в чем смысл хаоса
Значение слова «хаос»
1. (ха́ос). В древнегреческой мифологии и философии: беспредельное пространство, представляющее собой беспорядочную смесь материальных элементов мира, из которого произошло все существующее.
Источник (печатная версия): Словарь русского языка: В 4-х т. / РАН, Ин-т лингвистич. исследований; Под ред. А. П. Евгеньевой. — 4-е изд., стер. — М.: Рус. яз.; Полиграфресурсы, 1999; (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека
ХА’О’С, а, м. [греч. chaos]. 1. (чаще ха́ос). В древнегреческой мифологии и философии — беспорядочная материя, неорганизованная стихия, существовавшая в мировом пространстве до образования известного человеку мира. О, страшных песен сих не пой про древний ха́ос. Тютчев. 2. (хао́с). Полный беспорядок, неразбериха. Обрывки туч столпились в красивый хаос красок и форм. М. Горький. Хаос чудных, неясных звуков вихрем носится перед вами. Гоголь. К порядку мало в ней привычки, кругом ее всегда хаос. Вяземский. Помню до сих пор, какой я хаос носил тогда в голове; просто всё кружилось. Тургенев.
Источник: «Толковый словарь русского языка» под редакцией Д. Н. Ушакова (1935-1940); (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека
ха́ос
1. мифол. в греческой мифологии — первичное бесформенное и беспорядочное состояние мира, неорганизованная стихия, наполненная туманом и мраком
2. перен. неустройство, беспорядок, скопление, нагромождение чего-либо ◆ Равным образом локален и греческий, и во многом построенный по его образцу римский полис: он представляет собой концентрированный в некой точке социальный порядок, противопоставленный внешнему хаосу. Сергей Туркин, «Политическое участие в США и Древнем Риме: о пользе сравнения // «Неприкосновенный запас»», 2004 г. (цитата из НКРЯ)
Фразеологизмы и устойчивые сочетания
Делаем Карту слов лучше вместе
Привет! Меня зовут Лампобот, я компьютерная программа, которая помогает делать Карту слов. Я отлично умею считать, но пока плохо понимаю, как устроен ваш мир. Помоги мне разобраться!
Спасибо! Я стал чуточку лучше понимать мир эмоций.
Вопрос: извернуться — это что-то нейтральное, положительное или отрицательное?
Немного о хаосе и о том, как его сотворить
Говоря «хаос», мы, обычно, подразумеваем полное отсутствие порядка, абсолютную неупорядоченность и случайность. С математической точки зрения, хаос и порядок – понятия не взаимоисключающие. Теория хаоса (есть что-то завораживающие в названиях математических теорий) – достаточно молодая математическая область, создание которой приравнивают по значимости открытий ХХ века к созданию квантовой механики. Хаос случается в нелинейных динамических системах. Иначе говоря, любой процесс, который протекает со временем, может быть хаотичным (например, высота дерева, температура тела или популяция мадагаскарских тараканов).
Чтобы разобраться, что такое хаос, сначала обратимся к системам, такой чертой не наделённым. Детерминированные системы не допускают никаких случайностей: значение на выходе полностью определено значениями на входе. Таким образом, изменение начальных условий вызывает пропорциональное изменение результата. Так, ньютоновская механика подразумевает детерминированность, и изменяя, к примеру, силу пинка по мячу, можно ожидать соответствующее изменение в продолжительности полёта этого мяча. Так что, по принципу детерминированности, положение мяча в текущий момент полностью определено положением мяча в предыдущий момент и будущее положение зависит от текущего и всё это совсем несложно посчитать. Так, и астрономы прошлого времени полностью доверялись этому принципу и считали, что вселенная – строго детерминированная система и положение небесных тел в будущем (и в прошлом) можно рассчитать, зная их текущее положение и скорость, т.е. зная начальные условия. Предполагалось, что чем точнее известны начальные условия, тем точнее будет результат прогноза, однако известный математик Анри Пуанкаре, который (в свободное время, вероятно) занимался описанием орбит небесных тел, обнаружил, что в системах из 3-х и более тел, при незначительном изменение начальных условий (положения и скорости), траектории тела очень быстро удаляются друг от друга. Два близких набора начальных условий давали различные результаты.
