в чем разница между определенным и неопределенным интегралом

Чем отличается определенный интеграл от неопределенного

Что такое интеграл

Интеграл- это латинское слово, которое пришло к нам из античности, и означает оно «Целый», или «Полный». То есть, ясно, что если про некий объект, например, сосуд молока говорили «интегер», это означало, что он полный, и молока в нем сколько было, столько и осталось.

Со временем это слово стали употреблять в совершенно разных дисциплинах- в философии, политике, экономике, в алгебре и геометрии. Но наиболее простую интерпретацию интегралу дает математика.

Что такое определенный и неопределенный интегралы?

Начнем с определенного, так как его смысл поддается пониманию легче.

Теперь поговорим о неопределенном интеграле. Только, для того, чтобы понять, что это такое, сначала нужно узнать о производной. Итак, начнем.

Производная — это угол наклона касательной к какому-либо графику в какой-нибудь ее точке. Иными словами — производная — это то, насколько график наклонен в данном его месте. К примеру, прямая линия в любой точке имеет один и тот же наклон, а кривая- разный, но он может повторяться. Для вычисления производной существуют специальные формулы, а процесс ее вычисления называют дифференцированием. Т.е. дифференцирование — это определение угла наклона графика в данной точке.

Таблица основных неопределенных интегралов

А для того, чтобы сделать наоборот — узнать формулу графика по углу ее наклона, прибегают к операции интегрирования, или суммирования данных обо всех точках. Интегрирование и дифференцирование- два взаимообратных процесса. Только здесь уже пользуются не тем интегралом, который был в первом пункте ( для определения площади ), а другим — неопределенным, то есть, не имеющим пределов.

Заключение

В заключение прорезюмируем, что основное отличие определенного интеграла от неопределенного — в их назначениях. Определенные интегралы используются для вычисления ограниченных параметров, таких как площадь, длина или объем, а неопределенный — при вычислении параметров, не имеющих границ, то есть функций.

Интересное видео на эту тему:

Источник

Интегралы для чайников: как решать, правила вычисления, объяснение

Решение интегралов – задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл. Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы?

Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать простейшие и другие интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись в математике.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Изучаем понятие « интеграл »

Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц, но суть вещей не изменилась.

Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о пределах и производных, необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.

Неопределенный интеграл

Пусть у нас есть какая-то функция f(x).

Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x), производная которой равна функции f(x).

Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как вычислять производные, читайте в нашей статье.

Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

Простой пример:

Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями.

Полная таблица интегралов для студентов

Определенный интеграл

Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.

В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции.

Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции? С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:

Точки а и b называются пределами интегрирования.

Бари Алибасов и группа

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правила вычисления интегралов для чайников

Свойства неопределенного интеграла

Как решить неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.

Свойства определенного интеграла

Как считать определенный интеграл? С помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Мы уже выяснили, что определенный интеграл – это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:

Примеры решения интегралов

Ниже рассмотрим неопределенный интеграл и примеры с решением. Предлагаем самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.

Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Обратитесь в профессиональный сервис для студентов, и любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.

Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

Источник

Первообразная

Определение. Непрерывная функция F(x) называется первообразной функции f(x), если на промежутке X, если для каждого .

Операция нахождения первообразной функции f(x), называется интегрированием.

Неопределенный интеграл

Неопределённый интеграл-это совокупность всех первообразных функции f(x). В общем случае, нахождение неопределённого интеграла выглядит следующим образом:

,

где f(x)-подынтегральная функция, F(x)-первообразная функция функции f(x), dx-дифференциал, C-константа интегрирования. Неопределённый интеграл представляет собой, как бы, «пучок» первообразных, из-за наличия постоянной интегрирования.

Дифференциал-произвольное, бесконечно малое приращение переменной величины.

Свойства неопределённого интеграла

Таблица основных неопределённых интегралов

В виде

,

где f(x)-подынтегральная функция, F(x)-первообразная функция функции f(x), dx-дифференциал, C-константа интегрирования.

