Теле́сный у́гол — часть пространства, которая является объединением всех лучей, выходящих из данной точки (вершины угла) и пересекающих некоторую поверхность (которая называется поверхностью, стягивающей данный телесный угол). Частными случаями телесного угла являются трёхгранные и многогранные углы. Границей телесного угла является некоторая коническая поверхность.
Телесный угол измеряется отношением площади той части сферы с центром в вершине угла, которая вырезается этим телесным углом, к квадрату радиуса сферы:
Очевидно, телесные углы измеряются отвлечёнными (безразмерными) величинами. Единицей измерения телесного угла в системе СИ является стерадиан, равный телесному углу, вырезающему из сферы радиуса поверхность с площадью . Полная сфера образует телесный угол, равный стерадиан (полный телесный угол), для вершины, расположенной внутри сферы, в частности, для центра сферы; таким же является телесный угол, под которым видна любая замкнутая поверхность из точки, полностью охватываемой этой поверхностью, но не принадлежащей ей. Кроме стерадианов, телесный угол может измеряться в квадратных градусах, квадратных минутах и квадратных секундах, а также в долях полного телесного угла.
Телесный угол имеет нулевую физическую размерность.
Обозначается телесный угол обычно буквой .
Двойственный телесный угол к данному телесному углу определяется как угол, состоящий из лучей, образующих с любым лучом угла неострый угол.
Коэффициенты пересчёта единиц телесного угла.
Стерадиан
Кв. градус
Кв. минута
Кв. секунда
Полный угол
1 стерадиан =
1
(180/π)² ≈ ≈ 3282,806 кв. градусов
(180×60/π)² ≈ ≈ 1,1818103·10 7 кв. минут
(180×60×60/π)² ≈ ≈ 4,254517·10 10 кв. секунд
1/4π ≈ ≈ 0,07957747 полного угла
1 кв. градус =
(π/180)² ≈ ≈ 3,0461742·10 −4 стерадиан
1
60² = = 3600 кв. минут
(60×60)² = = 12 960 000 кв. секунд
π/(2×180)² ≈ ≈ 2,424068·10 −5 полного угла
1 кв. минута =
(π/(180×60))² ≈ ≈ 8,461595·10 −8 стерадиан
1/60² ≈ ≈ 2,7777778·10 −4 кв. градусов
1
60² = = 3600 кв. секунд
π/(2×180×60)² ≈ ≈ 6,73352335·10 −9 полного угла
1 кв. секунда =
(π/(180×60×60))² ≈ ≈ 2,35044305·10 −11 стерадиан
1/(60×60)² ≈ ≈ 7,71604938·10 −8 кв. градусов
1/60² ≈ ≈ 2,7777778·10 −4 кв. минут
1
π/(2×180×60×60)² ≈ ≈ 1,87042315·10 −12 полного угла
Полный угол =
4π ≈ ≈ 12,5663706 стерадиан
(2×180)²/π ≈ ≈ 41252,96125 кв. градусов
(2×180×60)²/π ≈ ≈ 1,48511066·10 8 кв. минут
(2×180×60×60)²/π ≈ ≈ 5,34638378·10 11 кв. секунд
1
Содержание
Вычисление телесных углов
Для произвольной стягивающей поверхности телесный угол , под которым она видна из начала координат, равен
где — сферические координаты элемента поверхности — его радиус-вектор, — единичный вектор, нормальный к
Свойства телесных углов
Величины некоторых телесных углов
где — смешанное произведение данных векторов, — скалярные произведения соответствующих векторов, полужирным шрифтом обозначены векторы, нормальным шрифтом — их длины. Используя эту формулу, можно вычислять телесные углы, стянутые произвольными многоугольниками с известными координатами вершин (для этого достаточно разбить многоугольник на непересекающиеся треугольники).