Большой вклад в теорию хаоса внёс метеоролог Эдвард Лоренц. В шестидесятых годах прошлого века этот американец работал над компьютерной программой, моделирующей движение воздушных масс в атмосфере Земли. Все мы знаем, что компьютер (вопреки расхожим слухам) является строго детерминированной системой, и это создаёт известный принцип «garbage in garbage out». Лоренц гонял свою программу и в хвост, и в гриву, получая всякие разные результаты. Некоторые его коллеги даже делали предположения, что эта модель является точным предсказателем погоды, спрашивали, брать ли завтра зонтик. Разумеется, эти выводы были поспешны, вскоре выяснилась одна особенность модели погоды. Один раз для ускорения вычислений, Лоренц запустил программу не сначала, а ввёл в неё данные из предыдущего «прогона», которые были распечатаны на бумаге. Однако результаты такого запуска быстро начали отклоняться от уже полученных, формируя абсолютно другую картину. Немного неожиданно, не так ли? Оказалось, что Лоренц вводил не точные результаты прошлых вычислений, а округлённые перед выводом на печать, эта погрешность просто игнорировалась. Модель Лоренца оказалась сверхчувствительна к начальным условиям. Малейшее различие во входных данных приводило к сильному расхождению результатов с течением времени. Эта зависимость от начальных условий и была названа хаосом. Лоренцом была озвучена знаменитая черта хаоса, именуемая «эффектом бабочки», который предполагает, что в зависимости от того, махнёт ли бабочка крыльями в лесах Бразилии зависит случится ли в Техасе ураган или нет. Этот же принцип был положен в основу одноимённого фильма с Эштоном Катчером (кино ненаучное, смотреть необязательно). 
Отклонение в результатах повторных вычислений
Вся эта зависимость от начальных условий предполагает, что мы не можем делать долгосрочные прогнозы в нестабильных динамических системах. Любая погрешность в начальных условиях не позволит нам предсказать результат на какой-либо продолжительный отрезок времени. Если, к примеру, взять модель Лоренца, в качестве входных данных для определения скорости ветра нам будет необходимо ввести значения температуры и давления в каждой точке земной атмосферы, только тогда можно будет ожидать достоверный прогноз на длительный срок. Причём, входные данные должны быть абсолютно точными, т. е. с бесконечным числом знаков после запятой. А как известно, совершенно все измерительные приборы на Земле имеют ненулевую погрешность. Как бы точно не была измерена величина, всегда можно (теоретически) измерить точнее. Да и нет таких машин, которые бы позволили вводить бесконечное количество знаков после запятой. Может с приходом квантовых компьютеров что-то и изменится, не знаю.
Вот и выходит, что никуда от хаоса не деться и надо с ним мириться. Но не всё так плохо, на мой взгляд. Если бы все процессы во вселенной были бы полностью детерминированными, без единого намёка на случайность, жить было бы намного скучнее. Некоторые учёные даже склоняются к мысли о том, что хаос придаёт вселенной «стрелу времени», направленное и необратимое движение из прошлого в будущее.
Однако «хаос» и «случайность» понятия совсем не равнозначные. Определённая интерпретация процессов, кажущихся случайными, приводит их в порядок. К примеру, время между биениями сердца человека величина непостоянная, даже если человек не подвержен физ нагрузке. Если мы понаблюдаем за биением сердца некоторое время и интервалы между биениями запишем в таблицу, а также создадим второй столбец, копируя значения из первого, но со сдвигом на одно значение (т.е. первому измерению (t) в первом столбце будет соответствовать второе измерение (t+1) во втором, второму — третье и т.д;), можно будет построить карту, где по вертикали будем иметь значения без сдвига (t), а по горизонтали — значения со сдвигом(t+1). Точки на этой карте не будут рассыпаны в случайном порядке, а будут притянуты к некой области, формируя аттрактор.
