в чем красота математики

5 математических феноменов, которые превращают точную науку в эстетическое наслаждение

5 примеров «красоты математики».

«Правильный взгляд на математику открывает не только истину, но и безупречную красоту…», – писал британский математик и философ Бертран Рассел. Математические явления можно встретить в природе повсеместно: раковину наутилуса, символизирующую золотое сечение, речные потоки и морские побережья фрактальной формы и многое другое.

Томас Бриц, преподаватель кафедры математики и статистики в Университете Нового Южного Уэльса (Австралия), с детства увлекается математикой и уверенно утверждает, что в повседневной жизни можно встретить как минимум 5 вещей, которые доказывают, что математика подобна искусству.

1. Симметрия

В своем выступлении «Математические эмоции» на TEDxUNSWSydney в 2018 году Томас Бриц рассказал, что мы испытываем восторг, радость и удивление не только, когда видим красоту в окружающих нас вещах – людях, фотографиях, фильмах, пейзажах, предметах высокого искусства, – но и красоту в математике.

Когда мы замечаем симметрию и определенные шаблоны, приходим к неожиданному решению или разгадываем математическую головоломку.

Уверены, каждому из нас хорошо знакомо понятие симметрии, которая часто встречается в нашей жизни. Зачастую предметам, созданным руками человека, намеренно придается симметричная форма, потому что так изделие будет выглядеть приятнее для человеческого глаза.

«Так сложилось, что нам симпатично более симметричное лицо, – объяснил Томас. – Но немного хаоса и уникальных черт не сделают его несовершенным. Они сделают его более очаровательным для нашего восприятия».

Симметрия широко встречается и в природе. Если провести посередине тела человека вертикальную линию, левая сторона будет почти симметрична правой. Симметрией обладают снежинки, кристаллы, падающие дождевые капли, которые имеют форму сферы, и многое другое.

2. Фрактал

Фракталы – это множество, которое обладает свойствами самоподобия. К примеру, вы можете увидеть капусту сорта Романеско – один из самых распространенных фракталов в нашей повседневной жизни. По сути, если рассмотреть кочан Романеско в крупном масштабе, то каждый мелкий фрагмент будет иметь форму этого самого кочана.

Такие фрактальные структуры встречаются повсюду. Снежные кристаллы, побережья, облака, речные потоки, цветы, кроны деревьев и кровеносные сосуды – все это может обладать свойствами фрактала.

И если в природе фрактальный слой имеет конец, то в концептуальном плане он бесконечен. «Если вы создадите фрактальную фигуру на компьютере, то не сможете увидеть конец фрактала, независимо от того, насколько вы увеличите масштаб», – отметил Бриц.

3. Число «π»

Если говорить коротко, то «π» намного больше, чем 3,14, к которому мы привыкли. «Число «π» используется при расчете длины и площади окружности круга, но на самом деле его свойства куда шире», – утверждает Блиц.

«Если вы посмотрите на все, что вас окружает, вы сможете найти «π» практически повсеместно. Оно появляется не только там, где есть связь с кругом, но и в формулах вероятности и исчисления, которые не имеют ничего общего с круглой формой», – заявляет Томас.

Несмотря на то что о «π» знает каждый, это одно из самых тайных чисел! Это в буквальном смысле бесконечная периодическая дробь. В 2016 году швейцарский ученый Петер Трюб определил до 22,4 триллиона знаков после запятой. Интересен и тот факт, что цифры не складываются в повторяющиеся блоки, поэтому, теоретически, в числе «π» вы можете найти свой номер телефона.

Эта загадка числа «π» еще раз придает математике особую красоту и очарование.

4. Золотое сечение

Наиболее известным соотношением, связанным с красотой, является золотое сечение, которое, как говорят ученые, позволяет «размещать предметы самым чудесным образом».

Золотое сечение – это иррациональное число, которое следует за «1.6180339887 ……», поэтому обычно используют его сокращенную форму «1.618». Впервые о нем упомянул древнегреческий математик Евклид. Геометрическое и визуальное изображение золотого сечения, как правило, представлено в форме полукругов и прямоугольников.

«Исторически это соотношение считалось эталоном «идеальной формы» в архитектуре, искусстве и человеческой фигуре. Золотое сечение было обнаружено во многих памятниках искусства», – утверждает Бриц.

Соотношение по-прежнему широко используется в различных сферах – преимущественно в искусстве, дизайне и фотографии. В 2014 году золотое сечение вновь стало горячо обсуждаемой темой, когда выяснилось, что известный игровой персонаж Sega Соник нарисован в соответствии с золотым сечением.

