в чем состоит задача механики

Учебники

Журнал «Квант»

Общие

Кикоин А.К. Как решается основная задача механики? //Квант. — 1984. — № 2. — С. 24-25.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала «Квант»

Основная задача механики, как неоднократно указывается в учебнике «Физика 8», — определять положение (координаты) движущегося тела в любой момент времени. Это механика обязательно должна «уметь», иначе она не может быть наукой о движении. Законы движения, открытые Ньютоном, и прежде всего второй закон Ньютона (основной закон динамики) \(

\vec F = m \vec a\) как раз и позволяют решать эту задачу.

Второй закон Ньютона связывает силу, приложенную к телу, и вызванное силой ускорение. Но ускорение — это быстрота изменения скорости, а скорость, в свою очередь, — быстрота изменения перемещения тела. Поэтому, решив уравнение, выражающее основной закон динамики, мы узнаем о быстроте изменения координат тела, а значит, и о самих координатах в любой момент времени. Для этого кроме силы нужно знать еще начальные условия — начальные координаты и начальную скорость тела.

На первый взгляд кажется, что уравнение второго закона Ньютона очень простое и что решается оно тоже просто. Однако надо помнить, что уравнение \(

\vec F = m \vec a\) — векторное. Это значит, что за ним «скрываются» три скалярных уравнения для проекции силы и ускорения на оси координат:

Эти уравнения в самом деле решаются легко, но только в том случае, когда проекции силы F_x, F_y и F_z постоянны, то есть когда их значения одинаковы при любых значениях координат точки, а значит, и в любой момент времени. Тогда постоянны и значения проекций ускорения a_x, a_y и a_z, движение тела, следовательно, равноускоренное, и координаты х, у и z определяются равенствами

Здесь x₀, y₀ и z₀ — начальные координаты, a υ_0x, υ_0y и υ_0z — соответствующие проекции начальной скорости на оси координат.

В школьном курсе физики рассматриваются только такие задачи, когда силы постоянны. Значительно сложнее решать основную задачу механики, если сила и ее проекции зависят от координат. В действительности обычно именно так и бывает. Как решается задача в таком случае? Конечно, и теперь нужно знать начальные условия и силу. Но теперь «знать силу» — значит знать, как она изменяется при изменении координат тела.

Пусть, например, на тело действует сила F_x, которая определенным (и известным) образом зависит от координаты х. Для определения координаты х тела в любой момент времени прежние формулы непригодны, потому что если сила F_x изменяется от точки к точке, будет изменяться и ускорение a_x тела. Будем решать задачу постепенно, так сказать, шаг за шагом.

Сначала рассмотрим движение нашего тела в течение малого промежутка времени Δt, начиная с момента, который мы условимся считать начальным. В этот момент (t = 0) координата х тела, равна x₀ (начальная координата), а скорость равна υ_0x (начальная скорость). Промежуток Δt выберем настолько малым, чтобы в течение этого времени силу F_x, а значит, и ускорение a_x можно было считать постоянными. Силу F_0x мы знаем, поскольку нам известно, как сила зависит от координаты; a_0x мы тоже знаем, так как \(

a_ <0x>= \frac>\). Следовательно, по известным нам формулам равноускоренного движения для скорости υ_1x и координаты x₁ в конце промежутка времени Δt мы можем написать:

Затем рассмотрим движение тела в следующий столь же малый промежуток времени Δt. Начальной координатой теперь будет найденное нами значение x₁ и начальной скоростью — значение υ_1x. В течение этого второго промежутка на тело будет действовать уже другая сила — F_1x. Ее значение мы найдем, зная зависимость силы от координаты. Соответственно другим будет и ускорение тела a_1x. Таким образом, к концу второго промежутка времени скорость тела будет равна

Эти значения скорости и координаты будут начальными для движения тела в течение следующего, третьего, промежутка, и мы таким же способом найдем значения скорости и координаты к концу этого промежутка.. Так, «двигаясь» шаг за шагом, мы сможем определить координату х тела в любой момент времени. Аналогично можно найти и координаты y и z.

В рассмотренной нами процедуре нетрудно заметить систематическую ошибку, которую мы допускаем. Состоит она в том, что сила и ускорение считаются постоянными в течение каждого малого промежутка времени Δt, а в конце промежутка они скачком изменяются. Между тем в действительности и сила, и ускорение всегда изменяются непрерывно. Уменьшить эту ошибку можно, уменьшив значение Δt. Ошибка практически вовсе исчезнет, если промежутки времени сделать бесконечно малыми. Но тогда число наших «шагов» станет бесконечно большим, и процедура из-за этого сделается невозможной.

Специально для таких случаев разработан особый математический аппарат, называемый дифференциальным и интегральным исчислением (Ньютон придумал его именно для этой цели). С его помощью и решается основная задача механики. Но принцип решения именно тот, который мы здесь рассмотрели. Именно таким способом рассчитывают сложные механические движения (например, спутников и ракет) современные ЭВМ.