См. также
Полезное
Смотреть что такое «Телесный угол» в других словарях:
ТЕЛЕСНЫЙ УГОЛ — часть пространства, ограниченная конической поверхностью. Телесный угол измеряют площадью вырезаемой им части сферы единичного радиуса с центром в вершине угла. Единицей телесного угла в СИ является (см.) … Большая политехническая энциклопедия
телесный угол — пространственный угол — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом Синонимы пространственный угол EN solid angle … Справочник технического переводчика
ТЕЛЕСНЫЙ УГОЛ — ТЕЛЕСНЫЙ УГОЛ, пространственный угол, образованный в центре сферы ВЕРШИНОЙ КОНУСА, основание которого находится на поверхности сферы. Телесные углы измеряются в стерадианах и определяются как отношение поверхности, занимаемой основанием конуса, к … Научно-технический энциклопедический словарь
ТЕЛЕСНЫЙ УГОЛ — часть пространства, ограниченная некоторой конической поверхностью, в частности трехгранный и многогранный углы ограничены соответственно тремя и многими плоскими гранями, сходящимися в вершине телесного угла. Единицу измерения телесного угла… … Большой Энциклопедический словарь
ТЕЛЕСНЫЙ УГОЛ — часть пространства, ограниченная некоторой конической поверхностью, в частности трехгранный и многогранный углы ограничены соответственно тремя и многими плоскими гранями, сходящимися в вершине телесного угла. Единицу измерения телесного угла… … Большой Энциклопедический словарь
телесный угол, — 3.36 телесный угол, (ср) (solid angle): Телесный угол с его вершиной в центре сферы радиуса r есть отношение площади А, вырезаемой этим углом на поверхности сферы, на квадрат радиуса (см. рисунок 3) Ω = A/r2. Полный телесный угол равен 4p ср.… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
Телесный угол — часть пространства, ограниченная некоторой конической поверхностью (рис., 1); частными случаями Т. у. являются трёхгранные и многогранные углы. Т. у. измеряется отношением площади S той части сферы с центром в вершине конической… … Большая советская энциклопедия
ТЕЛЕСНЫЙ УГОЛ — часть пространства, огранич. нек рой коннч. поверхностью (см. рис.), в частности 3 гранный и многогранный углы части пространства, огранич. тремя или более плоскостями, проходящими через одну точку (вершину Т. у.). Значение Т. у. равно отношению… … Большой энциклопедический политехнический словарь
телесный угол — erdvinis kampas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. solid angle; space angle; spatial angle vok. körperlicher Winkel, m; Raumwinkel, m rus. пространственный угол, m; телесный угол, m pranc. angle solide, m … Fizikos terminų žodynas
телесный угол — часть пространства, ограниченная некоторой конической поверхностью (рис. 1); в частности, трёхгранный (рис. 2) и многогранный (рис. 3) углы ограничены соответственно тремя и многими плоскими гранями, сходящимися в вершине телесного угла. Единицу… … Энциклопедический словарь
Смотреть что такое «Телесный угол» в других словарях:
Телесный угол — Телесный угол часть пространства, которая является объединением всех лучей, выходящих из данной точки (вершины угла) и пересекающих некоторую поверхность (которая наз … Википедия
ТЕЛЕСНЫЙ УГОЛ — часть пространства, ограниченная конической поверхностью. Телесный угол измеряют площадью вырезаемой им части сферы единичного радиуса с центром в вершине угла. Единицей телесного угла в СИ является (см.) … Большая политехническая энциклопедия
телесный угол — пространственный угол — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом Синонимы пространственный угол EN solid angle … Справочник технического переводчика
ТЕЛЕСНЫЙ УГОЛ — ТЕЛЕСНЫЙ УГОЛ, пространственный угол, образованный в центре сферы ВЕРШИНОЙ КОНУСА, основание которого находится на поверхности сферы. Телесные углы измеряются в стерадианах и определяются как отношение поверхности, занимаемой основанием конуса, к … Научно-технический энциклопедический словарь