5. Парадокс Банаха-Тарского

Парадокс был открыт в 1926 году математиками Стефаном Банахом и Альфредом Тарским и заключается в следующем: если разбить шар на куски, то можно собрать два таких же шара. На практике это невозможно, но в теории очень даже. «В некотором смысле это настоящее волшебство», – подчеркивает Бриц.

Перечисленные понятия – лишь малая часть всей красоты математики. «Чтобы замечать больше, необходимы базовые знания и постоянная практика, – отметил Томас. – Требуется утомительная подготовка, как и спортсменам, которые вынуждены тренироваться снова и снова. Но это того стоит. Я надеюсь, математику полюбят больше людей, ведь в ней полно скрытой красоты».

Источник

В чем красота математики

«..А если это так, то что есть красота

И почему её обожествляют люди?

Сосуд она, в котором пустота,

Или огонь, мерцающий в сосуде?»

Н. Заболоцкий, 1955г.

Введение

Целью нашей работы стало изучение эстетического потенциала математики.

Исследования математической красоты

Действительно ли ощущение красоты, полученное из такого высокоинтеллектуального и абстрактного источника, как математика, взаимосвязано с деятельностью той же части мозга, что и впечатления от источников, основанных на зрительном и слуховом восприятии? Ответ на этот вопрос был недавно получен. В феврале 2014 года в журнале Frontiers in Humann Neuroscience было опубликовано совместное исследование нейробиологов и математиков, посвященное изучению феномена красоты математики [9]. Чтобы определить это, была использована функциональная магнитно-резонансная томография для изображения активности мозга 16-ти математиков, когда они рассматривали математические формулы, которые они оценивали индивидуально как красивые, нейтральные или уродливые. Результаты показали, что восприятие математической красоты тесно взаимосвязано с активностью в той же части эмоционального мозга, что и восприятие музыки, поэзии, живописи, а именно орбитофронтальной борозды [9].

Какие же математические формулы красивы?

Формулой, наиболее часто оцениваемой как красивая, в вышеприведенном исследовании, оказалось тождество Эйлера, которое связывает 5 фундаментальных математических констант с тремя основными арифметическими операциями:

e iπ +1=0;

где е — число Эйлера, основание натурального логарифма, предел последовательности (1+1/n)n,

i— «мнимая единица», квадрат которой равен минус единице, «основание» комплексных чисел,

π — число «пи».

Формула Эйлера, из которой сразу следует данное тождество, была опубликована Эйлером в 1740 году. Тождество уже тогда произвело глубокое впечатление на научный мир. Были даже попытки мистически истолковать его как символ единства математики: числа 0 и 1 относятся к арифметике, i — к алгебре, число π — к геометрии, а число e — к математическому анализу [10].

Сама формула Эйлера, утверждающая, что для любого комплексного числа (действительного в частности) x выполнено следующее равенство: e ix = isinx + cosx, тожерасценивалась участниками как красивая (рис 2) [10].

Другой, высоко оцененной формулой стала теорема Пифагора:

a 2 + b 2 = c 2 ;

«В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах» (рис.3) [11].

Это одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, которая устанавливает соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. В этой теореме верно и обратное утверждение: треугольник, сумма квадратов длин двух сторон которого равна квадрату длины третьей стороны, является прямоугольным [11]. В научной литературе имеется около четырехсот доказательств теоремы Пифагора [11], что объясняется как фундаментальным значением для геометрии, так и элементарностью результата. Основные направления доказательств: алгебраическое использование соотношений элементов треугольника (таков, например, популярный метод подобия), метод площадей, существуют также различные экзотические доказательства (например, с помощью дифференциальных уравнений) [12].

К красивым формулам были отнесены и уравнения Коши-Римана:

— дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют вещественная и мнимая части аналитической функции [13].

Формулы, считающиеся нейтральными, включали формулу Эйлера для многогранников: В-Р+Г=2, где В – число вершин, Р- число ребер, Г – число граней. Данная теорема устанавливает взаимосвязь между числом ребер, граней и вершин для многогранников, топологически эквивалентных сфере (например: тетраэдр, куб, октаэдр) [15].

Теорема Гаусса Бонне также была отнесена к нейтральным:

Данная теорема относится к области дифференциальной геометрии и топологии [16].

К числу нейтральных отнесена также спектральная теорема — наименование утверждений из класса теорем о линейных операторах или о матрицах в линейной алгебре и функциональном анализе.