Определённый интеграл

Определенный интеграл— Приращение одной из первообразных функции f(x) на отрезке [a;b].

Общий вид определённого интеграла:

где f(x)–подынтегральная функция, a и b-пределы интегрирования, dx-дифференциал

Свойства определённого интеграла: см. св-ва определённого интеграла.

Определённый интеграл вычисляется по формуле Ньютона –Лейбница:

Применение определённого интеграла:

1. Нахождение площади криволинейной трапеции

2. Нахождение величины скорости v по заданному закону ускорения a(t) за промежуток времени [t1;t2], т.е

Пример: Точка движется по закону ускорения a(t)=t+1. Найти величину ее скорости за промежуток времени [2;4] секунд.

Решение:

3. Нахождение пути S по закону изменения скорости v(t) за промежуток времени [t1;t2], т.е.

Пример: Найти путь, который проделала материальная точка за промежуток времени [2;4], двигаясь со скоростью, которая изменялась по закону: v(t)=2t+2.

Решение:

Стоит отметить, что, на сегодняшний день, интегральное и дифференциальное исчисление занимают лидирующие позиции в математике. Советую вам ознакомиться, более подробно, с широким применением интегралов в естествознании.

Источник

Чем отличается определенный интеграл от неопределенного

Почему вы не знаете, как решать интегралы

А для чего нужны интегралы? Попробуйте сами себе ответить на этот вопрос.

Объясняя тему интегралов, учителя перечисляют малополезные школьным умам области применения. Среди них:

Связать все эти процессы не всегда получается, поэтому многие ученики путаются, даже при наличии всех базовых знаний для понимания интеграла.

Главная причина незнания – отсутствие понимания практической значимости интегралов.

Интеграл – что это?

Предпосылки. Потребность в интегрировании возникла в Древней Греции. В то время Архимед начал применять для нахождения площади окружности методы, похожие по сути на современные интегральные исчисления. Основным подходом для определения площади неровных фигур тогда был «Метод исчерпывания», который достаточно лёгок для понимания.

Суть метода. В данную фигуру вписывается монотонная последовательность других фигур, а затем вычисляется предел последовательности их площадей. Этот предел и принимался за площадь данной фигуры.

Метод исчерпывания для определения площади круга

В этом методе легко прослеживается идея интегрального исчисления, которая заключается в нахождении предела бесконечной суммы. В дальнейшем эта идея применялась учёными для решения прикладных задач астронавтики, экономики, механики и др.

Современный интеграл. Классическая теория интегрирования была сформулирована в общем виде Ньютоном и Лейбницем. Она опиралась на существовавшие тогда законы дифференциального исчисления. Для её понимания, необходимо иметь некоторые базовые знания, которые помогут математическим языком описать визуальные и интуитивные представления об интегралах.

Объясняем понятие «Интеграл»

Процесс нахождения производной называется дифференцированием, а нахождение первообразной – интегрированием.

Интеграл математическим языком – это первообразная функции (то, что было до производной) + константа «C».

Интеграл простыми словами – это площадь криволинейной фигуры. Неопределенный интеграл – вся площадь. Определенный интеграл – площадь в заданном участке.

Интеграл записывается так:

Каждая подынтегральная функция умножается на компонент «dx». Он показывает, по какой переменной осуществляется интегрирование. «dx» – это приращение аргумента. Вместо X может быть любой другой аргумент, например t (время).

Неопределённый интеграл

Определённый интеграл

В определенном интеграле на знаке интегрирования пишут ограничения «a» и «b». Они указаны на оси X в графике ниже.