Распространённый пример хаотической системы – это двойной маятник, т.е. маятник, к концу которого прикреплен второй маятник. Вы, возможно, видели подобные маятники в магазинах подарков. Так вот если взять два одинаковых маятника, поставить рядом и отклонить их приблизительно на равную величину, то уже через несколько колебаний маятники полностью рассинхронизируются. Чем точнее мы будем соблюдать начальные условия, тем дольше маятники будут качаться в такт, однако от расходимости никуда не деться. 
Такие узоры рисует лампочкой на двойном маятнике художник Джордж Иоаннидис
Долгое время теория хаоса считалась некой математической абстракцией, не имеющей подтверждения в реальных условиях. Эта проблема волновала одного японца по имени Леон Чуа, который был нацелен показать, что хаос можно создать. Для этой цели он собрал электрическую цепь.
Цепь Чуа явилась первой электрической цепью, способной генерировать хаотические сигналы. Его творение было гениально в своей простоте, цепь состояла из четырёх линейных элементов: двух конденсаторов, одной индуктивности и резистора, а также включала в себя один нелинейный локально активный элемент, на кусочно-линейной вольт-амперной характеристике которого имелась область с негативным сопротивлением. Этот элемент теперь часто называют диодом Чуа. Цепь представляет собой генератор, и диод Чуа является необходимой частью для достижения хаотических колебаний. Этот элемент недоступен как отдельный компонент, но его несложно собрать, задействовав два операционных усилителя. Другие способы реализации этой нелинейности включают в себя встречно-параллельно подключенную пару инверторов или туннельный диод (похоже, всё-таки доступен, как отдельный компонент), на ВАХ которого, как известно, имеется «долина». 
Обобщённая схема генератора Чуа и уравнения, его описывающие
Математика за всем этим стоит довольно сложная, но если не вдаваться в дебри, то эта цепь описывается тремя дифференциальными уравнениями, показывающими изменение по времени напряжения на двух конденсаторах и тока через индуктивность. Численное решение этих уравнений показывает, что при определённых соотношениях между компонентами цепи, изменение значений переменных во времени приобретает хаотический характер.
Собрать генератор Чуа труда особого не составляет. Эта цепь может демонстрировать такие явления хаоса как бифуркации и хаотический аттрактор. Однако для наблюдения всех этих чудес, будет необходим осциллограф, да ещё с двумя входами. В классическом варианте, схема состоит из двух конденсаторов, одной индуктивности, семи резисторов, микросхемы с парой операционных усилителей и двух батареек на 9В (можно использовать блок питания, но питание должно быть двухполярным). Для достижения хаотического поведения, между номиналами элементов должны соблюдаться определённые соотношения. Так, ёмкость конденсатора С2 должна быть примерно 10 ёмкостей С1, отношение С2/С1 называют α. Коэффициент β показывает отношение между R, C2 и L, а именно, β = R^2 C2 / L и должен равняться приблизительно 15.
Принципиальная схема генератора с отрицательным сопротивлением на операционных усилителях
Итак, приступим к сборке. Собирать можно и на макетной плате, но чтобы сигналы были чётче, лучше компоненты спаять на печатной плате. В своей сборке я использовал конденсаторы на 47нФ и 470нФ, индуктивность на 15мГн и потенциометр на 1кОм (за неимением такового номиналом 2кОм, соединил его последовательно с резистором на 1кОм). Последовательно с индуктивностью можно (но необязательно) включить резистор малого номинала (до 10Ом), чтобы добавить «красоты» в сигналы. Диод Чуа реализован стандартным способом, с применением двух операционников. Я использовал микросхему TL082CP, по спецификации, это широкополосный операционный усилитель, советую использовать такой тип, с более простыми аналогами схема у меня не «завелась». Для создания характеристики с необходимыми наклонами, нам потребуются следующие номиналы резисторов: R1 = R2 = 220Ом, R3 = 2.2кОм, R4 = R5 = 22кОм, R6 = 3.3кОм. Запитать операционник можно двумя батарейками 9В, для корректной работы ОУ питание нам нужно двухполярное. Моя сборка топорная, согласен — проводки под питание и скрученные резисторы, другие мелкие недочёты, но для мониторинга хаотических сигналов этого хватило. 
