в чем измеряется момент импульса

На орбите момент импульса распределяется между моментами импульса собственного вращения планеты и её орбитального движения:

Импульс момента силы

От момента импульса нужно отличать импульс момента силы. Во вращательном движении момент силы, действуя в течение определённого времени, создаёт импульс момента силы (единица измерения — Н·м·с). Импульс момента силы — это мера воздействия момента силы относительно данной оси за данный промежуток времени (во вращательном движении):

\mathbf = \int\limits_^t \mathbf \times \mathbf(t) \;dt.

Момент импульса в электродинамике

При описании движения заряженной частицы в электромагнитном поле канонический импульс p не является инвариантным. Как следствие, канонический момент импульса \mathbf = \mathbf \times \mathbf

тоже не инвариантен. Тогда берем реальный импульс, который также называется «кинетическим импульсом»:

\mathbf

-\frac ,

где e — электрический заряд, c — скорость света, A — векторный потенциал. Таким образом, гамильтониан (инвариантный) заряженной частицы массы m в электромагнитном поле:

где \varphi — скалярный потенциал. Из этого потенциала следует закон Лоренца. Инвариантный момент импульса, или «кинетический момент импульса», определяется следующим образом:

K= \mathbf \times \left( \mathbf

-\frac \right).

Момент импульса в квантовой механике

Оператор момента

Математически полный момент импульса в квантовой механике определяется как оператор физической величины из суммы двух частей, связанных с пространственным движением — в атомной физике такой момент называют орбитальным, и внутренним спином частицы — соответственно, спиновым. Первый оператор действует на пространственные зависимости волновой функции:

где \hat<\mathbf> и \hat<\mathbf

> — координатный и импульсный оператор, соответственно, а второй — на внутренние, спиновые. В частности, для одной частицы без электрического заряда и без спина, оператор углового момента может быть записан как:

где \nabla — оператор набла. Это часто встречающаяся форма оператора момента импульса, но не самая главная, она имеет следующие свойства:

[L_i,\; L_j ] = i \hbar \varepsilon_ L_k, \quad\left[L_i,\; \mathbf^2 \right] = 0,

и даже более важные подстановки с гамильтонианом частицы без заряда и спина:

\left[L_i,\; H \right] = 0.

Симметрия вращения

Операторы момента импульса обычно встречаются при решении задач сферической симметрии в сферических координатах. Тогда момент импульса в пространственном отображении:

Когда находят собственные значения этого оператора, получают следующее:

L^2 \mid l,\; m \rang = <\hbar>^2 l(l+1) \mid l,\; m \rang, L_z \mid l,\; m \rang = \hbar m \mid l,\; m \rang,

Вычисление момента импульса в нерелятивистской механике

\mathbf = \mathbf \times m\mathbf,

Чтобы рассчитать момент импульса тела, его надо разбить на бесконечно малые кусочки и векторно просуммировать их моменты как моменты импульса материальных точек, то есть взять интеграл:

Можно переписать это через плотность \rho :

(Если считать, что \rho(x,y,z) — обобщенная функция, включающая, возможно, и дельтообразные члены, то последняя формула применима и к распределенным, и к дискретным системам).

Для систем, совершающих вращение как целое (как абсолютно твёрдое тело) вокруг одной из осей симметрии (или, в более общем виде — вокруг так называемых главных осей инерции тела), справедливо соотношение

где I — момент инерции относительно оси вращения, \boldsymbol\omega — вектор угловой скорости.

В общем случае вектор момента связан с вектором угловой скорости через линейный оператор момента инерции (тензор инерции):

Источник

Момент импульса. Момент силы. Закон сохранения момента импульса. Изменение импульса.

Моме?нт и?мпульса (кинетический момент, угловой момент, орбитальный момент, момент количества движения) характеризует количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение.

Момент импульса материальной точки относительно точки O определяется векторным произведением
, где — радиус-вектор, проведенный из точки O, — импульс материальной точки.
Момент импульса материальной точки относительно неподвижной оси равен проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки O данной оси. Значение момента импульса не зависит от положения точки O на оси z.