Точки A и B на оси X – есть ограничение зоны определения интеграла

Для вычисления определенного интеграла необходимо найти первообразную, подставить в неё значения «a» и «b» и найти разность. В математике это называется формулой Ньютона-Лейбница:

Пример решения определенного интеграла

Таблица интегралов для студентов (основные формулы)

Скачайте формулы интегралов, они вам еще пригодятся

Как вычислять интеграл правильно

Существует несколько простейших операций для преобразования интегралов. Вот основные из них:

Вынесение константы из-под знака интеграла

Разложение интеграла суммы на сумму интегралов

Если поменять местами a и b, знак изменится

Можно разбить интеграл на промежутки следующим образом

Это простейшие свойства, на основе которых потом будут формулироваться более сложные теоремы и методы исчисления.

Примеры вычисления интегралов

Решение неопределенного интеграла

Решение определенного интеграла

Базовые понятия для понимания темы

Чтобы вы поняли суть интегрирования и не закрыли страницу от непонимания, мы объясним ряд базовых понятий. Что такое функция, производная, предел и первообразная.

Функция – правило, по которому все элементы из одного множества соотносятся со всеми элементами из другого.

Производная – функция, описывающая скорость изменения другой функции в каждой конкретной точке. Если говорить строгим языком, – это предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Он вычисляется вручную, но проще использовать таблицу производных, в которой собрано большинство стандартных функций.

Приращение – количественное изменение функции при некотором изменении аргумента.

Предел – величина, к которой стремиться значение функции, при стремлении аргумента к определённому значению.

Пример предела: допустим при X равном 1, Y будет равно 2. Но что, если X не равен 1, а стремится к 1, то есть никогда её не достигает? В этом случае y никогда не достигнет 2, а будет только стремиться к этой величине. На математическом языке это записывается так: limY(X), при X –> 1 = 2. Читается: предел функции Y(X), при x стремящемся к 1, равен 2.

Как уже было сказано, производная – это функция, описывающая другую функцию. Изначальная функция может быть производной для какой-либо другой функции. Эта другая функция называется первообразной.

Заключение

Найти интегралы не трудно. Если вы не поняли, как это делать, прочитайте статью еще раз. Со второго раза становится понятнее. Запомните! Решение интегралов сводится к простым преобразованиям подынтегральной функции и поиска её в таблице интегралов.

Если текстовое объяснение вам не заходит, посмотрите видео о смысле интеграла и производной: 

Интегралы для чайников: как решать, правила вычисления, объяснение

Решение интегралов – задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл… Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы?

Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать простейшие и другие интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись в математике.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Изучаем понятие «интеграл»

Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц, но суть вещей не изменилась.

Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о пределах и производных, необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.

Неопределенный интеграл

Пусть у нас есть какая-то функция f(x).

Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x), производная которой равна функции f(x).

Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как вычислять производные, читайте в нашей статье.

Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

Простой пример:

Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями.

Полная таблица интегралов для студентов

Определенный интеграл

Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.

В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции.

Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции? С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции.

Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры.

Это и есть определенный интеграл, который записывается так:

Бари Алибасов и группа

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правила вычисления интегралов для чайников

Свойства неопределенного интеграла

Как решить неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.

Свойства определенного интеграла

Как считать определенный интеграл? С помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Мы уже выяснили, что определенный интеграл – это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:

Примеры решения интегралов

Ниже рассмотрим неопределенный интеграл и примеры с решением. Предлагаем самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в х.

Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Обратитесь в профессиональный сервис для студентов, и любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.

Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

Определённый интеграл и методы его вычисления

Определённым интегралом от непрерывной функции f(x) на конечном отрезке [a, b] (где ) называется приращение какой-нибудь её первообразной на этом отрезке. (Вообще, понимание заметно облегчится, если повторить тему неопределённого интеграла) При этом употребляется запись

Как видно на графиках внизу (приращение первообразной функции обозначено ), определённый интеграл может быть как положительным, так и отрицательным числом (Вычисляется как разность между значением первообразной в верхнем пределе и её же значением в нижнем пределе, т. е. как F(b) — F(a)).

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, а отрезок [a, b] – отрезком интегрирования.