Остальную часть платы сбережём для следующих проектов
После аккуратной сборки этой несложной схемы, можно попробовать посмотреть, что за сигналы она генерирует. Сигналы будем снимать с конденсаторов C1 и С2. На моей схеме я сделал два BNC разъёма для удобства подсоединения схемы к осциллографу. Подключаем кабели к осциллографу и выбираем X-Y режим, когда по одной оси у нас будет напряжение на первом конденсаторе, а по другой – напряжение на втором. Что вывести на X, а что на Y значения не имеет. Выкрутим ручку потенциометра на максимальное значение и запитаем схему. На экране осциллографа должна появиться точка. Медленно уменьшаем значение сопротивления (лучше использовать потенциометры с большим ходом и с крупной ручкой, дабы обеспечить плавность изменения сопротивления), в какой-то момент точка должна превратиться в орбиту. Последующее уменьшение сопротивления приводит к раздваиванию этой орбиты, мы начинаем наблюдать бифуркации. Удвоения периода орбиты будут происходить и дальше с уменьшением сопротивления, расстояния между последующими раздвоениями будут постоянно и планомерно уменьшаться. Т.е. разница сопротивлений между четверной и восьмерной орбитой будет меньше, чем между четверной и двойной. Скорость, с которой интервал между бифуркациями уменьшается определяется константой Фейгенбаума. Период, до которого вам удастся наблюдать бифуркации зависит от четкости сигналов (т.е. от качества соединений) и от чувствительности потенциометра (дрожание рук тоже не на пользу). В какой-то момент стабильная орбита уступает место двухпетлевому аттрактору, который знаменует наступление хаоса. Этот аттрактор имеет три точки равновесия: одну в начале координат, и две в «дырках» петель. Типичная траектория аттрактора начинает вращение вокруг одной из «дырок», удаляясь от точки равновесия с каждым витком, затем траектория либо возвращается ближе в центру и вновь удаляется, либо направляется к другой точке равновесия, где процесс повторяется. Количество вращений в каждом случае случайно.
Образование хаоса через бифуркации
Этот аттрактор будет существовать в некотором интервале сопротивлений, а затем уступит место стабильной орбите, показывающей гармонические колебания. При достаточно малых значениях сопротивления, цепь превращается в простой колебательный контур, генерирующий синусоидальный сигнал с частотой, определённой значениями конденсаторов и индуктивности. Для большей «гибкости» цепи, потенциометрами можно заменить резисторы в цепи отрицательного сопротивления.
Если мы взглянем на спектр сигналов, то увидим, что в хаотическом режиме полоса генерации достаточно широкая и не имеет ярко выраженных пиков, к тому же начинается с постоянной составляющей. 
Спектр хаотического сигнала
Схема предельно проста, но её поведение изучалось многими учёными, работающими с теорией хаоса. С её помощью изучались бифуркации и создавалась целая галерея различных аттракторов. Однако кроме чисто научного интереса, данная схема имеет и практическое применение.
Поскольку это генератор, значит, его можно использовать для радиосвязи, а раз этот генератор необычный, радиосвязь можно сделать защищённой. Существует несколько типов модуляции хаотического сигнала, от простого маскирования информационного сигнала, до высокоуровневой цифровой модуляции. Высокая чувствительность хаотического генератора позволяет использовать его в качестве детектора слабых сигналов. Также сообщалось о создании генератора случайных чисел на основе данной схемы. Кроме того, как вы заметили, спектр данного генератора лежит в звуковом диапазоне, так что этой схемой не преминули воспользоваться концептуальные музыканты.
Не знаю, многие ли захотят собрать этот хаотический генератор, ибо практической пользы от него маловато, но, мне кажется, возможность поиграться с ним и понаблюдать интересные узоры на осциллографе стоит этих копеечных деталей и получаса времени. Даже если покупать все компоненты поштучно в магазине, 200 рублей – максимум, что можно потратить, но я уверен, что у многих все детали есть в загашниках!