Наиболее негативные эмоции у испытуемых вызывала формула, которая выражает обратную π в виде бесконечной суммы, предложенная индийским математиком Сринивасом Рамануджаном в 1910 году [13]:

Обсуждение

Искусство и математика, по большей части совершенно противоположны друг другу: искусство имеет более «разумный» источник и является доступным для многих, в то время как математика обладает высоким познавательным, интеллектуальным началом и доступна не для всех. Тем не менее, и то и другое может спровоцировать эстетические эмоции, вызывая ощущение красоты, хотя не все великие произведения искусства и не все великие математические формулы и теоремы способны на это.

Очевидно, что математическая и художественная красота были написаны с одним и тем же вдохновением математиками и гуманистами, и именно поэтому вызывают похожие физиологические и эстетические эмоции. Это означает, что существует и общий абстрактный характер ощущения красоты, полученного из самых разных источников. В свете этого деятельность в области эмоционального мозга, которая взаимосвязана с чувством красоты, полученным из разных источников, просто отражает нейробиологически тот же мощный и эмоциональный опыт красоты, о котором говорили и математики и художники.

Отношения взаимосвязи красоты с удовольствием и вознаграждением обычно обсуждались в философии эстетики без четкого вывода [17]. С точки зрения физиологии это, наверное, не удивительно, потому что все три сливаются друг с другом, без четких границ между ними, вызывая активность орбитофронтальной коры, что отражает, возможно, субъективную трудность разделения этих переживаний. Ученые, исследуя красоту математики, давали различные формулы эстетической привлекательности математического объекта. Например, Г. Биркгоф дал следующую формулу: M = O/C,

где M — мера красоты объекта, O — мера порядка, а C — мера усилий, затрачиваемых для понимания сущности объекта [18].

Другой подход к оценке красоты математического объекта предложил российский советский математик В. Г. Болтянский [19]. Предложенная им формула включает изоморфизм между математическим объектом и его наглядной моделью, простоту модели, а также неожиданность появления модели:

КРАСОТА = НАГЛЯДНОСТЬ + НЕОЖИДАННОСТЬ = ИЗОМОРФИЗМ + ПРОСТОТА + НЕОЖИДАННОСТЬ [19].

И та, и другая формулы созвучны: в них красота математического объекта обусловлена взаимодействием его обобщенного образа, созданного нашей психикой, и оригинальности, выделяющей этот объект из множества других.

Заключение

В ходе нашего исследования мы сделали вывод, что ощущение красоты, полученное от математических формулировок, представляет собой наверное самый уникальный случай ощущения красоты, который зависит от уровня обучения и культуры. О красоте математики написано немало. Многие авторы видят её в гармонии чисел и форм, геометрической выразительности, стройности математических формул, решении задач различными способами, изяществе математических доказательств, порядке, универсальности математических методов.

Таким образом, красота математики, как правило, не лежит на поверхности, для ее постижения нужны некоторые — иногда значительные интеллектуальные и волевые усилия. Математик находится посередине между наукой и искусством, и это подтверждает неизбежную связь между самой абстрактной из наук и человеческими эмоциями.

Нельзя не вспомнить слова Анри Пуанкаре: «Думать, что математика затрагивает лишь интеллект, означало бы забыть о красоте математики, элегантности геометрии, которые прекрасны в самом полном смысле этого слова».

Перспективы дальнейшей разработки темы

В ходе нашей работы я узнала очень много нового и интересного. Большая часть формул и теорем до этого была мне не известна, однако первое знакомство состоялось и со многими из них я еще встречусь в своей школьной и студенческой жизни! В дальнейшей перспективе, я хотела бы провести исследование на восприятие школьниками формул из физики и математики курса средней общеобразовательной школы на предмет их «красоты». Таким образом, я надеюсь не только узнать: какие же формулы из школьных учебников самые красивые, но и привлечь внимание учеников к изучению точных наук.

Список литературы

Russell Bertrand. The Study of Mathematics. Mysticism and Logic: And Other Essays. — Longman, 1919. — P. 60.

Колмогоров А. Н. О профессии математика. Квант. — 1973. — № 4. (выдержки из брошюры «О профессии математика»).

Панов В. Ф. Математика древняя и юная. — Изд. 2-е, исправленное. — М.: МГТУ им. Баумана, 2006. — С. 330—332. — 648 с.