Таким образом, если F(x) – какая-нибудь первообразная функция для f(x), то, согласно определению,

Докажем, что определённый интеграл не зависит от того, какая первообразная подынтегральной функции взята при его вычислении. Пусть F(x) и Ф(х) – произвольные первообразные подынтегральной функции. Так как это первообразные одной и той же функции, то они отличаются на постоянное слагаемое: Ф(х) = F(x) + C. Поэтому

Тем самым установлено, что на отрезке [a, b] приращения всех первообразных функции f(x) совпадают.

Таким образом, для вычисления определённого интеграла необходимо найти любую первообразную подынтегральной функции, т.е. сначала следует найти неопределённый интеграл. Постоянная С из последующих вычислений исключается.

Затем применяется формула Ньютона-Лейбница: в первообразную функцию подставляется значение верхнего предела b, далее — значение нижнего предела a и вычисляется разность F(b) — F(a).

Полученное число и будет определённым интегралом..

При a = b по определению принимается

Однако при вычислении определённого интеграла лучше не находить отдельно первообразную, а сразу записывать интеграл в виде (39).

Найти определённый интеграл самостоятельно, а затем посмотреть решение

Свойства определённого интеграла

Теорема 1. Определённый интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю, т.е.

Теорема 2. Величина определённого интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е.

Пусть F(x) – первообразная для f(x). Для f(t) первообразной служит та же функция F(t), в которой лишь иначе обозначена независимая переменная. Следовательно,

Теорема 3. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла, т.е.

Теорема 4. Определённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определённых интегралов от этих функций, т.е.

Теорема 5. Если отрезок интегрирования разбит на части, то определённый интеграл по всему отрезку равен сумме определённых интегралов по его частям, т.е. если

Теорема 6. При перестановке пределов интегрирования абсолютная величина определённого интеграла не меняется, а изменяется лишь его знак, т.е.

Теорема 7 (теорема о среднем). Определённый интеграл равен произведению длины отрезка интегрирования на значение подынтегральной функции в некоторой точке внутри его, т.е.

Теорема 8. Если верхний предел интегрирования больше нижнего и подынтегральная функция неотрицательна (положительна), то и определённый интеграл неотрицателен (положителен), т.е. если

Теорема 9. Если верхний предел интегрирования больше нижнего и функции и непрерывны, то неравенство

можно почленно интегрировать, т.е.

Свойства определённого интеграла позволяют упрощать непосредственное вычисление интегралов.

Определённый интеграл с переменным верхним пределом

а через t обозначена переменная интегрирования, чтобы не путать её с верхней границей.

При изменении х меняется и опредёленный интеграл (47), т.е. он является функцией верхнего предела интегрирования х, которую обозначим через Ф(х), т.е.

Функция Ф(х) – одна из бесконечного множества первообразных для f(x), а именно та, которая при x = aобращается в нуль. Это утверждение получается, если в равенстве (48) положить x = aи воспользоваться теоремой 1 предыдущего параграфа.

Вычисление определённых интегралов методом интегрирования по частям и методом замены переменной

Пример 6. Вычислить определённый интеграл

Решение. Интегрируем по частям, полагая u = ln x, dv = dx; тогда du = (1/x)dx, v = x. По формуле (49) находим

Найти определённый интеграл по частям самостоятельно, а затем посмотреть решение

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

принимает соответственно значения aи b, т.е.

поставить значения x = aи x = b, т.е. решить уравнения

При вычислении определённого интеграла методом замены переменной часто бывает удобно выражать не старую переменную как функцию новой, а, наоборот, новую – как функцию старой.

