в чем суть прямой и обратной геодезических задач

Понятие о прямой и обратной геодезических задачах

В геодезии существуют две стандартные задачи о вычислении элементов взаимного расположения двух точек: прямая и обратная геодезические задачи.

Прямая геодезическая задача – это вычисление координат X₂, Y₂ второго пункта, если известны координаты X₁, Y₁ первого пункта, дирекционный угол α и длина S линии, соединяющей эти пункты (рисунок 1). Прямая геодезическая задача решается по формулам:

,

,

,

.

Величины ΔX и ΔY называются

Обратная геодезическая задача – это вычисление дирекционного угла α и длины S линии, соединяющей два пункта с известными координатами X₁, Y₁ и X₂, Y₂ (рисунок 1). Для решения обратной геодезической задачи разработаны два алгоритма: через арктангенс и через арккосинус.

В первом алгоритме обратная задача решается по формулам:

; ;

; ;

1-я четверть: ΔX>0 ; ΔY>0 ; α = r ;

2-я четверть: ΔX 0 ; α = 180 0 – r ;

3-я четверть: ΔX 0 + r ;

4-я четверть: ΔX>0 ; ΔY 0 – r ;

Частный случай: ΔX=0 решается отдельно:

Длина линии вычисляется по формуле и контролируется по формулам .

Во втором алгоритме задача решается по формулам:

;

; ;

Источник

Прямая и обратная геодез задачи

Геодезическая задача – математического вида задача, связаная с определением взаимного положения точек земной поверхности и подразделяется на прямую и обратную задачу.

Обратная геодезическая задача (ОГЗ) заключается в определении по геодезическим координатам двух точек на земном эллипсоиде длины и дирекционного угла направления между этими точками.

В зависимости от длины геодезической линии, соединяющей рассматриваемые точки, применяются различные методы и формулы, разработанные в геодезии. По размерам принятого земного эллипсоида (см. Эллипсоид Красовского) составляются таблицы, облегчающие решение геодезических задач и рассчитанные на использование определённой системы формул.

Для определения координат точки в прямой геодезической задаче обычно применяют формулы:

1) нахождения приращений :

2) нахождения координат :

В обратной геодезической задаче находят дирекционный угол и расстояние:

1) вычисляют румб по формуле :

2) находят дирекционный угол в зависимости от четверти угла :

3) определяют расстояние между точками :

Геодезическая задача в том и другом виде возникает при обработке полигонометрии и триангуляции, а также во всех тех случаях, когда необходимо определить взаимное положение двух точек по длине и направлению соединяющей их линии или же расстояние и направление между этими точками по их геодезическим координатам. В ряде случаев геодезические задачи решают в пространственных прямоугольных координатах по формулам аналитической геометрии в пространстве. В этих случаях вместо длины и дирекционного угла, соединяющей две точки, используют длину и пространственные компоненты направления прямой линии между этими точками.

Тахетрическая съемка

Тахеометрическая съемка – топографическая съемка, выполняемая с помощью теодолита или тахеометра и дальномерной рейки (вехи с призмой), в результате которой получают план местности с изображением ситуации и рельефа.

Тахеометрическая съемка выполняется самостоятельно для создания планов или цифровых моделей небольших участков местности в крупных масштабах (1: 500 – 1: 5000) либо в сочетании с другими видами работ, когда выполнение стереотопографической или мензульной съемокэкономически нецелесообразно или технически затруднительно. Ее результаты используют при ведении земельного или городского кадастра, для планировки населенных пунктов, проектирования отводов земель, мелиоративных мероприятий и т.д. Особенно выгодно ее применение для съемки узких полос местности при изысканиях трасс каналов, железных и автомобильных дорог, линий электропередач, трубопроводов и других протяженных линейных объектов.

Слово «тахеометрия» в переводе с греческого означает «быстрое измерение». Быстрота измерений при тахеометрической съемке достигается тем, что положение снимаемой точки местности в плане и по высоте определяется одним наведением трубы прибора на рейку, установленную в этой точке. Тахеометрическая съемка выполняется обычно с помощью технических теодолитов или тахеометров.