Клайв Белл [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://en.wikipedia.org/wiki/Clive_Bell (дата обращения 27.11.2017)

Kawabata, H., and Zeki, S. Neural correlates of beauty. J. Neurophysiol. 91, 1699–2004. doi: 10.1152/jn.00696.2003

Kringelbach, M. H., O’Doherty, J., Rolls, E. T., and Andrews, C. Activation of the human orbitofrontal cortex to a liquid food stimulus is correlated with its subjective pleasantness. Cereb. Cortex 13. 2003: 1064–1071. doi: 10.1093/cercor/13.10.1064

[Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/ Орбитофронтальная_кора (дата обращения 28.11.2017)

Semir Zeki, John Paul Romaya, Dionigi M. T. Benincasa, Michael F. Atiyah. The experience of mathematical beauty and its neural correlates. Front. Hum. Neurosci.2014;13 | https://doi.org/10.3389/fnhum.2014.00068

Глейзер Г. И. История математики в школе. — М., 1982

Сайт о теореме Пифагора с большим числом доказательств, материал взят из книги В. Литцмана, большое число чертежей представлено в виде отдельных графических файлов. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://th-pif.narod.ru/other.htm (дата обращения 30.11.2017)

Уравнения Коши-Римана. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://slovar.wikireading.ru/98619 (дата обращения 29.11.2017)

Харди Г. Двенадцать лекций о Рамануджане. — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 336 с.

Курант Р., Роббинс Г.Что такое математика? Перевод с английского под редакцией А. Н. Колмогорова Издательство: М.: МЦНМО. Год издания: 2015. 564 С.

[Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/ Формула_Гаусса_—_Бонне (дата обращения 28.11.2017)

Современная философия: Словарь и хрестоматия. Ростов-на-Дону. Феникс, 1996 г. 511 с.

Биркгоф Г. Математика и психология. — М.: Советское радио, 1997.

Болтянский Б. Г. Математическая культура и эстетика. Математика в школе. 1982. N 2.

Источник

В чем красота математики

«Красота» в математике

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Введение

Математика – это не только стройная система законов, теорем, задач, но и уникальное средство познания красоты. А красота многогранна и многолика. Она выражает высшую целесообразность устройства мира, подтверждает универсальность математических закономерностей, которые действуют одинаково эффективно в кристаллах и в живых организмах, в атомах и во Вселенной, в произведениях искусства и научных открытиях.

Красота помогает с радостью воспринимать окружающий мир, математика даёт возможность осознать явления и упрочить знания о гармонии всего мира.

Изучая математику, мы открываем всё новые и новые слагаемые красоты, приближаясь к пониманию, а затем и к созданию красоты и гармонии.

Когда раскрывается эффективность применения математических методов в различных областях науки, культуры, искусства, не ущемляется роль математики, не подменяется другими предметами, а, наоборот, повышается интерес к предмету, выявляется высокое значение математики, процесс познания её делается увлекательным.

Цель проекта: Выяснить может ли математика доставлять эстетическое удовольствие.

Гипотеза: Мозг человека воспринимает красивые математические формулы так же, как великолепные произведения искусства.

1. Подбор и изучение, необходимой для исследования литературы.

2. Изучить красоту окружающих предметов с математической точки зрения.

3. Научится вычислять привлекательность математического объекта

4. Определить понятие «красивая» задача в математике.

5. Классифицировать найденные задачи по разделам

6.Узнать какие формулы считаются самыми красивыми.

Красота! Казалось бы, это понятие, лишенное практической ценности, не играющее существенной роли, в жизни людей является чем-то второстепенным, маловажным. Но почему же с давних пор человек стремится окружать себя красивыми вещами? Человеку достаточно одного взгляда, чтобы определить красив предмет или нет. Естественно возникает вопрос: почему этот предмет красив, он нравится, а другой, очень похожий, не нравится, его нельзя назвать красивым? Какие «вычисления» проводит наш мозг, оценивая привлекательность? Существуют ли идеальные пропорции? В своей работе я попыталась ответить на эти вопросы с математической точки зрения.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Математика: прекрасное в науке.

Анализ проявления «красоты» в математике

Кто, наставляемый на пути любви, будет в правильном порядке созерцать прекрасное, тот, достигнув конца этого пути, вдруг увидит нечто удивительно прекрасное по природе. Он увидит прежде всего, что прекрасное существует вечно, что оно не возникает, не уничтожается, не увеличивается, не убывает.