ТЕЛЕСНЫЙ УГОЛ — часть пространства, ограниченная некоторой конической поверхностью, в частности трехгранный и многогранный углы ограничены соответственно тремя и многими плоскими гранями, сходящимися в вершине телесного угла. Единицу измерения телесного угла… … Большой Энциклопедический словарь
ТЕЛЕСНЫЙ УГОЛ — часть пространства, ограниченная некоторой конической поверхностью, в частности трехгранный и многогранный углы ограничены соответственно тремя и многими плоскими гранями, сходящимися в вершине телесного угла. Единицу измерения телесного угла… … Большой Энциклопедический словарь
телесный угол, — 3.36 телесный угол, (ср) (solid angle): Телесный угол с его вершиной в центре сферы радиуса r есть отношение площади А, вырезаемой этим углом на поверхности сферы, на квадрат радиуса (см. рисунок 3) Ω = A/r2. Полный телесный угол равен 4p ср.… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
ТЕЛЕСНЫЙ УГОЛ — часть пространства, огранич. нек рой коннч. поверхностью (см. рис.), в частности 3 гранный и многогранный углы части пространства, огранич. тремя или более плоскостями, проходящими через одну точку (вершину Т. у.). Значение Т. у. равно отношению… … Большой энциклопедический политехнический словарь
телесный угол — erdvinis kampas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. solid angle; space angle; spatial angle vok. körperlicher Winkel, m; Raumwinkel, m rus. пространственный угол, m; телесный угол, m pranc. angle solide, m … Fizikos terminų žodynas
телесный угол — часть пространства, ограниченная некоторой конической поверхностью (рис. 1); в частности, трёхгранный (рис. 2) и многогранный (рис. 3) углы ограничены соответственно тремя и многими плоскими гранями, сходящимися в вершине телесного угла. Единицу… … Энциклопедический словарь
Пусть L – некоторая замкнутая плоская линия, не имеющая самопересечений, S – некоторая точка, не принадлежащая плоскости, в которой лежит линия L (рис. 5.1).
Телесным углом Wназывается объединение всех лучей, имеющих общее начало в точке S и пересекающих часть плоскости,ограниченную линией L. Точка S называется вершиной телесного угла.
Телесный угол измеряется площадью поверхности, вырезаемой телесным углом на сфере радиуса R с центром в вершине телесного угла. Единица измерения телесного угла называется стерадиан (стер).
Один стерадиан – это такой телесный угол, который вырезает на поверхности сферы радиусом R фигуру площадью, равной R 2 (рис. 5.2).
Чтобы измерить телесный угол, надо: 1) мысленно начертить сферу радиуса R с центром в вершине телесного угла; 2) найти площадь поверхности Ds, которую вырежет на сфере телесный угол; 3) вычислить телесный угол по формуле
(стер).
Пример 1.Полный телесный угол, охватывающий все пространство, равен
Wполн =
Площадь поверхности сферы
= (стер).
R 2
Пример 2. Частным случаем телесного угла является трехгранный угол, образованный в результате пересечения трех координатных плоскостей прямоугольной системы координат Охуz (рис. 5.3). Найдем этот угол.
Пересечем этот телесный угол сферой радиуса R с центром в точке О. Поверхность сферы, вырезанная трехгранным углом, составляет сферы. Тогда
;
(стер).
Пример 3.Конус с углом a при вершине и образующей R образует телесный угол W. Найдем этот угол.
Пересечем конус сферой с центром в точке S и радиусом R. Тогда основание конуса будет прикрыто сферической «крышкой» – такая часть сферы называется сферическим сегментом.
Площадь поверхности сферического сегмента Ds = 2prH, где
– радиус основания сегмента (рис. 5.4).
;
(стер).
Проверим правильность формулы:
1) пусть a = 0, тогда W = 0 (верно!);
2) пусть a = p (рис. 5.5), тогда
(стер) (верно!).
