что будет если cos умножить на sin

Произведение косинусов, синусов и синуса на косинус

Формулы произведений косинусов cos(α)×cos(β), синусов sin(α)×sin(β) и синуса на косинус sin(α)×cos(β) можно выразить из четырех базовых формул — косинуса разности cos(α−β), косинуса суммы cos(α+β), синуса разности sin(α−β) и синуса суммы sin(α+β):

cos(α−β) = cos(α)×cos(β) + sin(α)×sin(β) (I) cos(α+β) = cos(α)×cos(β) − sin(α)×sin(β) (II) sin(α−β) = sin(α)×cos(β) − cos(α)×sin(β) (III) sin(α+β) = sin(α)×cos(β) + cos(α)×sin(β) (IV)

Эти четыре формулы вывести трудно, поэтому их проще запомнить. Но с их помощью можно вывести искомые тригонометрические тождества.

Произведение косинусов

Сложим базовые равенства I и II — косинус разности и косинус суммы:

cos(α−β) + cos(α+β) = = cos(α)×cos(β) + sin(α)×sin(β) + cos(α)×cos(β) − sin(α)×sin(β) = <одинаковые произведения синусов сокращаются>= cos(α)×cos(β) + cos(α)×cos(β) = 2×cos(α)×cos(β)

cos(α−β) + cos(α+β) = 2×cos(α)×cos(β)

В этом равенстве можно и левую и правую части поделить на 2 и поменять местами и получится искомое выражение для произведения косинусов:

cos(α)×cos(β) = [cos(α−β) + cos(α+β)] / 2,

т.е. произведение косинусов равно полусумме косинуса разности и косинуса суммы.

Произведение синусов

Воспользуемся базовыми формулами I и II — косинус разности и косинус суммы. Из равенства I вычтем равенство II:

cos(α−β) — cos(α+β) = = cos(α)×cos(β) + sin(α)×sin(β) — cos(α)×cos(β) + sin(α)×sin(β) = <одинаковые произведения косинусов сокращаются>= sin(α)×sin(β) + sin(α)×sin(β) = 2×sin(α)×sin(β)

cos(α−β) — cos(α+β) = 2×sin(α)×sin(β)

В этом равенстве можно левую и правую части поделить на 2 и поменять местами и получится искомое выражение для произведения синусов:

sin(α)×sin(β) = [cos(α−β) — cos(α+β)] / 2,

т.е. произведение синусов равно полуразности косинуса разности и косинуса суммы.

Произведение синуса на косинус

Сложим базовые равенства III и IV — синус суммы и синус разности:

sin(α−β) + sin(α+β) = = sin(α)×cos(β) − cos(α)×sin(β) + sin(α)×cos(β) + cos(α)×sin(β) = <одинаковые cos(α)×sin(β) сокращаются>= sin(α)×cos(β) + sin(α)×cos(β) = = 2×sin(α)×cos(β)

sin(α−β) + sin(α+β) = 2×sin(α)×cos(β)

В этом равенстве можно левую и правую части поделить на 2 и поменять местами и получится искомое выражение для произведения синуса на косинус:

sin(α)×cos(β) = [sin(α−β) + sin(α+β)] / 2,

т.е. произведение синуса на косинус равно полусумме синуса разности и синуса суммы.

Итоговые формулы произведения косинусов, синусов и синуса на косинус

cos(α)×cos(β) = [cos(α−β) + cos(α+β)] / 2 sin(α)×sin(β) = [cos(α−β) — cos(α+β)] / 2 sin(α)×cos(β) = [sin(α−β) + sin(α+β)] / 2

Эти формулы мы получили из четырех базовых формул: косинуса разности cos(α−β), косинуса суммы cos(α+β), синуса суммы sin(α−β) и синуса разности sin(α+β). И эти четыре равенства мы между собой складывали и вычитали.

Источник

Математика для блондинок

Страницы

суббота, 27 февраля 2010 г.

Что будет, если умножить косинус на синус?

8 комментариев:

Здравствуйте, Николай!
Скажите, а где в жизни, в какой отрасли, применяются правила синуса и косинуса?

