в чем состояло уточнение ньютоном третьего закона кеплера

В чем состояло уточнение ньютоном третьего закона кеплера

§ 10. ОБОБЩЕНИЕ И УТОЧНЕНИЕ НЬЮТОНОМ ЗАКОНОВ КЕПЛЕРА

1. Закон всемирного тяготения. Напомним известную из курса физики формулировку закона всемирного тяготения: все тела притягиваются друг к другу с силой, модуль ко­торой прямо пропорционален произведению их масс и об­ратно пропорционален квадрату расстояния между ними.

Закон всемирного тяготения записывается в виде:

(16)

Из физики вы знаете, что гравитация — общее свойство всех тел в природе. Исключительно важную роль она играет в мире небесных тел; ею объясняются не только почти все движения, но и многие процессы, связанные с образованием и развитием небесных тел. Если законы Кеплера отвечают на вопрос, по каким траекториям движутся небесные тела, то закон всемирного тяготения отвечает на вопрос, какая сила удерживает планеты около Солнца, спутники около планет и т. д.

3. Законы Кеплера в формулировке Ньютона. Как вы уже знаете, Кеплер открыл свои законы эмпирическим пу­тем. Ньютон вывел законы Кеплера из закона всемирного тяготения. Он доказал, что под действием силы тяготения одно небесное тело может двигаться по отношению к дру­гому по окружности, эллипсу, параболе и гиперболе. В этом заключается первый обобщенный Ньютоном закон Ке­плера. Он имеет универсальный характер и справедлив для любых тел, между которыми действует взаимное тяготение. Ему подчиняется и движение искусственных небесных тел. Напомним, что форма орбиты зависит от модуля и направ­ления начальной скорости (рис. 23).

Рис. 23. Зависимость формы орбиты искусственного небесного тела от начальной скорости υ_о.

Орбиты при различных начальных скоростях (векторы скоростей во всех случаях направлены горизонтально, т.е. перпендикулярно радиусу Земли): 1 — круговая (υ_о=7,9 км/с); 2,3,4 — эллиптические (υ_о соответственно равны 10,0 км/с, 11,0 км/с, 11,1 км/с); 5 — параболическая (υ_о≈11,2 км/с); 6 — гипер-болическая (υ_о≈12,0 км/с).

Формулировка второго закона Кеплера не потребовала обобщения.

Для определения масс небесных тел важное значение имеет обобщение Ньютоном третьего закона Кеплера на любые системы обращающихся тел. Если, в частности, массивным (центральным) телом является Солнце, то для него и двух движущихся вокруг него планет третий закон Кеплера будет иметь вид:

(17)

т. е. квадраты сидерических периодов планет ( и ), умноженные на сумму масс Солнца и планеты ( и ), относятся как кубы больших полуосей орбит планет ( и ).

Можно применить третий закон Кеплера и к другим си­стемам, например к движению планеты вокруг Солнца и спутника вокруг планеты. Обозначим массы Солнца, пла­неты и ее спутника соответственно через , т и m ₁ пери­оды обращения планеты вокруг Солнца и спутника вокруг планеты — через T и Т₁ и, наконец, средние расстояния планеты от Солнца и спутника от планеты — через а и а_х Тогда третий закон Кеплера можно записать в виде:

Масса Солнца во много раз больше массы любой из пла­нет, т. е. » т. Масса планеты обычно также очень ве­лика по сравнению с массой спутника (исключение состав­ляют Земля и Луна, а также Плутон с его спутником Хароном), т. е. т » m ₁ . Поэтому с достаточной степенью точности можно вычислить отношение массы Солнца к массе планеты по формуле:

(18)

Формула (18) была получена из рассмотрения движения планеты вокруг Солнца и спутника вокруг планеты. Анало­гичный вид будет иметь формула для определения массы планеты (имеющей спутника!), если эту систему небесных тел сравнить с другой планетой и ее спутником:

(18′)

где и — соответственно массы сравниваемых планет; и — периоды обращения спутников планет; а’ и — средние расстояния между спутниками планет ипланетами.