При использовании технических теодолитов сущность тахеометрической съемки сводится к определению пространственных полярных координат точек местности и последующему нанесению этих точек на план. При этом горизонтальный угол B между начальным направлением и направлением на снимаемую точку измеряется с помощью горизонтального круга, вертикальный угол v – вертикального круга теодолита, а расстояние до точки D – дальномером. Таким образом, плановое положение снимаемых точек определяется полярным способом (координатами в,d), а превышения точек – методом тригонометрического нивелирования.

Преимущества тахеометрической съемки по сравнению с другими видами топографических съемок заключаются в том, что она может выполняться при неблагоприятных погодных условиях, а камеральные работы могут выполняться другим исполнителем вслед за производством полевых измерений, что позволяет сократить сроки составления плана снимаемой местности. Кроме того, сам процесс съемки может быть автоматизирован путем использования электронных тахеометров, а составление плана или ЦММ – производить на базе ЭВМ и графопостроителей. Основным недостатком тахеометрической съемки является то, что составление плана местности выполняется в камеральных условиях на основании только результатов полевых измерений и зарисовок. При этом нельзя своевременно выявить допущенные промахи путем сличения плана с местностью.

Источник

Что такое обратная и прямая геодезическая задача: суть, методы решения, назначение

В строительстве большую часть времени занимают геодезические работы. Это комплекс различных измерений и вычислений на местности. Стоит ли говорить, что качество выполненных работ зависит от точности полученных результатов. Это влияет на размещение зданий и сооружений, а также возведение их конструктивных элементов. Все должно соответствовать проектным показателям и техническим регламентам. Геодезические работы выполняются в объеме, определенном особенностями объекта и стадией его реализации. Компания «Промтерра» специализируется на их проведении с составлением необходимых чертежей, схем и расчетов. Для этого есть все составляющие: действующая лицензия, опыт, допуск СРО, штат специалистов. Один из вопросов, который поступает при выполнении работ, касается геодезической задачи. Что это такое, как используется в работе и ее назначение.

Математика в действии

По своей сути геодезические задачи — это математика в чистом виде. Основная задача состоит в определении взаимного положения точек принадлежащих какой-либо поверхности. Наиболее часто приходится иметь дело с прямыми и обратными геодезическими задачами, но на этом математические вычисления не заканчиваются. В зависимости от поставленных условий могут применяться и другие виды. Например, решение треугольника по измеренным углам и сторонам. Интересный исторический факт: с геодезическими задачами исследователи этой темы работают уже больше трех веков, а споры относительно методов дальше продолжаются.

Что такое прямая геодезическая задача

Эта разновидность предполагает вычисление координат, то есть широты и долготы определенной точки. А она, в свою очередь, лежит на математически правильной поверхности — земном эллипсоиде. Вычисления производятся по координатам другой точки, по длине и азимуту геодезической линии. Точность решения зависит от корректности исходных данных. Для проведения вычислений используют формулы нахождения приращений и определения координат.

Специалисты применяют разные методы для получения результатов. Наиболее востребованными считаются косвенный и прямой. Они отличаются тем, что в основе лежит точность исходных данных. Косвенные методы решения очень чувствительны к ним. Если в исходнике есть значительные расстояния, изменения по азимуту, то вычисления не получится сделать, или они будут с большими погрешностями. Прямые методы работают по соотношениям сфероидической геодезии, поэтому результаты можно получить более точные. Кстати, прямой тип геодезических задач применяется при вычислении координат в теодолитном ходе.

Что такое ОГЗ: суть обратной геодезической задачи

При работе над обратной геодезической задачей вычисления проводятся по известным координатам двух точек на земном эллипсоиде. Это нужно для получения значений горизонтального положения линий между ними, а также дирекционного угла этой самой линии. В этом состоит суть. Для получения искомых величин используется вычисление румба и расстояние между координатами точек. Нужно помнить, что дирекционный угол при этом находится по четверти системы координат, которая и является объектом, где размещены искомые позиции. Для решения нужно учитывать знаки приращения, которые свойственны для определенных четвертей. В этом типе задач уделяют большое значение сходимости результатов, поэтому расчеты могут проводиться несколько раз. На это влияют свойства горизонтального положения между точками. В каких случаях применяется обратная геодезическая задача? В тех, когда по известным двум точкам и их координатам определяют расстояние не только между ними, но и дирекционный угол линии.