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц, из которых состоит тело относительно оси. Учитывая, что , получим
.

Если сумма моментов сил, действующих на тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, равна нулю, то момент импульса сохраняется (закон сохранения момента импульса):
.

Производная момента импульса твердого тела по времени равна сумме моментов всех сил, действующих на тело:
.

Закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы тел относительно любой неподвижной точки не изменяется с течением времени.
Это один из фундаментальных законов природы.

Аналогично для замкнутой системы тел, вращающихся вокруг оси z:

отсюда или .

Если момент внешних сил относительно неподвижной оси вращения тождественно равен нулю, то момент импульса относительно этой оси не изменяется в процессе движения.
Момент импульса и для незамкнутых систем постоянен, если результирующий момент внешних сил, приложенных к системе, равен нулю.

Закон сохранения момента импульса вытекает из основного уравнения динамики вращательного движения тела, закрепленного в неподвижной точке (уравнение 4.8), и состоит в следующем:

— если результирующий момент внешних сил относительно неподвижной точки тождественно равен нулю, то момент импульса тела относительно этой точки с течением времени не изменяется.

(4.14)

Другими словами, момент импульса замкнутой системы с течением времени не изменяется.
Из основного закона динамики тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z (уравнение 4.13), следует закон сохранения момента импульса тела относительно оси:

— если момент внешних сил относительно неподвижной оси вращения тела тождественно равен нулю, то момент импульса тела относительно этой оси не изменяется в процессе движения, т.е. если M_z = 0, то dL_z / dt = 0, откуда

(4.15)

Закон сохранения момента импульса является фундаментальным законом природы. Справедливость этого закона обусловливается свойством симметрии пространства – его изотропностью, т.е. с инвариантностью физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчета.

Изменение импульса материальной точки вызывается действием на нее силы.

Умножая уравнение (1.7) слева векторно на радиус-вектор , Получаем

(1.8)

Где вектор называется Моментом импульса материальной точки, а вектор — Моментом силы. Изменение момента импульса материальной точки вызывается моментом действующей на нее силы.

Несколько тел, каждое из которых можно рассматривать как материальную точку, составляют Систему материальных точек. Для каждой материальной точки можно записать уравнение вто­рого закона Ньютона

(1.13)

В уравнении (1.13) индексы дают номер материальной точки. Действующие на материальную точку силы разделены на внеш­ние и внутренние . Внешние силы — это силы, действующие со стороны тел, не входящих в систему материальных точек. Вну­тренние силы — это силы, действующие на материальную точку со стороны других тел, составляющих систему материальных точек. Здесь — сила, действующая на материальную точку, индекс которой , со стороны материальной точки с номером .

Из уравнений (1.13) вытекают несколько важных законов. Если просуммируем их по всем материальным точкам системы, то по­лучим

Величина (1.15)

Называется Импульсом системы материальных точек. Импульс системы материальных точек равен сумме импульсов отдельных материальных точек. В уравнении (1.14) двойная сумма для вну­тренних сил обращается в нуль. Для каждой пары материальных точек в нее входят силы, которые по третьему закону Ньютона равны и противоположно направлены. Для каждой пары вектор­ная сумма этих сил обращается в нуль. Поэтому равна нулю и сумма для всех сил.

В результате получим:

(1.16)

Уравнение (1.16) выражает закон изменения импульса системы материальных точек. Изменение импульса системы материальных точек вызывается только внешними силами. Если на систему не действуют внешние силы, то импульс системы материальных то­чек сохраняется. Систему материальных точек, на которую не действуют внешние силы, называют Изолированной, или замкну­той, системой материальных точек.

Аналогичным образом для каждой материальной точки запи­сываются уравнения (1.8) моментов импульсов

(1.17)

При суммировании уравнений (1.17) по всем материальным точ­кам системы материальных точек сумма моментов внутренних сил обращается в нуль и получается Закон изменения момента импуль­са системы материальных точек:

(1.18)

Где введены обозначения: — момент импульса системы мате­риальных точек, — момент внешних сил. Изменение момен­та импульса системы материальных точек вызывается внешними силами, действующими на систему. Для замкнутой системы мате­риальных точек момент импульса сохраняется

.