Заметим, что в задачах с симметрией удобно искать телесный угол как часть полного телесного угла, равного 4p (стер).
Пример 4. Найдем телесный угол, под которым видна из некоторой точки бесконечная плоскость. Ясно, что если плоскость бесконечна, то
.
Пример 5. Найдем телесный угол, под которым видна из центра куба одна его грань (рис. 5.6). Ясно, что все шесть граней «видны» под полным углом, поэтому
Телесный угол объекта в стерадианах равен площади сегмента единичной сферы с центром в вершине, которую покрывает объект. Телесный угол в стерадианах равен площади сегмента единичной сферы точно так же, как плоский угол в радианах равен длине дуги единичной окружности ; следовательно, точно так же, как плоский угол в радианах представляет собой отношение длины дуги окружности к ее радиусу, телесный угол в стерадианах представляет собой следующее отношение:
Телесный угол для произвольно ориентированной поверхности S, обращенной в точку P, равен телесному углу проекции поверхности S на единичную сферу с центром P, который может быть вычислен как поверхностный интеграл :
Конус, сферическая крышка, полусфера
Вышеупомянутое находится путем вычисления следующего двойного интеграла с использованием элемента единичной поверхности в сферических координатах :
Следовательно, для единичной сферы телесный угол сферической крышки задается как
Телесный угол дополнения конуса равен
Это также телесный угол той части небесной сферы, которую астрономический наблюдатель, находящийся на широте θ, может видеть во время вращения Земли. На экваторе видна вся небесная сфера; на любом полюсе только одна половина.
Телесный угол, образованный сегментом сферической крышки, разрезанной плоскостью под углом γ от оси конуса и проходящей через вершину конуса, можно рассчитать по формуле [2]
Тетраэдр
Это следует из теории сферического избытка и приводит к тому, что существует аналогичная теорема теорема о том, что «сумма внутренних углов плоского треугольника равна π » для суммы четырех внутренних телесных углов тетраэдр следующим образом:
| а → б → c → | знак равно а → ⋅ ( б → × c → ) <\ displaystyle \ left | <\ vec > \ <\ vec > \ <\ vec > \ right | = <\ vec > \ cdot (<\ vec > \ times <\ vec >)>
Пирамида
Телесный угол четырехгранной прямоугольной пирамиды с углами при вершине a и b ( двугранные углы, измеренные по отношению к противоположным боковым граням пирамиды) равен
Если известны длины сторон ( α и β ) основания пирамиды и расстояние ( d ) от центра базового прямоугольника до вершины пирамиды (центра сферы), то приведенное выше уравнение может манипулировать, чтобы дать
Прямоугольник широты и долготы
Телесный угол прямоугольника широты и долготы на глобусе равен
Солнце и Луна
Аналог векторной формулы в произвольной размерности был получен Аомото [10] [11] и независимо Рибандо. [12] Он выражает их как бесконечный многомерный ряд Тейлора:
Телесный угол объекта в стерадианах равен площади сегмента единичной сферы с центром в вершине, которую покрывает объект. Телесный угол в стерадианах равен площади сегмента единичной сферы точно так же, как плоский угол в радианах равен длине дуги единичной окружности ; следовательно, точно так же, как плоский угол в радианах представляет собой отношение длины дуги окружности к ее радиусу, телесный угол в стерадианах представляет собой следующее отношение:
Телесный угол сферы, измеренный из любой точки внутри нее, равен 4 π ср, а телесный угол, образуемый одной из граней куба в центре куба, составляет одну шестую этого, или 2 π / 3 SR. Телесные углы также могут быть измерены в квадратных градусах (1 ср = ( 180 / π ) 2 квадратных градуса), в квадратных минутах и квадратных секундах или в долях сферы (1 ср = 1 / 4 π дробная площадь), также известный как spat (1 sp = 4 π sr).