И тем не менее в богатой истории человеческой цивилизации находились люди, бравшие на себя смелость заняться анализом красоты науки. В их числе следует назвать Френсиса Хатчесона (1694-1747), шотландского философа эпохи Просвещения, автора «Исследования о происхождении наших идей красоты и добродетели в двух трактатах». Для нас особый интерес представляет раздел «О красоте теорем» первого трактата Хатчесона «О красоте, порядке, гармонии, целесообразности», начинающийся словами: «Красота теорем, или доказательств правильности всеобщих истин, заслуживает отдельного рассмотрения, поскольку по природе своей она значительно отличается от ранее рассмотренных видов красоты; и, однако, нет такой другой, в которой мы могли бы увидеть такое поразительное разнообразие при единообразии. «

Принцип единства в многообразии Хатчесон считает универсальным эстетическим принципом, равно применимым и к неживой, и к живой природе, и к эстетической оценке науки. Действительно, любая математическая теорема содержит в себе бесчисленное множество истин, справедливых для каждого конкретного объекта, но в то же время эти конкретные истины собраны в единой общей для всех истине, устанавливаемой теоремой. Например, теорема Пифагора справедлива для бесчисленного множества конкретных прямоугольных треугольников, но все это многообразие треугольников обладает единственным общим свойством, описываемым теоремой. Вероятно, каждый школьник испытывал чувство радости, чувство научной красоты, когда впервые обнаружил, что, например, переместительное свойство сложения, замеченное им на множестве конкретных арифметических примеров, есть не что иное, как единый универсальный закон алгебры: a+b = b+a, справедливый для любых чисел.

В заключение Хатчесон делает важный вывод: красота науки неравнозначна научному знанию. Красота науки заключается не в собрании застывших законов, а в обретении новых знаний, в открытии новых истин, в обнаружении стройности и порядка там, где еще недавно царил хаос. Только беспрерывное движение вперед, а точнее вверх, к новым вершинам истины,- такова формула прекрасного в науке. [4, с.75-85]

Отметим еще одно существенное обстоятельство. Ясно, что все три выведенных Хатчесоном эстетических принципа справедливы для любой науки, но получены они Хатчесоном для математики. И дело здесь не в том, что остальные науки во времена Хатчесона были еще недостаточно развиты по сравнению с математикой. Дело в том, что математика во все времена была и остается «первой красавицей» среди наук и, следовательно, эстетические принципы науки наиболее ярко проявляются в математике. Чуть позже мы попытаемся обосновать эту мысль.

Но перенесемся из XVIII века в век XX. В 1931 г. в Москве вышла в свет небольшая книга драматурга и искусствоведа В. М. Волькенштейна «Опыт современной эстетики». Авторское введение прекрасно рисует дух того времени: «. автор ищет прежде всего определение той новой красоты, которая характеризует нашу бурную эпоху. Эта новая красота перед нами в еще невиданных произведениях искусств, в удивительных изобретениях техники, в новых методах мышления. » Последнее для нас является самым главным. Впрочем, это было отмечено и в предисловии первого наркома просвещения, писателя, искусствоведа, академика А. В. Луначарского (1875-1933), которым открывалась книга: «Само оглавление книги показывает, что Волькенштейн стремится распространить понятия эстетического на область мышления, считая возможным оценивать с эстетической точки зрения понятия: математические, физические, шахматную игру, всякое научное построение или формулу. Не подлежит сомнению, что это так. Беспрестанно у самих ученых. с уст срываются замечания: красивая теория, изящное разрешение затруднений и т. д. и т. д. Восхищение перед силой человеческого ума есть, конечно, глубоко эстетическое явление, своеобразное, но ничем радикально не различающееся от восхищения перед физической ловкостью человека, перед красотою здания и т. д.».

Итак, стремясь дать новое определение прекрасного, Волькенштейн пытается найти признаки красоты в науке: математике, физике, химии. Эти признаки, по Волькенштейну, таковы: 1) эстетическое впечатление «возникает только в связи с целесообразным, сложным (трудным) преодолением»; 2) «красиво сведение сложности к простоте»; 3) «всякое математическое оформление научных достижений, если оно наглядно и гармонично, вызывает эстетическое впечатление».

Легко видеть, что формула «красота есть целесообразное, трудное преодоление» перекликается с формулой Хатчесона «красота есть обретение неочевидной истины». Да, Природа прячет свои законы в сокровенных тайниках и открываются они только тому, у когс хватает сил на трудное преодоление. И как вознаграждение в конце пути ожидает ученого красота открывающейся истины. Альберт Эйнштейн (1879-1955) любил повторять, что Бог (т. е. Природа) изощрен но не злонамерен (эта надпись была сделана у Эйнштейна на камине). Изощренность Природы состоит в том что она ловко скрывает от человека свои законы, а ее внешнее проявление выглядит поначалу как полный хаос. Не злонамеренность же Природы означает существование у нее законов и принципиальную возможность их обнаружения в конце целесообразного и трудное преодоления. Познание гармонии Природы, когда лишнее и кажущееся отпадает, когда истина обретает величавую простоту и ясность, и есть высшая красота научного поиска. [7, с.48-56]

Согласно третьему признаку Волькенштейна, математика несет красоту в любую науку. Строго говоря, этот тезис является следствием предыдущего: красиво сведение сложности к простоте, ибо математика и есть тот инструмент науки, который позволяет, говоря словами основоположника кибернетики Норберта Винера (1894-1964), «находить порядок в хаосе, который нас окружает». Волькенштейн отмечает эту особую роль математики в науке и, следовательно, ее особую эстетическую ценность: «Математика есть область утонченной красоты. Ее формулы выражают сложные соотношение чисел в определенной форме. Поэтому они могут быть красивы, или, как говорят математики, «изящны».