В заключение отметим следующее. Когда мы говорим, что основная задача механики — находить координаты движущихся тел по известным силам и начальным условиям, то это вовсе не значит, что только этим и занимается механика. Бывает и так, что движение тела, то есть его положение в любой момент времени, известно из наблюдений. Тогда законы движения позволяют найти силу, действующую на тело. Эта задача, так называемая обратная задача механики, столь же важна, как и рассмотренная нами прямая задача, но, как нетрудно понять, она значительно проще.

Источник

Механика

Механика является одним из разделов физики. Под механикой обычно понимают классическую механику. Механика – наука, изучающая движение тел и происходящие при этом взаимодействия между ними.

В частности, каждое тело в любой момент времени занимает определенное положение в пространстве относительно других тел. Если со временем тело меняет положение в пространстве, то говорят, что тело движется, совершает механическое движение.

Механическим движением называется изменение взаимного положения тел в пространстве с течением времени.

Основная задача механики – определение положения тела в любой момент времени. Для этого нужно уметь кратко и точно указать, как движется тело, как при том или ином движении изменяется его положение с течением времени. Другими словами – найти математическое описание движения, т. е. установить сязи между величинами, характеризую­щими механическое движение.

При изучении движения материальных тел используют такие понятия, как:

Классическая механика основана на принципе относительности Галилея и законах Ньютона. Поэтому, ее еще называют – механикой Ньютона.

Механика изучает движение материальных тел, взаимодействия между материальными телами, общие законы изменения положений тел со временем, а также причины вызывающие эти изменения.

Общие законы механики подразумевают, что они справедливы при изучении движения и взаимодействия любых материальных тел (кроме элементарных частиц) от микроскопических размеров до объектов астрономических.

Механика включает в себя следующие разделы:

Следует отметить, что это не все разделы, которые входят в механику, но это основные разделы, которые изучает школьная программа. Кроме разделов указанных выше существует еще ряд разделов как имеющих самостоятельное значение, так и тесно связанных между собой и с указанными разделами.

Появление дополнительных разделов связано как с выходом за границы применимости классической механики (квантовая механика), так и с детальным изучением явлений происходящих при взаимодействии тел (например, теория упругости, теория удара).

Но, несмотря на это, классическая механика не теряет своего значения. Она является достаточной для описания в широком диапазоне наблюдаемых явлений без необходимости обращаться к специальным теориям. С другой стороны она проста для понимания и создает базу для других теорий.

Механика имеет большое значение для многих разделов астрономии, особенно для небесной механики (где изучаются движения планет, звезд и т. д.).

Особое значение механика имеет для техники. В гидродинамике, аэродинамике, динамике машин и механизмов, теории движения наземных, воздушных и транспортных средст используют уравнения и методы теоретической механики.

Источник

Основная задача механики

Механическая система под действием сил тяжести приходит в движение из состояния покоя, начальное положение системы показано на рис. 1. Учитывая сопротивление качению тела 3, катящегося без скольжения, пренебрегая другими силами сопротивления и массами нитей, предполагаемых нерастяжимыми, определить скорость тела 1 в тот момент времени, когда пройденный путь станет равным s.

В задании приняты следующие обозначения: m₁, m₂, m_3, m₄ – массы тел 1, 2, 3, 4; R₃ – радиус большой окружности; δ – коэффициент трения качения.

Необходимые для решения данные приведены в таблице 1. Блоки и катки считать сплошными однородными цилиндрами. Наклонные участки нитей параллельны соответствующим наклонным плоскостям.

m1/2m5m4m250,202

Применим теорему об изменении кинетической энергии системы:

(1)

где T₀ и T – кинетическая энергия системы в начальном и конечном положениях; — сумма работ внешних сил, приложенных к системе; — сумма работ внутренних сил системы.

Для рассматриваемых систем, состоящих из абсолютно твердых тел, соединенных нерастяжимыми нитями,

Так как в начальном положении система находится в покое, то Т₀=0.

Следовательно, уравнение (1) принимает вид:

(2)

Кинетическая энергия рассматриваемой системы Т в конечном ее положении (рис.2) равна сумме кинетических энергий тел 1, 2, 3 и 4:

Кинетическая энергия груза 1, движущегося поступательно,

(4)

Кинетическая энергия барабана 2, совершающего вращательное движение,

, (5)

где J_2x – момент инерции барабана 2 относительно центральной продольной оси:

, (6)

w₂ – угловая скорость барабана 2:

.(7)

После подстановки (6) и (7) в (5) выражение кинетической энергии барабана 2 принимает вид:

. (8)

Кинетическая энергия колеса 3, совершающего плоскопараллельное движение:

, (9)

где V_C3 – скорость центра тяжести С₃ барабана 3, J_3x – момент инерции барабана 3 относительно центральной продольной оси:

, (10)

w₃ – угловая скорость барабана 3.