В том или ином виде геодезические задачи возникают и в других направлениях — в полигонометрии, триангуляции, но на этом не заканчивается востребованность. Используется также, когда стоит задача определения взаимного положения точек по исходным данным длины и направления соединяющей линии. Есть ряд случаев, когда геодезические задачи решают с использованием формул аналитической геометрии в пространстве. Речь идет о пространственных прямоугольных координатах. Для этого используют пространственные компоненты направления прямой линии между этими точками.

Обратный тип геодезической задачи — не просто математическая проверка и вычисления. Она имеет практическое значение, ведь используется при вычислении длин проектных линий. Кроме этого, используется при выполнении привязки теодолитных ходов к пунктам геодезической сети, съемочных сетей и сетей сгущения. Еще одно практическое назначение — определение направления с пункта на пункт при отсутствии видимости. Обратная геодезическая задача используется в промышленном и гражданском строительстве.

А как решать обратные задачи, если в исходнике большие расстояния? В этом случае рекомендуется использовать метод итерации. Его можно использовать при расстояниях до 20 000 км. Итерация основана на решении прямой геодезической задачи любым выбранным методом — численным или аналитическим. И точность решения именно ОГЗ определяется решением ПГЗ.

Прямые и обратные геодезические задачи требуют получения точных результатов. Насколько получится достичь поставленной цели, зависит от исходных сведений и выбранного метода решения. Вычисление способом Бесселя, методом Рунге-Кутта-Фельберга, итерации, численного интегрирования — в каждом отдельном случае выбор зависит от расстояний и координат точек. В штате компании «Промтерра» работают опытные специалисты в сфере инженерной геодезии, поэтому за решение даже самых сложных задач можно быть спокойными. Тема геодезических задач всегда остается актуальной, поэтому отслеживание последних тенденций в проведении вычислений для получения точных результатов — необходимость. Важно отметить, что подобного плана математические методы востребованы не только в геодезической сфере деятельности, но и в навигации, корректировке ракетного огня и др.

Источник

Прямая и обратная геодезические задачи.

Графический способ определения площади на картах и планах.

Таким образом, вариант с измерением трех сторон треугольника оказывается самым эффективным, так как в нем не требуется измерять углы.

Четырехугольник, как геометрическая фигура, может быть параллелограммом, ромбом, трапецией, прямоугольником, квадратом; но как участок местности его следует считать фигурой произвольной формы, так как обеспечение геометрических свойств той или иной фигуры на местности требует дополнительных измерений.

Применение геометрического способа на местности требует разбиения участка на простые геометрические фигуры, что возможно лишь при наличии видимости внутри участка.

При определении площади участков на топографических планах и картах стороны и высоты треугольников, стороны и диагонали четырехугольников нужно измерять с помощью поперечного масштаба.

Смысл угловой и линейной невязок, как они рассчитываются в замкнутом

Теодолитном ходе.

Определяют абсолютную невязку fD хода fD = √f 2 x + f 2 y и записывают в ведомость с погрешностью до сотых долей метра.

Прямая и обратная геодезические задачи.

Прямая геодезическая задача заключается в том, что по известным координатам одной точки (например точка А), вычисляют координаты другой точки (например точка В), для чего необходимо знать горизонтальное проложение (длину) линии между этими точками () и дирекционный угол этой линии.

Решение прямой геодезической задачи выполняется по формулам:

где называются приращениями координат и определяются из решения прямоугольного треугольника :

Знаки приращений координат ( ) зависят от четверти, в которой находится заданное направление и определяются по формулам 2, с помощью рисунка приведенного выше, или с помощью таблицы

Обратная геодезическая задача заключается в том, что по известным координатам двух точек (например точек А и В) вычисляют горизонтальное проложение (длину) линии между этими точками ( ) и дирекционный угол этой линии .

Решение обратной геодезической задачи выполняется в следующем порядке:

1) вычисляют приращения координат

2) из решения прямоугольного треугольника определяют румб линии :

3) по знакам приращений координат ( ) с помощью таблицы определяют в какой четверти находится заданное направление и по известному румбу линии ( ) определяют дирекционный угол линии

4) определяют горизонтальное проложение (длину линии)

Горизонтальное проложение линии может быть вычислено трижды, что является хорошим контролем вычислений.

Источник