Практическое применение
Телесные углы для обычных объектов
Конус, сферическая крышка, полусфера
Вышеупомянутое находится путем вычисления следующего двойного интеграла с использованием элемента единичной поверхности в сферических координатах :
Следовательно, для единичной сферы телесный угол сферической крышки задается как
Телесный угол дополнения конуса равен
Это также телесный угол той части небесной сферы, которую астрономический наблюдатель, находящийся на широте θ, может видеть во время вращения Земли. На экваторе видна вся небесная сфера; на любом полюсе только одна половина.
Телесный угол, образованный сегментом сферической крышки, разрезанной плоскостью под углом γ от оси конуса и проходящей через вершину конуса, можно рассчитать по формуле
Тетраэдр
Это следует из теории сферического избытка и приводит к тому, что существует аналогичная теорема теореме о том, что «сумма внутренних углов плоского треугольника равна π » для суммы четырех внутренних телесных углов тетраэдр следующим образом:
где проходит по всем шести двугранным углам между любыми двумя плоскостями, содержащими тетраэдрические грани OAB, OAC, OBC и ABC. ϕ я <\ displaystyle \ phi _ <я>>
| а → б → c → | знак равно а → ⋅ ( б → × c → ) <\ displaystyle \ left | <\ vec > \ <\ vec > \ <\ vec > \ right | = <\ vec > \ cdot (<\ vec > \ times <\ vec >)>
Пирамида
Телесный угол четырехгранной прямоугольной пирамиды с углами при вершине a и b ( двугранные углы, измеренные по отношению к противоположным боковым граням пирамиды) равен
Если известны длины сторон ( α и β ) основания пирамиды и расстояние ( d ) от центра базового прямоугольника до вершины пирамиды (центра сферы), то приведенное выше уравнение может манипулировать, чтобы дать
Прямоугольник широты и долготы
Телесный угол прямоугольника широты и долготы на глобусе равен
Небесные объекты
Телесные углы произвольных размеров
Аналог векторной формулы в произвольной размерности был получен Аомото и независимо Рибандо. Он выражает их как бесконечный многомерный ряд Тейлора:
поверхность с площадью 
. Полная сфера образует телесный угол, равный 
стерадиан (полный телесный угол), для вершины, расположенной внутри сферы, в частности, для центра сферы; таким же является телесный угол, под которым видна любая замкнутая поверхность из точки, полностью охватываемой этой поверхностью, но не принадлежащей ей. Кроме стерадианов, телесный угол может измеряться в квадратных градусах, квадратных минутах и квадратных секундах, а также в долях полного телесного угла.
.
телесный угол 
, под которым она видна из начала координат, равен
— сферические координаты элемента поверхности 
— его радиус-вектор, 
— единичный вектор, нормальный к 
— смешанное произведение данных векторов, 
— скалярные произведения соответствующих векторов, полужирным шрифтом обозначены векторы, нормальным шрифтом — их длины. Используя эту формулу, можно вычислять телесные углы, стянутые произвольными многоугольниками с известными координатами вершин (для этого достаточно разбить многоугольник на непересекающиеся треугольники).
ограниченную линией L. Точка S называется вершиной телесного угла.
(стер).
(стер).
Пример 2. Частным случаем телесного угла является трехгранный угол, образованный в результате пересечения трех координатных плоскостей прямоугольной системы координат Охуz (рис. 5.3). Найдем этот угол.
сферы. Тогда
;
(стер).
Пересечем конус сферой с центром в точке S и радиусом R. Тогда основание конуса будет прикрыто сферической «крышкой» – такая часть сферы называется сферическим сегментом.
;
(стер).
Проверим правильность формулы:
(стер) (верно!).
.
Пример 5. Найдем телесный угол, под которым видна из центра куба одна его грань (рис. 5.6). Ясно, что все шесть граней «видны» под полным углом, поэтому
.