Пример 5. Вычислить массу Юпитера, зная, что один из его спутников (Ио) совершает оборот вокруг планеты за 1,77 сут на расстоянии 422 тыс. км от Юпитера.

Для решения задачи сравним обращение Ио вокруг Юпитера с обращением Луны вокруг Земли. Массу Земли примем за единицу (т. е. = = 1), период обращения Луны 27,32 сут ( = 27,32 д — такое обозначение для су­ток принято в астрономии), а среднее расстояние Луны от Земли — 384 тыс. км.

Источник

1. Запишите формулу закона всемирного тяготения и объясните входящие в нее величины.

2. Закончите предложения.

При выводе закона всемирного тяготения Ньютон использовал следующие наблюдения:

а) размеры тел пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием между ними;
б) в формуле закона всемирного тяготения следует принимать расстояние между центрами;

и пришел к выводам, что

в) два тела притягиваются друг к другу с силой, пропорциональной произведению масс этих тел и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними;
г) под силой тяготения одно небесное тело движется в поле тяготения другого небесного тела по одному из конических сечений — окружности, эллипсу, параболе или гиперболе.

3. В чем состоит уточнение и обобщение Ньютоном первого закона Кеплера?

Под силой тяготения всякое тело движется по коническому сечению.

4. Запишите формулу уточненного Ньютоном третьего закона Кеплера и объясните входящие в нее величины.

T 2 ₁(M_☉ + m₁) / T 2 ₂(M_☉ + m₂) = a 3 ₁/a 3 ₂, где M — масса тела, m — масса планеты, a — большие полуоси орбит планет.

5. Закончите предложения.

Возмущенным движением небесных тел называют отклонением в движении тел от законов Кеплера, т.е. реальное движение тел.

Нептун был открыт в результате предварительных вычислений, длительных исследований и поисков.

6. Решите задачи.

1. Определите массу Сатурна (в массах Земли) путем сравнения системы Сатурн—Титан с системой Земля—Луна, если известно, что спутник Сатурна Титан отстоит от него на расстоянии r = 1220 тыс. км и обращается с периодом Т — 16 суток. Для получения данных о Луне воспользуйтесь справочником.

2. Определите массу карликовой планеты Плутон (в массах Земли) путем сравнения системы Плутон—Харон с системой Земля—Луна, если известно, что Харон отстоит от Плутона на расстоянии r — 19,7 тыс. км и обращается с периодом T = 6,4 суток. Массы Луны, Харона и Титана считайте пренебрежимо малыми по сравнению с массами планет.

Источник

В чем состояло уточнение ньютоном третьего закона кеплера

Закон всемирного тяготения. Напомним известную из курса физики формулировку закона всемирного тяготения: все тела притягиваются друг к другу с силой, модуль ко­торой прямо пропорционален произведению их масс и об­ратно пропорционален квадрату расстояния между ними.

Закон всемирного тяготения записывается в виде:

(16)

Из физики вы знаете, что гравитация — общее свойство всех тел в природе. Исключительно важную роль она играет в мире небесных тел; ею объясняются не только почти все движения, но и многие процессы, связанные с образованием и развитием небесных тел. Если законы Кеплера отвечают на вопрос, по каким траекториям движутся небесные тела, то закон всемирного тяготения отвечает на вопрос, какая сила удерживает планеты около Солнца, спутники около планет и т. д.