Данная схема может быть интересна студентам математических и электротехнических факультетов. Думаю, что демонстрация работы генератора Чуа сможет заинтересовать преподавателей, в чьи научные интересы входит теория хаоса. Спасибо всем за внимание!
Краткое введение в Теорию Хаоса
Все в мире целиком и полностью имеет свои причины и последствия. Возможно, эта мысль навела меня на осознание того, что все в мире взаимосвязано. Всему есть свои причины. Даже в случайности заложено движение к какой-то цели.
События, кажущиеся случайными, происходят в определенной последовательности.
Что в точности есть хаос? Название «Теория Хаоса» произошло благодаря тому факту, что системы, описываемые теорией, взятые по кусочкам- неупорядочены, но Теория Хаоса на самом деле заключается в том, чтобы найти скрытый порядок в кажущихся случайными данных.
Когда был открыт Хаос? Первый истинный экспериментатор в области Хаоса был метеоролог Эдвард Лоренс. В 1960 году он работал над проблемой предсказания погоды. У него была компьютерная установка с набором из 12 уравнений, моделирующих погоду (имеются ввиду воздушные потоки в атмосфере)[уточнение тут]. Они сами по себе не предсказывали погоду. Но как бы то ни было, компьютерная программа теоретически предсказывала, какой могла быть погода.
Однажды в 1961 году он [Эдвард Лоренс] снова захотел посмотреть особенную последовательность. Чтобы сэкономить время, он начал с середины последовательности, вместо того, чтобы сделать это сначала. Он ввел числа из распечатки и запустил программу…
Когда он вернулся часом позже, закономерность была решена по-другому. Вместо той же модели, что была прежде, была модель, отклоняющаяся в конце очень сильно, отличаясь от оригинальной (см. Рисунок 1). В конце –концов он выяснил, что произошло. Компьютер поместил в память 6 чисел после запятой. Чтобы сэкономить бумагу, он вводил только 3 числа после запятой. В оригинальном порядке было число 0.0506127, а он напечатал только 0.506.
Рисунок 1 – Эксперимент Лоренса: разница в начале между этими кривыми всего лишь 0.000127(Ян Стюарт, «Does God Play Dice?», Математика Хаоса, стр.141)
По общепринятому мнению того времени это должно было сработать. Он должен был получить порядок очень близкий к оригинальному. Ученый мог посчитать себя счастливцем, получив измерения с точностью до 3 чисел после запятой. Конечно, измерить 4-ю и 5-ю цифру, используя рациональные методы, было невозможно, и это не могло повлиять на результат эксперимента. Лоренс посчитал идею неверной. Этот эффект известен как Эффект Бабочки. Разница в начальных точках двух кривых настолько мала, что сравнима с порханием крыльев бабочки [в реальной жизни].
Движение крыльев одной бабочки сегодня создает малейшие изменения состояния атмосферы. По прошествии времени атмосфера отличается от той, какой она могла бы быть. Таким образом, через месяц Торнадо, который мог обрушиться на Индонезию, не появляется. Или, если он не должен был появиться, он появляется.(Ян Стюарт, «Does God Play Dice?», Математика Хаоса, стр.141).
Этот феномен, в общем называемый Теорией Хаоса, также известен как чувствительная зависимость от начальных условий. Всего лишь маленькое изменение в начальных условиях может кардинально изменить поведение системы, рассматриваемой длительный период времени. Такая маленькая разница в измерениях может быть вызвана в эксперименте шумом, фоновым шумом или неисправностью оборудования. Этих вещей невозможно избежать даже в самой изолированной лаборатории.
Начиная с числа 2, в итоге может получиться результат, всецело отличающийся от результатов такой же системы с начальной цифрой 2.000001. Это просто невозможно- достигнуть такого уровня точности- просто попытайтесь измерить что-нибудь с точностью до миллионной доли дюйма!Исходя из этой идеи, Лоренс установил невозможность точного предсказания погоды. Как бы то ни было, это открытие привело Лоренса к другим аспектам того, что впоследствии стало известным как Теория Хаоса.