В самом деле, как только любая из наук переведет свои проблемы на язык математики, так тут же к ее услугам откроется весь богатейший арсенал математики, обладающий массой универсальных методов и способный решать многие конкретные задачи.

Вывод

Наблюдая за окружающей природой и создавая произведения искусства, люди искали закономерности, которые позволяли бы определить прекрасное, т.е. пытались вывести формулу красоты. Ряд формул красоты известен. Это правильные геометрические формы: квадрат, круг, равносторонний треугольник. В ходе выполнения исследовательской работы я выяснила, что действительно существует «формула красоты», которая не является выдумкой человека. Скорее всего, это закон природы. В наибольшей степени определение «формула красоты» подходит к понятию «золотая пропорция». Эта пропорция обладает наиболее отчетливыми признаками гармоничности прекрасного. Золотая пропорция не только является господствующей во многих произведениях искусства, она определяет закономерности развития многих организмов, её присутствие отмечают почвоведы, химики, биологи, геологи, математики, астрономы.

Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. При наблюдении совершенных форм, в которых соблюдаются пропорции золотого сечения между размерами отдельных частей растений, скульптуры, здания человек испытывает эстетическое наслаждение. Золотое сечение являлось критерием гармонии и красоты ещё во времена Пифагора и является настоящей формулой красоты в настоящее время. Понять это мне помогла математика. Математика является не только стройной системой законов, теорем, задач, но и уникальным средством познания красоты. Аристотель говорил:«В наслаждении красотою есть элемент наслаждения мышлением».

Анализируя выполнение поставленных задач, можно сказать следующее:

В ходе исследования дано определение «красивой» математической задачи, проведена классификация таких задач по определенным признакам, а именно:

Задачи, «красивые» по решению

Задачи, «красивые» по содержанию

Задачи, «красивые» по чертежу

«Красивые» олимпиадные задачи.

Список литературы и Интернет-ресурсов

«Красивые» задачи –

ключ к пониманию изящества математики

Человек немыслим без такого качества, как восприятие мира в его красоте и гармонии. Поэтому сегодня одним из основных направлений развития школы является поворот обучения к человеку, его ценностному потенциалу.

Многие из учащихся считают математику строгой наукой, при изучении которой нет места эмоциям, хотя очень многие заинтересованы этим предметом.

Известно, что решение задачи – одно из основных средств математического развития школьников. Каждая математическая задача служит конкретным целям обучения, но основная её цель – развитие творческого и математического мышления, формирование и развитие эстетического вкуса. Еще Д. фон Нейман отмечал, что математика «движима почти исключительно эстетическими мотивами». Попытки раскрыть содержание понятий «чувство красоты», «красивая задача» предпринимаются многими математиками.

Например, Г. Биркгоф дал интересную характеристику эстетической

привлекательности математического объекта:

где М – мера красоты,

С – мера усилий, затрачиваемых для понимания сущности объекта.

Из этой формулы следует, что для ученика красивыми математическими объектами будут те, восприятие которых сопряжено с наименьшими усилиями с его стороны. Эстетическая мера объекта будет увеличиваться с упорядочиванием структуры.

Многие планиметрические задачи напрямую связаны с понятием «красивая», то есть «доставляющая наслаждение, приятная внешним видом, гармоничностью, стройностью». Восприятие эстетической стороны такой задачи начинается с условия и чертежа.

Например, задача построения с помощью циркуля фигуры, изображенной

привлекает внимание обучающихся прежде всего условием (красивый узор). Но затем они начинают фантазировать на данную тему, и у них получаются оригинальные узоры, построение которых возможно лишь с помощью циркуля.

Решение «красивых» задач, мы считаем, должно быть наглядно, неожиданно, просто. Задачи, удовлетворяющие такому требованию, согласно нашим наблюдениям, неизменно вызывают интерес учащихся и побуждают их к поиску более коротких и простых путей решения, что способствует развитию креативности.

Изучив множество литературы, мы пришли к выводу, что «красивая» математическая задача должна отвечать определенным требованиям:

1) Условие задачи должно быть интересно; если задача геометрическая, то чертеж к ней – красивый.