В геодезии довольно часто используется. В технике и строительстве при расченах на нагрузки, действующие под углом. Наверное, ещё во многих областях. Скажу честно, в своей жизни я таких случаев не припомню. Причина? Есть типовые задачи и есть типовые решения. Тупо подставляешь данные и клацаешь по клавишам калькулятора. Возможно, иногда и синусы с косинусами попадались. Но ведь я знаю, что означают сочетания букв sin и cos и где их искать в калькуляторе)))

Где применяется синус и косинус.
Поучитесь на физ факе, вам раскажут)))
разделы физики:
— оптика
— механика
— кинематика (гармонические уравнения, разного рода коледания)
— электродинамика
— радиоэлетроника
— квантовая элетроника
— спектроскопия (всех видов)
и т.д.

применение этих разделов:
— все виды связи (телефония, интернет, спутниковое ТВ)
— радиоприборостроение (расчеты електрических схем)
— лазерные технологии (расчеты параметров лазерных систем)
— системы обнаружения чего угодно
и много много много много.

Да, физики знают, что с математикой нужно делать, в том числе с синусами и косинусами 🙂

Источник

Произведение синусов и косинусов: формулы, примеры

Приведем формулы произведения синуса на синус, косинуса на косинус и синуса на косинус.

Формулы произведения. Список

Приведем формулировки, а затем и сами формулы.

Для любых α и β справедливы формулы

Вывод формул

Вывод описанных выше формул проводится с помощью формул сложения и на основе свойства равенства. Согласно этому свойству, если левую и правую части верного равенства сложить соответственно с левой и правой частями другого верного равенста, то в результате получится еще одно верное равенство. Покажем вывод формул произведения.

Сначала запишем формулы косинуса суммы и косинуса разности:

Сложим эти равенства и получим:

Формула произведения косинусов доказана.

Перепишем формулу косинуса суммы следующим образом:

Таким образом, выведена формула произведения синусов.

Теперь возьмем формулу синуса суммы, формулу синуса разности, и сложим их левые и правые части

Формула произведения синуса на косинус выведена.

Примеры использования

Приведем примеры использования формул произведения синусов, косинусов и синусов на косинус при решении задач.

Теперь вычислим значение выражения, обратившись к таблице основных значений тригонометрических функций.

Таким образом, мы проверили формулу на практике и убедились, что формула справедлива.

Пример. Формулы произведения

Нужно sin 75 ° умножить на cos 15 ° и вычислить точное значение произведения.

Мы не располагаем точными значениями синуса и косинуса данных углов, однако можем вычислить точное значение произведения sin 75 ° · cos 15 ° c помощью формулы произведения синуса на косинус.

Также формулы произведения используются преобразования тригонометрических выражений.

Источник

Основные тригонометрические формулы и тождества sin, cos, tg, ctg

Основные тождества тригонометрии

Тригонометрические тождества дают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, позволяя выразить одну функцию через другую.

Эти тождества напрямую вытекают из определений единичной окружности, синуса (sin), косинуса (cos), тангенса (tg) и котангенса (ctg).

Формулы приведения

Формулы приведения позволяют переходить от работы с произвольными и сколь угодно большими углами к работе с углами в пределах от 0 до 90 градусов.

Формулы приведения являются следствием периодичности тригонометрических функций.

Тригонометрические формулы сложения

Формулы сложения в тригонометрии позволяют выразить тригонометрическую функцию суммы или разности углов через тригонометрические функции этих углов.

Тригонометрические формулы сложения

На основе формул сложения выводятся тригонометрические формулы кратного угла.

Формулы кратного угла: двойного, тройного и т.д.

Формулы половинного угла

Формулы половинного угла в тригонометрии являются следствием формул двойного угла и выражают соотношения между основными функциями половинного угла и косинусом целого угла.

Формулы половинного угла

Формулы понижения степени

Часто при расчетах действовать с громоздктми степенями неудобно. Формулы понижения степени позволяют понизить степень тригонометрической функции со сколь угодно большой до первой. Приведем их общий вид:

Общий вид формул понижения степени

Сумма и разность тригонометрических функций

Разность и сумму тригонометрических функций можно представить в виде произведения. Разложение на множители разностей синусов и косинусов очень удобно применять при решении тригонометрических уравнений и упрощении выражений.