Найти определённый интеграл заменой переменной самостоятельно, а затем посмотреть решение

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу! Пройти тест по теме Интеграл

Начало темы «Интеграл»

Найти неопределённый интеграл: начала начал, примеры решений Метод замены переменной в неопределённом интеграле Интегрирование подведением под знак дифференциала Метод интегрирования по частям Интегрирование рациональных функций и метод неопределённых коэффициентов Интегрирование некоторых иррациональных функций Интегрирование тригонометрических функций

Продолжение темы «Интеграл»

Площадь плоской фигуры с помощью интеграла Объём тела вращения с помощью интеграла Вычисление двойных интегралов Длина дуги кривой с помощью интеграла Площадь поверхности вращения с помощью интеграла Определение работы силы с помощью интеграла

Поделиться с друзьями

Неопределенный и определенный интеграл Понятие первообразной и неопределенный интеграл

Функция
называетсяпервообразной
функцией
для функции

png» width=»40″>на промежутке,
если в каждой точке этого промежутка

Пример.
А) является первообразной для,
т.к.

png» width=»121″>. Б)является первообразной для,
т.к.

Если
для функции существует первообразная,
то она не является единственной. Например,
функции,

png» width=»43″>и вообще(
некоторая произвольная постоянная)
являются первообразными для функции
.
Таким образом можно сформулировать
следующую теорему.

Теорема.
Если
и
первообразные для функции

png» width=»40″>на некотором промежутке,
то найдется такое число,
что будет справедливо равенство:

Из
данной теоремы следует, что, если 
первообразная для функции

png» width=»40″>,
то выражение вида,
где

Совокупность
всех первообразных функции на промежуткеназываетсянеопределенным
интегралом
от функции

png» width=»40″>и обозначается,
где
знак интеграла,

png» width=»40″>
подынтегральная функция, 
подынтегральное выражение, 
некоторая первообразная для

png» width=»40″>,
произвольная постоянная.

Операция
нахождения неопределенного интеграла
по заданной подынтегральной функции
называется интегрированием
этой функции.
Данная операция является обратной для
операции дифференцирования.

Правила
интегрирования неопределенного
интеграла:

Таблица
простейших интегралов

Основные
методы интегрирования неопределенного
интеграла:

Непосредственное интегрирование. Вычисление интегралов с использованием основных правил и таблицы простейших интегралов.

Метод замены переменной (метод подстановки). Данный метод основан на следующей теореме: Пусть функция определена и дифференцируема на отрезке

NBtB/img-3y177D.png» width=»46″>, а  множество значений этой функции, на котором определена функция

Пусть
заданный интеграл не может быть непосредственно преобразован
к табличному интегралу. Введем новую
переменную

Формула
показывает, что переходя к новой
переменной, достаточно выполнить замену
переменной в подынтегральном выражении.
Удачная замена переменной позволяет
упростить исходный интеграл, свести
его к табличному.

Замечание.
Новую переменную можно не выписывать
явно, а производить преобразования
функции под знаком дифференциала (путем
введения постоянных и переменных под
знак дифференциала).

Теорема.
Пусть

некоторая первообразная для функции

.
Тогда если вместо аргумента

png» width=»18″>
подынтегральной функции

и первообразной

подставить выражение

Под знаком интеграла переходим к новой переменной.

Находим табличный интеграл.

Возвращаемся к старой переменной.

Метод интегрирования по частям. Метод основан на теореме: Пусть функции и определены и дифференцируемы на промежутке

NBtB/img-8bRj3D.png» width=»22″>, и функция имеет первообразную на этом промежутке. Тогда функция

png» width=»204″>, получим.

Замечание.
За

нужно брать то, что после дифференцирования
упрощается.

Тема 6 Определенный интеграл

Задача о вычислении площади криволинейной трапеции. Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Формула Ньютона – Лейбница. Свойства определенного интеграла.

Вычисление определенного интеграла методом замены переменной и по частям. Понятие о несобственных интегралах с бесконечными пределами интегрирования. Вычисление площадей плоских фигур.

Приближенное вычисление определенного интеграла по формуле трапеций.

Метод интегрирования по частям позволяет расширить класс интегрируемых функций за пределы табличных интегралов. При этом необходимо использовать приемы интегрирования по частям для неопределенного интеграла.

