, это различие исчезает.

В американском журнале «Литературное обозрение» с помощью статистических методов было проведено исследование прогнозов относительно исхода предстоящих выборов президента США в 1936 году. Претендентами на этот пост были Ф.Д. Рузвельт и А. М. Ландон. В качестве источника для генеральной совокупности исследуемых американцев были взяты справочники телефонных абонентов. Из них случайным образом были выбраны 4 миллиона адресов., по которым редакция журнала разослала открытки с просьбой высказать свое отношение к кандидатам на пост президента. Обработав результаты опроса, журнал опубликовал социологический прогноз о том, что на предстоящих выборах с большим перевесом победит Ландон. И … ошибся: победу одержал Рузвельт.
Этот пример можно рассматривать, как пример нерепрезентативной выборки. Дело в том, что в США в первой половине двадцатого века телефоны имела лишь зажиточная часть населения, которые поддерживали взгляды Ландона.

На практике применяются различные способы отбора, которые можно разделить на 2 вида:

1. Отбор не требует расчленения генеральной совокупности на части (а) простой случайный бесповторный; б) простой случайный повторный).

2. Отбор, при котором генеральная совокупность разбивается на части. (а) типичный отбор; б) механический отбор; в) серийный отбор).

Простым случайным называют такой отбор, при котором объекты извлекаются по одному из всей генеральной совокупности (случайно).

Типичным называют отбор, при котором объекты отбираются не из всей генеральной совокупности, а из каждой ее «типичной» части. Например, если деталь изготавливают на нескольких станках, то отбор производят не из всей совокупности деталей, произведенных всеми станками, а из продукции каждого станка в отдельности. Таким отбором пользуются тогда, когда обследуемый признак заметно колеблется в различных «типичных» частях генеральной совокупности.

Механическим называют отбор, при котором генеральную совокупность «механически» делят на столько групп, сколько объектов должно войти в выборку, а из каждой группы отбирают один объект. Например, если нужно отобрать 20 % изготовленных станком деталей, то отбирают каждую 5-ую деталь; если требуется отобрать 5 % деталей- каждую 20-ую и т.д. Иногда такой отбор может не обеспечивать репрезентативность выборки (если отбирают каждый 20-ый обтачиваемый валик, причем сразу же после отбора производится замена резца, то отобранными окажутся все валики, обточенные затупленными резцами).

Серийным называют отбор, при котором объекты отбирают из генеральной совокупности не по одному, а «сериями», которые подвергают сплошному обследованию. Например, если изделия изготавливаются большой группой станков-автоматов, то подвергают сплошному обследованию продукцию только нескольких станков.

На практике часто применяют комбинированный отбор, при котором сочетаются указанные выше способы.

4. Статистическое распределение выборки

Если количество вариант велико или выборка производится из непрерывной генеральной совокупности, то вариационный ряд составляется не по отдельным точечным значениям, а по интервалам значений генеральной совокупности. Такой вариационный ряд называется интервальным. Длины интервалов при этом должны быть равны.

Статистическим распределением выборки называется перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.

Статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (суммы частот, попавших в этот интервал значений)

Точечный вариационный ряд частот может быть представлен таблицей:

Источник