Меркурий, Венера, Марс, Юпитер и Сатурн были из­вестнылюдям с глубокой древности. Мысль о том, что наша Земля — тоже планета Солнечной системы, впервые была научно обоснована Н. Коперником. Планету, находя­щуюся за орбитой Сатурна и не видимую невооруженным глазом, открыл в1781 г. с помощью телескопа английский астроном (профессиональный музыкант, который начал зани­маться астрономией как любитель)Уильям Гершель (1738— 1822). Она была названа Ураном. Основываясь на законах небесной механики, астрономы вычислили орбиту Урана, но довольно скоро выяснилось, что в движении новой планеты заметны отклонения от кеплеровской орбиты. Наблюдаемые отклонения могли означать либо то, что действие закона всемирного тяготения ограничено лишь близкими плане­тами, либо то, что за Ураном есть еще какая-нибудь пла­нета, возмущающая его движение. Сделав именно это, вто­рое предположение, астрономы решили попытаться открыть новую планету, вычислив ее положение в пространстве. Не­зависимо друг от друга такую задачу удалось решить двум молодым математикам — англичанину Джону Адамсу (1819—1892) и французуУрбену Леверье (1811—1877). Астроном Берлинской обсерватории Иоганн Галле (1812— 1910), получив телеграмму от Леверье с просьбой поискать планету в указанном месте, 23 сентября1846 г. обнаружил в созвездии Водолея светило, которого не было на звездной карте. Так была открыта восьмая планета Солнечной си­стемы, названная Нептуном. Это был триумф небесной ме­ханики, торжество гелиоцентрической системы. Девятую планету Солнечной системы — Плутон — удалось открыть лишь в1930 г.

3. Законы Кеплера в формулировке Ньютона. Как вы уже знаете, Кеплер открыл свои законы эмпирическим пу­тем. Ньютон вывел законы Кеплера из закона всемирного тяготения. Он доказал, что под действием силы тяготения одно небесное тело может двигаться по отношению к дру­гому по окружности, эллипсу, параболе и гиперболе. В этом заключается первый обобщенный Ньютоном закон Ке­плера. Он имеет универсальный характер и справедлив для любых тел, между которыми действует взаимное тяготение. Ему подчиняется и движение искусственных небесных тел. Напомним, что форма орбиты зависит от модуля и направ­ления начальной скорости (рис. 23).

Рис. 23. Зависимость формы орбиты искусственного небесного тела от начальной скорости υ_о.

Орбиты при различных начальных скоростях (векторы скоростей во всех случаях направлены горизонтально, т.е. перпендикулярно радиусу Земли): 1 — круговая (υ_о=7,9 км/с); 2,3,4 — эллиптические (υ_о соответственно равны 10,0 км/с, 11,0 км/с, 11,1 км/с); 5 — параболическая (υ_о≈11,2 км/с); 6 — гипер-болическая (υ_о≈12,0 км/с).

Формулировка второго закона Кеплера не потребовала обобщения.

Для определения масс небесных тел важное значение имеет обобщение Ньютоном третьего закона Кеплера на любые системы обращающихся тел. Если, в частности, массивным (центральным) телом является Солнце, то для него и двух движущихся вокруг него планет третий закон Кеплера будет иметь вид:

(17)

т. е. квадраты сидерических периодов планет ( и ), умноженные на сумму масс Солнца и планеты ( и ), относятся как кубы больших полуосей орбит планет ( и ).

Можно применить третий закон Кеплера и к другим си­стемам, например к движению планеты вокруг Солнца и спутника вокруг планеты. Обозначим массы Солнца, пла­неты и ее спутника соответственно через , т и m ₁ пери­оды обращения планеты вокруг Солнца и спутника вокруг планеты — через T и Т₁ и, наконец, средние расстояния планеты от Солнца и спутника от планеты — через а и а_х Тогда третий закон Кеплера можно записать в виде:

Масса Солнца во много раз больше массы любой из пла­нет, т. е. » т. Масса планеты обычно также очень ве­лика по сравнению с массой спутника (исключение состав­ляют Земля и Луна, а также Плутон с его спутником Хароном), т. е. т » m ₁ . Поэтому с достаточной степенью точности можно вычислить отношение массы Солнца к массе планеты по формуле:

(18)

Формула (18) была получена из рассмотрения движения планеты вокруг Солнца и спутника вокруг планеты. Анало­гичный вид будет иметь формула для определения массы планеты (имеющей спутника!), если эту систему небесных тел сравнить с другой планетой и ее спутником:

(18′)

где и — соответственно массы сравниваемых планет; и — периоды обращения спутников планет; а’ и — средние расстояния между спутниками планет ипланетами.