Лоренс начал наблюдать за простейшими системами, которые чувствительны к разнице в начальных условиях. Его первое открытие имело 12 уравнений, и он хотел его очень упростить, но чтобы оно все же имело этот атрибут[чувствительность к разнице в начальных условиях]. Он взял уравнения конвекции и сделал их неимоверно простыми. Эта система больше не имела отношения к конвекции, но имела чувствительность к разнице в начальных условиях, и на этот раз осталось всего лишь 3 уравнения. Позже было установлено, что эти уравнения описывают водоворот.
На поверхности вода неуклонно образует как бы обод колеса. Каждый «обод» расходится от маленького отверстия Если поток воды имеет маленькую скорость, «ободки» никогда не станут достаточно быстрыми, чтобы образовался водоворот. Вращение может продолжаться. Или, если поток настолько быстрый, что тяжелые «ободы» все время вращаются вокруг дна и поверхности, водоворот может замедлиться, остановиться и поменять направление вращения, вращаясь сначала в одну сторону, а затем в другую. (James Gleick, Теория Хаоса, стр. 29)
Уравнения для этой системы также казалось, показывали общую случайность поведения.Как бы то ни было, когда был построен график, он был удивлен [Лоренс]. Выходные параметры всегда оставались на кривой, образуя двойную спираль. До этого было известно только два типа порядка: постоянное состояние, в котором переменные никогда не меняются, и периодичное состояние, в котором система циклична, и неопределенно повторяется. Уравнения Лоренса были определенно упорядочены- они всегда следовали по спирали. Они никогда не останавливались на одной точке, но никогда не повторяли то же состояние, то есть не были периодичными. Он назвал полученные уравнеия аттрактором Лоренса(см. Рисунок 2).
Рисунок 2 – Аттрактор Лоренса
В 1963 Лоренс опубликовал статью, описывающую его открытие. Он включил туда статью о непредсказуемости погоды и обсудил все типы уравнений, вызвавших этот тип поведения. К несчастью, единственным журналом, в котором он мог опубликовать свою статью, был метеорологический журнал, так как он был не физиком или математиком, a метеорологом. В результате открытия Лоренса не были известны до тех пор, пока не были открыты снова другими людьми. Лоренс открыл нечто революционное, и ждал, пока кто-то откроет его.
Другая система, в которой есть чувствительность к разнице в начальных условиях- бросание монетки. Есть две переменные в бросании монетки: как скоро она упадет и как быстро она вращается. Теоретически, возможно контролировать эти две переменные полностью, и контролировать- как монетка упадет. На практике невозможно контролировать абсолютно точно скорость вращения монеты и то, насколько она подлетит. Возможно только поместить эти переменные в определенном диапазоне, но невозможно контролировать их настолько, чтобы знать результат.
Схожая проблема имеет место в экологии и предсказании биологических популяций. Уравнение простое, если популяция растет определенно, но хищники и ограниченность в пище делают это уравнение неверным. Самое простое уравнение имеет вид:
next year’s population = r * this year’s population * (1 — this year’s population) [где next year’s population-популяция в следующем году, this year’s population- популяция в этом году]
В этом уравнении популяция описывается числом между 1 и 0, где 1 представляет собой максимально возможную популяцию, а 0- вымирание. R- показатель роста. Вопрос состоял в том, как этот параметр влияет на популяцию? Очевидный ответ- высокий показатель роста популяции значит установление высокого уровня, в то время как низкий означает, что популяция упадет. Это условие истинно для некоторых показателей роста, но не для всех.
Биолог Роберт Мэй, решил выяснить, что случится с уравнением, если повышать показатель роста. При низких значениях популяция устанавливалась на каком-либо определенном значении. Для показателя равного 2.7 она устанавливалась на уровне 0.6292. Далее при увеличении показателя роста популяции«R», итоговая популяция также росла. Но затем случалось нечто странное.