2) Задача должна содержать нестандартный элемент, отличающий ее от большинства задач по данной теме, предлагаемых в учебниках. При этом нестандартность может проявляться как в самом условии, так и в методах решения. Особый интерес в этом смысле представляют задачи, имеющие несколько различных методов решения, и многовариантные задачи, имеющие несколько ответов (причем желательно, чтобы факт наличия нескольких ответов не был явно указан в формулировке условия).

3) Задача может устанавливать интересный факт, порой неожиданный.

4) 3адача должна быть доступна как по формулировке условия, так и по сложности и объему используемого в решении материала. Если сильные и слабые ученики окажутся при постановке проблемы в изначально неравных условиях, то предложенная задача потеряет долю своей прелести и «сработает» только на часть класса.

5) Желательно, чтобы в решении красивой задачи не использовались искусственные приемы, особенно если они известны части учеников (например, посещающим занятия-кружка или факультатива).

Наконец, основное: в решении задачи обязательно нужно спрятать «изюминку», чтобы оно было наглядно и удивительно просто. [8, с.1-3]

Учась в среднем звене и готовясь к математическим олимпиадам, мы сталкивались со множеством задач, среди которых были такие, которые отвечали данным требованиям и мы поняли, что их можно классифицировать на несколько групп:

1) «Красивые» задачи по решению; 2) «Красивые» задачи по чертежу;3) «Красивые» задачи по содержанию; 4) «Красивые» олимпиадные задачи.

Классификация красивых задач

«Красивые» задачи по содержанию

Некоторые «красивые» задачи привлекают учеников изюминкой, находящейся в содержании поставленной задачи. [9] Приведем пример:

Маленький Петя подпилил все ножки у квадратного табурета и четыре отпиленных кусочка потерял. Оказалось, что длины всех кусочков различны и что табурет после этого стоит на полу, пусть наклонно, но по-прежнему касаясь, пола всеми четырьмя концами ножек. Дедушка решил починить табурет, однако нашел только три кусочка с длинами 8, 9 и 10 см. Какой длины может быть четвертый кусочек?

Рис.10. Рисунок к задаче

Решение. Пусть А, В, С, D – концы исходных ножек табуретки, а А1, В1, С1, D1 – подпиленных. А1А + В1В = С1С + D1D. Поскольку табуретка стоит, касаясь пола четырьмя ножками, то точки А1, В1, С1 и D1 лежат в одной плоскости. Табуретка квадратная, значит, плоскости АВА1В1 и СDС1D1 параллельны. Следовательно, А1В1 // С1D1. Аналогично,

Теперь переберем возможные длины отпиленной части, расположенной по диагонали от потерянной. При этом получим, что длина отпиленной части удовлетворяет одному из равенств:

8+x=9+10, 9+x=8+10, 10+x=8+9, x=7, x=9,x=11.

Поскольку длины всех кусков различны, =9, и остаются только варианты 7 и 11.

«Красивые» задачи по чертежу

Задачи на построение чертежей, вызывают интерес именно условием (красивый чертеж). Поэтому учащиеся начинают фантазировать на данную тему, и у них получаются оригинальные чертежи.

Зигзаг разделил правильный девятиугольник на треугольники, как показано на рисунке. Какая часть площади больше: закрашенная или не закрашенная?

Рис.11. Рисунок к задаче

Решение. Проведем в девятиугольнике еще несколько диагоналей.

Рис.12. Рисунок к задаче

Девятиугольник разбился на 13 треугольников. На рисунке образовалось много параллелограммов и трапеций с диагоналями. Расставим номера треугольников, причем одинаковым номером отметим равные треугольники разных цветов. 12 из них разбились на пары, а тринадцатому, который оказался закрашенным, пары не хватило. Значит, закрашенная часть площади девятиугольника больше его незакрашенной части.

«Красивые» задачи по решению

Нестандартность решения может проявляться и в методах решения. Особый интерес в этом смысле представляют задачи, имеющие несколько различных методов решения, и многовариантные задачи, имеющие несколько ответов (причем желательно, чтобы факт наличия нескольких ответов не был явно указан в формулировке условия).

Дан острый угол А, вершина которого недоступна (находится за пределами чертежа). Постройте биссектрису данного угла.

Эту задачу можно решить, как минимум, тремя способами, каждый из которых по-своему красив.

Способ 1 опирается на тот факт, что три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Взяв две произвольные точки В и С на сторонах данного угла, получим треугольник АВС (с одной недоступной вершиной), две биссектрисы которого можно построить. Точка пересечения этих биссектрис лежит на искомой биссектрисе. Аналогично можно найти и вторую точку.