Источник

Импульс и момент импульса в физике: формулы, описывающие закон сохранения этих величин

Задачи с движущимися телами в физике, когда скорость много меньше световой, решаются с помощью законов ньютоновской, или классической механики. В ней одним из важных понятий является импульс. Основные формулы импульса в физике приводятся в данной статье.

Импульс или количество движения?

Вам будет интересно: Ярославский политехнический университет (ЯГТУ): сведения, факты, поступление

Под количеством движения понимают произведение скорости перемещения тела на инерционный коэффициент, то есть на массу. Соответствующая формула имеет вид:

Вам будет интересно: Формулировка третьего закона Ньютона: примеры, связь с ускорением системы и с ее импульсом

Изменение величины p¯

Понятие о количестве движения в настоящее время используют реже, чем об импульсе. И связан этот факт непосредственно с законами ньютоновской механики. Запишем его в форме, которая приводится в школьных учебниках по физике:

Заменим ускорение a¯ на соответствующее выражение с производной скорости, получим:

Перенося dt из знаменателя правой части равенства в числитель левой, получаем:

Мы получили интересный результат: помимо того, что действующая сила F¯ приводит к ускорению тела (см. первую формулу этого пункта), она также изменяет количество его движения. Произведение силы на время, которое стоит в левой части, называется импульсом силы. Он оказывается равным изменению величины p¯. Поэтому последнее выражение называют также формулой импульса в физике.

Закон сохранения импульса

Формулы в физике, которые описывают сохранение величины p¯, могут быть приведены в нескольких вариантах. Прежде чем их записывать, ответим на вопрос о том, когда сохраняется импульс.

Обратимся к выражению из предыдущего пункта:

Оно говорит о том, что если сумма внешних сил, оказывающих воздействие на систему, равна нулю (закрытая система, F¯= 0), тогда dp¯= 0, то есть никакого изменения количества движения не будет происходить:

Это выражение является общим для импульса тела и закона сохранения импульса в физике. Отметим два важных момента, о которых следует знать, чтобы с успехом применять это выражение на практике:

Упругое и неупругое взаимодействие двух тел

Частным случаем использования формулы импульса в физике и его сохранения является движение двух тел, которые сталкиваются друг с другом. Рассмотрим два принципиально разных случая, о которых упоминалось в пункте выше.

m1*v1 + m2*v2 = m1*u1 + m2*u2

Здесь важно помнить, что знак скорости должен подставляться с учетом ее направления вдоль рассматриваемой оси (противоположные скорости имеют разные знаки). Эта формула показывает, что при условии известного начального состояния системы (величины m1, v1, m2, v2) в конечном состоянии (после столкновения) имеется две неизвестных (u1, u2). Найти их можно, если воспользоваться соответствующим законом сохранения кинетической энергии:

m1*v12 + m2*v22 = m1*u12 + m2*u22

m1*v1 + m2*v2 = (m1 + m2)*u

Как видно, речь идет всего об одной неизвестной (u), поэтому для ее определения достаточно этого одного равенства.

Импульс тела во время движения по окружности

Все, что было сказано выше об импульсе, относится к линейным перемещениям тел. Как быть в случае вращения объектов вокруг оси? Для этого в физике введено другое понятие, которое аналогично линейному импульсу. Оно называется моментом импульса. Формула в физике для него принимает следующий вид:

Закон сохранения L¯

Формула для L¯, которая приведена выше, является определением этой величины. На практике же предпочитают использовать несколько иное выражение. Не будем вдаваться в подробности его получения (это несложно, и каждый может проделать это самостоятельно), а приведем его сразу:

Если на вращающую систему не действуют никакие внешние силы (в действительности момент сил), то произведение I на ω¯ будет сохраняться независимо от процессов, происходящих внутри системы. То есть закон сохранения для L¯ имеет вид:

Примером его проявления является выступление спортсменов в фигурном катании, когда они совершают вращения на льду.

Источник