Мгновенный центр скоростей находится в точке С_V. Поэтому

, (11)

. (12)

Подставляя (10), (11) и (12) в (9), получим:

. (13)

Кинетическая энергия груза 4, движущегося поступательно

. (14)

Кинетическая энергия всей механической системы определяется по формуле (3) с учетом (4), (8), (13), (15):

Подставляя и заданные значения масс в (3), имеем:

. (15)

Найдем сумму работ всех внешних сил, приложенных к системе, на заданном ее перемещении (рис. 3).

Работа силы тяжести :

(16)

Работа силы тяжести :

(17)

Работа пары сил сопротивления качению :

(18)

(19)

(20)

(21)

Подставляя (19), (20) и (21) в (18), получаем:

(22)

Работа силы тяжести :

(17)

Работа силы тяжести :

(23)

Сумма работ внешних сил определится сложением работ, вычисляемых по формулам (17) – (24):

.

Подставляя заданные значения, получаем:

. (24)

Согласно теореме (2) приравняем значения Т и , определяемые по формулам (16) и (24):

,

м/с.

При t=0 x₀=7 =0

=V=22t

a==22

V=r₂₂

R₂₂=R₃₃

₃=V*R₂/(r₂*_R3)=(22t)*30/20*40=0,825t

₃=₃=0,825

V_m=r₃*₃=40*(0,825t)=33t

a t _m=r₃

=0,825t

a t _m=R₃=40*0,825t=33t

a n _m=R₃ 2 ₃=40*(0,825t) 2 =40*(0,825(t) 2

a=

При t=0 x₀=6 =3

=V=34t+3

a==34

V=r₂₂

R₂₂=R₃₃

₃=V*R₂/(r₂*_R3)=(34t+3)*15/10*15=3,4t+0,3

₃=₃=3,4

V_m=r₃*₃=15*(3,4t+0,3)=51t+4,5

a t _m=r₃

=3,4t

a t _m=R₃=15*3,4t=51t

a n _m=R₃ 2 ₃=15*(3,4t+0,3) 2 =15*(3,4(t+0,08) 2

a=

Решение второй задачи механики

Определить: x = f(t) – закон движения груза на участке ВС

1) Рассмотрим движение на промежутке АВ

учитывая, что R=0.5V H;

Разделяем переменные и интегрируем

2) Рассмотрим движение на промежутке ВС (V₀=V_B)

Найти реакции в опорах А и В.

Для решения задачи используем систему уравнений, вытекающую из принципа Даламбера:

(1)

Для определения углового ускорения ε из последнего уравнения системы (1) найдем момент инерции тела относительно оси вращения z по формуле

, (2)

где J_z1− момент инерции тела относительно центральной оси С_z1, параллельной оси z; d – расстояние между осями z и z₁.

, (3)

. (4)

Определим моменты инерции тела , как однородного сплошного цилиндра относительно двух осей симметрии h, z

;

.

;

.

Определяем угол g из соотношения

;

;

.

;

.

По формуле (4), вычисляем

.

Момент инерции тела относительно оси вращения z вычисляем по формуле (2):

,

.

Из последнего уравнения системы (1)

;

.

Угловая скорость при равноускоренном вращении тела

,

.

Для определения реакций опор следует определить центробежные моменты инерции и тела. , так как ось х, перпендикулярная плоскости материальной симметрии тела, является главной осью инерции в точке А.

Центробежный момент инерции тела определим по формуле

,

где , т.е.

.

.

Подставляя известные величины в систему уравнений (1), получаем следующие равенства

Ответ: , , , .

Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения

Задание: по заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и для момента времени t = t1 (с) найти положение точки на траектории, ее скорость, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.

t1=1 (x и y – в см, t и t1 – в с).

Уравнения движения (1) можно рассматривать как параметрические уравнения траектории точки. Получим уравнения траектории в координатной форме.

x 2 + y 2 = (5cos(pt 2 /3)) 2 + (-5sin(pt 2 /3)) 2 ;

Получаем x 2 + y 2 = 25, т. е. траекторией точки является окружность, показанная на рис. 1.

Вектор скорости точки

(2)

Вектор ускорения точки

Найдем их, дифференцируя по времени уравнения движения (1)

(3)

По найденным проекциям определяем модуль скорости:

и модуль ускорения точки:

а =Ö(а_х 2 +а_у 2 ). (5)

Модуль касательного ускорения точки

Модуль нормального ускорения точки

p – радиус кривизны траектории.

Модуль нормального ускорения точки можно найти и следующим образом:

После того как найдено нормальное ускорение по формуле (8), радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определяется из выражения:

Результаты вычислений по формулам (3)-(6), (8), (9) для момента времени t1=1с приведены ниже в таблице

Источник