Рис.13. Рисунок к задаче

Способ 2 использует свойство углов с соответственно параллельными сторонами: проведя на равных расстояниях от сторон данного угла прямые А1В1и А1С1, параллельные соответственно сторонам АВ и АС, так чтобы точка их пересечения лежала внутри угла, получим угол В1А1С1, равный данному. Очевидно, что биссектриса В1А1С1 лежит на искомой биссектрисе угла ВАС.

Рис.14. Рисунок к задаче

«Красивые» олимпиадные задачи

Олимпиадные задачи всегда пользовались успехом у учеников 5-11 классов, приведем пример «красивой» олимпиадной задачи.

Дана белая доска размером 100*100 клеток. Двое по очереди красят ее клетки в черный цвет, причем первый всегда закрашивает квадрат 2*2, а второй—три клетки, образующие «уголок». Уже покрашенную клетку второй раз красить нельзя. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре: первый или второй?

Рис.15. Рисунок к задаче

Решение. В одном из углов доски второй игрок своим первым ходом закрашивает три клетки в прямоугольнике 2×3, а три оставшиеся клетки из этого прямоугольника объявляет резервом. В дальнейшем второй игрок делает все возможные ходы, не затрагивая резерва. Если такой ход становится невозможным, то закрашиваются клетки резерва. Ясно, что ответного хода у первого игрока нет.

Самая известная формула в математике

Формула Эйлера названа самой знаменитой формулой в математике, в которой используются все основные математические константы.

e — это число Эйлера и основание натурального алгоритма.

π — число PI, отношение длины окружности к ее диаметру.

0 — нейтральным элементом или аддитивная единица.

1 — положительное число, которое равно своему обратному

Тождество Эйлера было названо «самой красивой теоремой в математике» во время опроса проведенного в 1990 году. Уравнение Эйлера было названо «великим уравнения истории» в ходе опроса, проведенного Physics World в 2004 году. [10]

Многие видели в этой формуле символ единства всей математики, ибо в ней «:

1 представляет арифметику;

i — алгебру;

π — геометрию;

e — анализ.»

Опрос по выбору прямоугольника

В опросе участвовало 56 респондентов.

Цель опроса: определить какой из прямоугольников больше «радует глаз или разум».

Гипотеза: большинство респондентов должны выбрать прямоугольник, стороны которого находятся в золотом отношении (т.е. №5

Группе респондентов были представлены 8 прямоугольников. Коэффициенты φ которых соответственно равны:

Задача респондентов выбрать любой один понравившийся прямоугольник.

Рис. 16. Гистограмма ответов на 1 вопрос

Вывод: на самом деле прямоугольник со сторонами в золотом отношении более понравился респондентам, не жале другие прямоугольники

Опрос по выбору треугольника

В опросе участвовало 37 респондентов.

Цель опроса: определить какой из равнобедренных треугольников больше «радует глаз или разум».

Гипотеза: большинство респондентов должны выбрать треугольник, стороны которого находятся в золотом отношении (т.е. №1 или №4)

Группе респондентов были представлены 7 равнобедренных треугольников. Углы при вершине которых соответственно равны:

Задача респондентов выбрать любой один понравившийся треугольник.

Рис. 17. Гистограмма ответов на 2 вопрос

Вывод: в принципе большинство треугольников были оценены одинаково, но треугольник с углом при вершине 108 градусов не устроил большинство респондентов. А лидером по опросу стал равносторонний треугольник.

Опрос по выбору листьев деревьев

В опросе участвовало 37 респондентов.

Цель опроса: определить какой из листьев деревьев больше «радует глаз или разум».

Гипотеза: большинство респондентов должны выбрать лист клена, (т.е. №1или №6)

Группе респондентов были представлены 6 листьев различных деревьев.

Задача респондентов выбрать любой один понравившийся листочек.

Рис. 18. Гистограмма ответов на 3 вопрос

Вывод: большинство респондентов выбрали как раз листья деревьев клена и папоротника.

Рис. 19. Фотографии проведения опроса

В опросе участвовало 21 респондент.

Вопрос: Какие ощущения у вас возникают, когда вам задают сложную задачу?

Какие чувства у вас возникаю после ее решения? (при условии, что вы ее решили)

По первому вопросу

Рис. 20. Гистограммы ответов на 1 вопрос

По второму вопросу:

Рис. 21. Гистограммы ответов на 2 вопрос

Вывод: в большинстве случаев у учащихся вызывает страх и опасение.

Источник