Метод подстановки также расширяет класс интегрируемых функций. При этом нужно помнить, что при введении новой переменной изменяются пределы интегрирования. После их изменения можно рассчитать определенный интеграл, не возвращаясь к старой переменной.

Несобственный интеграл вычисляется как интеграл с одним или с двумя неограниченными пределами. Подынтегральная функция определена и непрерывна на одном из промежутков [a;+¥), (-¥;b], [-¥;+¥].

Если несобственный интеграл сходится, то он имеет конечный предел, если не сходится, то предел его равен бесконечности или не существует.

Для вычисления площадей плоских фигур необходимо уметь определять пределы интегрирования, если они не заданы и если площадь фигуры представляется в виде сумм или разностей криволинейных трапеций. Поэтому нужно построить кривые, ограничивающие плоские фигуры, определяют граничные условия (пределы интегрирования).

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Первообразная и неопределенный интеграл, их свойства

Для начала, дадим определение понятиям, которые будут использоваться в данном разделе. В первую очередь это первообразная функции. Для этого введем константу C.

Первообразная функции f(x) на промежутке (a; b) это такая функция F(x), при которое формула F'(x)=f(x) превращается в равенство для любого x из заданного промежутка.

Следует учитывать тот факт, что производная от константы C будет равна нулю, что позволяет нам считать верным следующее равенство F(x)+C’=f(x).

Получается, что функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C, для произвольной константы C. Эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.

Определение неопределенного интеграла

Все множество первообразных функции f(x) можно назвать неопределенным интегралом этой функции. С учетом этого формула будет иметь вид ∫f(x)dx=F(x)+C. При этом, выражение f(x)dx является подынтегральным выражением, а f(x) – это подынтегральная функция. Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x).

Имея заданный дифференциал функции, мы можем найти неизвестную функцию.

Результатом неопределенного интегрирования будет не одна функция F(x), а множество ее первообразных F(x)+C.

∫k·f(x)dx=k·∫f(x)dx, где k – произвольная константа. Коэффициент можно выносить за знак неопределенного интеграла.

Производные правых частей равенств равны подынтегральным функциям, что является доказательством первого свойства. Его же мы используем в последних переходах.

Как видите, задача интегрирования представляет собой обратный процесс по отношению к задаче дифференцирования. Обе эти задачи тесно связаны между собой.

Первое свойство может быть использовано для проведения проверки интегрирования. Для проверки нам достаточно вычислить производную полученного результата. Если полученная функция будет равна подынтегральной функции, то интегрирование проведено верно.

Благодаря второму свойству по известному дифференциалу функции мы можем найти ее первообразную и использовать ее для вычисления неопределенного интеграла.

Используя второе свойство ∫d(ln(x))=ln(x)+C, мы получаем множество первообразных ln(x)+C. При х=1 получим значение ln(1)+C=0+C=C. Согласно условию задачи, это значение должно быть равно единице, следовательно, С = 1. Искомая первообразная примет вид ln(x)+1.

Ответ: f(x)=1x=ln(x)+1

В результате проверки мы получили подынтегральную функцию. Это значит, что интегрирование было проведено нами верно. Для осуществления последнего перехода мы использовали формулу синуса двойного угла.

Ответ: ∫2sin x2cosx2dx=-cos x-C

Если таблицу производных основных элементарных функций переписать в виде дифференциалов, то из нее по второму свойству неопределенного интеграла можно составить таблицу первообразных.

Подробнее эту тему мы рассмотрим в следующем разделе «Таблица первообразных (таблица неопределенных интегралов)».

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

прикладная математика

Определенный интеграл. Теорема существования.

Решение многих важных задач геометрии и физики (определение площади, работы, массы, пути) приводит к одной и той же последовательности действий над известными функциями и их аргументами.
Если отвлечься от физического смысла переменных и от их обозначений, то указанная последовательность действий состоит в следующем:

Сумма (1) называется (n)-й интегральной суммой.

Источник