Пример. Вычислить массу Юпитера, зная, что один из его спутников (Ио) совершает оборот вокруг планеты за 1,77 сут на расстоянии 422 тыс. км от Юпитера.

Для решения задачи сравним обращение Ио вокруг Юпитера с обращением Луны вокруг Земли. Массу Земли примем за единицу (т. е. = = 1), период обращения Луны 27,32 сут ( = 27,32 д — такое обозначение для су­ток принято в астрономии), а среднее расстояние Луны от Земли — 384 тыс. км.

Законы кеплера.ppt

Физические условия на Луне. Луна практически ли­шена атмосферы. Если допустить, что в прошлом у Луны была атмосфера, то легко понять, почему ее нет сейчас. Дело в том, что сравнительно небольшие (по массе) небес­ные тела (подобные Луне) не могут длительное время удер­живать атмосферу. Уже при скорости 2,38 км/с (вторая кос­мическая скорость для Луны) молекулы газа способны по­кинуть Луну.

На поверхности Луны нет воды. Испарение воды образова­ло бы вокруг Луны газовую оболочку, которая быстро бы рассеялась. Однако, в конце 90-х гг. в результате полетов АМС «Клементина» было сделано предположение о том, что под поверхностным слоем пород некоторых кратеров сущест­вуют немалые запасы льда.

На небе Луны видны те же самые созвездия, что и на небе Земли. Из-за отсутствия атмосферы яркие звезды и планеты видны на Луне и днем. Поэтому космонавты могут ориентироваться на Луне по звездам и днем и ночью. Ори­ентировка по звездам приобретает на Луне особое значение, так как там магнитный компас бесполезен. (Луна не имеет магнитного поля, подобного земному.)

Меркурий и Венеру можно наблюдать с Луны даже в непосредственной близости от Солнца. Эффектное украшение неба Луны — наша Земля (рис. 31). Диск Земли примерно в 3,5 раза больше солнечного диска.

Рис. 31. Земля на небе Луны.

На протяжении лунного дня, длящегося около двух зем­ных недель, поверхность Луны сильно нагревается, а затем охлаждается в ночное время (ночь на Луне тоже длится почти две земные недели). Отсутствие атмосферы на Луне приводит к резким колебаниям температуры в течение лун­ных суток. В районе «подсолнечной» точки, т. е. там, где Солнце днем находится в зените, температура превышает 400 К (+130 °С). На противоположной стороне Луны вблизи «антисолнечной» точки поверхность Луны охлаждается почти до 100 К (-170 °С). Значит, на протяжении одних лунных суток (29,5 земных суток) температура изменяется на 300 К. Резкие колебания температуры, происходящие на Луне, относятся только к ее поверхности. Уже на глубине в несколько десятков сантиметров температура в течение лун­ных суток практически не изменяется. Это объясняется плохой теплопроводностью лунного грунта, который не успевает ни прогреться днем, ни охладиться ночью.

Вы знаете, что Луна сейчас обращена к Земле одной стороной. Так было не всегда. Миллиарды лет назад Луна была ближе к Земле, чем сейчас, а периоды вращения Земли и обращения вокруг нее Луны составляли лишь не­сколько часов. На нынешнем этапе эволюции системы «Земля — Луна» период вращения Луны совпал с периодом ее обращения. Это привело к двум важным следствиям. Во-первых, продолжительность солнечных суток на Луне равна синодическому месяцу (день и ночь на Луне длятся почти по две земные недели). Во-вторых, к Земле Луна всегда об­ращена одним полушарием (мы с Земли видим всегда одну и ту же сторону Луны).

Рис. 32. Видимая с Земли сторона Луны (вид в телескоп).