Сумма и разность тригонометрических функций

Произведение тригонометрических функций

Формулы произведения тригонометрических функций

Универсальная тригонометрическая подстановка

Универсальная тригонометрическая подстановка

Источник

sin(a+b), cos(a+b), sin(a-b), cos(a-b). Формулы сложения в аргументе синуса и косинуса

Эти формулы позволяют:

• Вычислять значения тригонометрических функций нестандартных углов

• Легко и просто получать формулы двойного угла

Пример. Докажите тождество \(\sin⁡2x=2 \sin⁡x \cos⁡x\).
Решение. \(\sin⁡2x=\sin⁡(x+x)=\)\(\sin⁡x \cos⁡x+\cos⁡x \sin⁡x=2 \sin⁡x \cos⁡x\).

Пример. Докажите тождество \(\cos⁡2x=\cos^2⁡x-\sin^2⁡x\).
Решение. \(\cos⁡2x=\cos⁡(x+x)=\)\(\cos⁡x \cos⁡x-\sin⁡x \sin⁡x=\cos^2⁡x-\sin^2⁡x\).

• И даже формулы приведения:

Как запомнить формулы сложения

Как видите, формулы сложения достаточно полезны и их стоило бы хорошенько выучить. Однако с этим часто возникают трудности, т.к. они похожи и сложно запомнить их точно.

Тут мы дадим вам несколько подсказок и придуманное нами мнемоническое правило, благодаря которому вы через пять минут напишите все формулы верно, ничего не заучивая. Не верите? Давайте проверим!

[ исходная функция ]\(=\)[ функция1 ]·[ функция2 ] \(±\) [ функция3 ]·[ функция4 ]

— во-вторых, обратите внимание, что в каждой формуле все функции справа – разные. У нас есть две функции (\(sin\)⁡ и \(cos\)⁡) и два аргумента (\(x\) и \(y\), и из всего этого богатства получается четыре варианта:

Вот их мы и будем расставлять в окошки справа.
Тут же заметим, что у функций, стоящих в паре, всегда разные аргументы: \(x\) и \(y\).

— в-третьих, отметьте, что начало правой части формулы всегда такое же как начало левой части:

То есть, уже на данном этапе вы можете часть формулы сходу написать: нужен вам, например, косинус суммы – вы сразу пишете

\(\cos⁡(x+y)\)\(=\)\(\cos⁡x\)·[ функция2 ] \(±\) [ функция3 ]·[ функция4 ]

И осталось только определить, что будет стоять вместо знака вопроса (плюс или минус) да расставить в окошки оставшиеся три функции: \(\sin⁡x\), \(\sin⁡y\) и \(\cos⁡y\). Вот тут-то нам и приходит на помощь мнемоническое правило.

И осталось только определить, что будет стоять вместо знака вопроса (плюс или минус) да расставить в окошки оставшиеся три функции: \(\sin⁡x\), \(\sin⁡y\) и \(\cos⁡y\). Вот тут-то нам и приходит на помощь мнемоническое правило.

Звучит оно следующим образом: «косинусы закомплексованы и всё у них наперекосяк». Фраза дурацкая, странная и созвучная: «косинус-комплекс-косяк», поэтому сама по себе запоминается легко, а означает она следующее:

— косинусы закомплексованы: поэтому, когда мы пишем формулу для сумму или разности косинусов, справа косинусы «общаются» (в смысле, стоят рядом) только с косинусами. Соответственно, синусам остается «общаться» только с синусам. Таким образом, в получаемой нами формуле имеем:

— всё у них наперекосяк: то есть, у формул косинуса знак слева и справа – разный. В нашем случае слева плюс, значит справа ставим минус:

Давайте для отработки получим формулу разности в синусе (со всеми рассуждениями):

\(\sin⁡(x-y)=\sin x\)·[ функция2 ] \(±\) [ функция3 ]·[ функция4 ]

— закомплексованы у нас косинусы, но мы-то пишем формулу для синуса, а они вполне себе «общительные» – значит рядом с синусом будет стоят косинус, причем с другим аргументом (игреком):

— наперекосяк всё в жизни у косинусов, а у синусов всё стабильно, так что знак сохраняется:

Теперь попробуйте сами – еще раз просмотрите основные моменты статьи, а потом возьмите чистый лист и, никуда не подглядывая, напишите все формулы.
Ну как, получилось?

Источник