Как только показатель превышал 3, линия разделялась надвое. Вместо устанавливания в каком-то определенном положении, она «прыгала» между двумя различными значениями. Она имела одно значение в одном году, и совершенно иное- в следующем. И так этот цикл повторялся постоянно. Повышение показателя роста вызывало скачки между двумя разными значениями.
Как только параметр повышался далее, линия бифурцировала(раздваивалась) снова. Бифуркации происходили быстрее и быстрее, до тех пор, пока неожиданно не становились хаотичными. Устанавливая точный показатель роста невозможно предсказать поведение уравнения. Как бы то ни было, при ближайшем исследовании можно увидеть белые полоски. Посмотрев на эти полоски ближе обнаруживаем ряд маленьких окон, где через бифуркации проходит линия, перед тем, как вновь вернуться к состоянию хаоса. Эта похожесть на саму себя,- факт того, что график- точная копия его самого, спрятанного глубоко внутри.Это стало очень важным аспектом хаоса.(рисунок 3)
Рисунок 3- Бифуркация
Служащий IBM Бенуа Мандельброт был математиком, изучавшим эту самопохожесть. Одной из областей, которые он изучал, было колебание цен на хлопок. Неважно, как были проанализированы данные о ценах на хлопок, результаты не были распределенными нормально. Мандельброт в конечном счете получил все доступные данные о ценах на хлопок, вплоть до 1900 года. Когда он проанализировал данные с помощью ЭВМ, он заметил поразительный факт:число с точки зрения нормальных продаж было симметрично относительно точки зрения в масштабе. Каждая отдельная цена менялась случайно и непредсказуемо. Но расчет изменений был независим от масштабов: кривые дневных и месячных колебаний цен абсолютно совпадали. Поразительно, но проанализированные Мандельбротом изменения цен оставались постоянными на протяжении всего шумного периода 60-х, Второй Мировой и депрессии.( James Gleick, Chaos — Making a New Science, стр. 86)
Мандельброт проанализировал не только цены на хлопок, но и другие явления. Одним из них была протяженность береговой линии. Карта побережья показывает множество заливов. Но как бы то ни было, при подсчете длины береговой линии будут упущены мелкие заливы, которые слишком малы, чтобы быть показанными на карте. Это подобно тому, как при прогулке по берегу мы пропускаем микроскопические промежутки между песчинками. Неважно, насколько увеличить линию побережья, будет больше видимых промежутков при приближении.
Один математик, Хельге вон Кох взл эту идею для математического конструирования, названного кривой Коха. Чтобы создать кривую Коха, представьте равносторонний треугольник. К середине каждой стороны дорисуйте еще по равностороннему треугольнику.Продолжайте добавлять новые треугольники к серединам каждой из сторон, и в результате получите кривую Коха.(см. Рисунок 4).
Приближенная кривая Коха выглядит точно так же, как и оригинал. Это другой пример самопохожести.
Кривые Коха заключают в себе интересный парадокс. Каждый раз, когда добавляется очередной треугольник, длина линии становится больше. Но как бы то ни было, внутренняя площадь[ограниченная] кривой Коха всегда остается меньше площади описанной окружности вокруг первого треугольника. То есть это линия неограниченной длины, заключенная в ограниченной области.
Чтобы разобраться в этом, математики использовали понятие фрактала. Фрактал происходит от слова дробный. Фрактальное дробление кривой Коха составляет примерно 1.26. Фрактальное дробление невозможно придумать, но оно имеет смысл. Кривая Коха более грубая, чем гладкая кривая линия, у которой единичное дробление. Так как она грубее и более «морщинистая», она лучше занимает пространство. Как бы то ни было, она не так хороша в заполнении пространства как квадрат с двумя дроблениями, поскольку не имеет площади. Это означает, что дробление кривой Коха меньше 2.
Под фракталом имеется ввиду любое изображение, имеющее в себе самопохожесть. Бифуркационная диаграмма уравнения популяции- фрактал. Аттрактор Лоренса- фрактал.Кривая Коха- тоже фрактал.