Поверхность Луны. Даже невооруженным глазом на Луне видны обширные темные участки ( моря ) и светлые ( материки ). Более подробно их можно рассмотреть в школьный телескоп (рис. 32). Несмотря на то, что в лунных морях нет ни капли воды, в науке сохранилась прежняя система наименований, предложенная еще в XVII в. В отли­чие от морей (сравнительно ровных участков лунной поверх­ности, покрытых темным веществом), материки представ­ляют собой гористые районы.

На обращенной к Земле стороне Луны материки зани­мают около 70%, а моря — 30% территории видимого с Земли полушария Луны.

Рис. 33. Вид кратеров в школьный телескоп.

В отличие от продолжающихся несколько столетий теле­скопических исследований видимой стороны Луны, исследо­вание обратной ее стороны началось, когда впервые в исто­рии науки обратная сторона Луны была сфотографирована автоматической станцией «Луна-3» 7 октября1959 г. При­мерно через 6 лет (июль1965 г.) другая наша автоматиче­ская межпланетная станция (АМС) «Зонд-3», выведенная на гелиоцентрическую орбиту, передала новые фотографии. При этом удалось сфотографировать почти все области обратной стороны Луны, которые не попали в поле зрения фототеле­визионных устройств «Луны-3». Полученные снимки позволили составить карты и атласы обратной стороны Луны, лунные глобусы и полные карты, охватывающие почти всю поверхность Луны.

На невидимом с Земли полушарии Луны преобладают материки. Средний диаметр крупного моря — Моря Москвы — достигает460 км. Много на обратной стороне Луны и кратеров (им присвоены имена выдающих­ся деятелей науки — Ломоносов, Джордано Бруно, Циолковский, Жолио-Кюри и др.) Нередко кратеры образуют длинные цепочки, тянущиеся на сотни километров. Там находится и самый большой кратер. Его диаметр около 2500 км(!), а глубина12 км. Скорее всего, это самый боль­шой кратер в Солнечной системе.

Лунные породы. Благодаря мягким посадкам автома­тических станций на Луну, а затем и полетам на Луну аме­риканскихастронавтов стали известны механические свой­ства лунного грунта и его химический состав. На Луне не оказалось толстого слоя пыли, которого когда-то опасались многие конструкторы лунников, но пыль на Луне есть. Она темно-серого цвета и по внешнему виду напоминает цемент.

В поверхностном слое Луны ( реголите ) содержатся осколки магматических пород, шлакообразные частицы с оплавленными гранями. Многие образцы как бы обработаны песком. Их вид свидетельствует о том, что они длительное время подвергались своеобразной эрозии (ударам мелких ме­теоритов и обработке потоками частиц, непрерывно исходя­щими от Солнца).

Из-за отсутствия воды минералов на Луне значительно меньше, чем на Земле. Микроорганизмов на Луне не обнаружено.

Лунные породы относятся к очень древним — их возраст составляет примерно 4 млрд. лет, причем самыми «моло­дыми» (несколько более 3 млрд. лет) оказались образцы, до­ставленные из морских районов. На Луне давно завершилась эпоха активного вулка­низма. С течением времени уменьшалась и интенсивность метеоритной бомбардировки лунной поверхности. Благодаря этому на протяжении последних 2—3 млрд. лет вид Луны практически не изменялся. А на Земле, как вы знаете из курса географии, под воздействием воды и воздуха древний рельеф не мог сохраниться. Сравнение лунного и современ­ного земного рельефа помогает воссоздать условия, в кото­рых на Земле формировались запасы полезных ископаемых. Это необходимо знать для разработки научных основ поиска полезных ископаемых.

Еще и сейчас происходят лунотрясения (напоми­нающие слабые землетрясения). Они зарегистрированы сейсмографами, установленными на Луне астронавтами. Данные этих приборов позволили исследовать внутреннее строение Луны, выделив кору (толщиной около 60 км), мантию (до 1000 км) и ядро (его радиус около750 км).

Источник

• ← что нужно кушать при лейкозе
• номер почты россии в шадринске →