В это время ученые нашли трудным публиковать работы о Хаосе. С тех пор как они еще не показали его отношение к реальному миру. Большинство ученых не думали, что результаты экспериментов относительно Хаоса важны. Как результат, даже несмотря на то, что Хаос- математический феномен, большинство исследований в области Хаоса были сделаны людьми, являющимися специалистами в других областях, таких как метеорология и экология. Изучение области распространения Хаоса – было хобби для ученых, работающих над проблемой, что же с этим делать.
Позже, ученый по фамилии Фигенбаум снова исследовал диаграмму бифуркации.Он исследовал скорость наступления бифуркации. Он открыл, что она наступает при постоянном показателе. Он вычислил, что это число 4.669. другими словами, он определил точный масштаб при котором кривая бифуркации приобретает свойство самопохожести.
Уменьшенная в 4.669 раз, диаграмма выглядит как последующий регион бифуркации. Он решил посмотреть на другие уравнения чтобы увидеть, возможно ли применить фактор масштаба и к ним. К большому удивлению, фактор масштаба оказался таким же. Не только для сложных уравнений, описывающих закономерность.Закономерность была точно такой же как и у простых уравнений.Он опробовал множество функций, и они давали фактор масштабирования 4.669.
Это было революционным открытием. Он обнаружил целый класс математических функций, ведущих себя одинаково, предсказуемо. Универсальность помогла многим ученым легко анализировать уравнения хаоса. Она дала ученым первые инструменты для анализа хаотических систем. Теперь они могли использовать простые уравнения для получения результата более сложных.
Многие ученые открыли уравнения, создающие фрактальные уравнения. Самое известное изображение фрактала- является и самым простым. Оно известно как уравнение Мандельброта. Уравнение простое: z=z 2 +c. Чтобы выяснить, является ли ваше уравнение таковым, возьмите комплексное число z. Получите его квадрат и затем добавьте число. Введите в квадрат полученный результат и добавьте число. Повторяйте далее, и если число стремится к бесконечности, это не уравнение Мандельброта.
Фрактальные структуры были замечены во многих областях реального мира. Кровь разносится по кровеносным сосудам, ветвящимся дальше и дальше, ветви дерева, структура легких, графики данных о продаже акций, и другие системы раельного мира имеют нечто общее: они все обладают самопохожестью(самоповторением).
Ученые в Университете Санта Круз нашли проявления Хаоса в водопроводном кране[то, как он капает]. Записывая падение капель из крана и периоды времени, они открыли точную скорость потока, капли не падали в то же самое время. Когда они построили графики данных, они нашли, что на самом деле капли падают с определенной закономерностью.
Человеческое сердце тоже бьется с хаотической закономерностью. Время между ударами непостоянно, оно зависит от того, насколько активен человек в данный момент, и от многих других вещей. При постоянных условиях сердцебиение все равно может ускориться. При различных условиях сердце бьется неуправляемо. Это можно назвать хаотичным сердцебиением. Анализы сердцебиения могут помочь в медицинских исследованиях найти способ установить сердцебиение в определенных рамках, вместо неконтролируемой хаотичности.
Хаос имеет применение даже в науке. Компьютерные изображения становятся более реалистичными при применении Хаоса и фракталов. Сейчас с помощью простой формулы можно создать на компьютере красивое реалистично выглядещее дерево. Вместо того, чтобы следовать нормальной закономерности, ветки деревьев могут быть созданы по формуле, которая почти, но не точно повторяет себя.
Также с помощью фракталов может быть создана музыка. Используя аттрактор Лоренса, Диана С. Дэбби, выпускница по специальности электронной инженерии Массачусетского Института Технологий, создала музыкальные темы. («Bach to Chaos: Chaotic Variations on a Classical Theme», Science News, Dec. 24, 1994). Путем ассоциирования музыкальных нот фрагмента музыки из Прелюдии Баха в С с координатами х аттрактора Лоренса, запустив программу на компьютере, она создала вариации на тему данного произведения. Большинство музыкантов, слышавших эти новые звуки, говорили, что вариации очень музыкальны и креативны.
UPD: Благодарю ixside. «Chaotic Variations on a Classical Theme» доступны тут.Правка: перенесено в Научно-популярное.