выпуклый четырехугольник что это такое
Четырёхугольники
Четырёхугольник — это выпуклый многоугольник с четырьмя углами и четырьмя сторонами. Четырёхугольник образуется замкнутой ломаной линией, состоящей из четырёх звеньев, и той частью плоскости, которая находится внутри ломаной.
Обозначение четырёхугольника составляют из букв, стоящих при его вершинах, называя их по порядку. Например, говорят или пишут: четырёхугольник ABCD :
В четырёхугольнике ABCD точки A, B, C и D — это вершины четырёхугольника, отрезки AB, BC, CD и DA — стороны.
Вершины, принадлежащие одной стороне, называются соседними, вершины, не являющиеся соседними, называются противолежащими:
В четырёхугольнике ABCD вершины A и B, B и C, C и D, D и A — соседние, а вершины A и C, B и D — противолежащие. Углы, лежащие при соседних вершинах, также называются соседними, а при противолежащих вершинах — противолежащими.
Стороны четырёхугольника также можно попарно разделить на соседние и противолежащие: стороны, имеющие общую вершину, называются соседними (или смежными), стороны, не имеющие общих вершин — противолежащими:
Если противолежащие вершины соединить отрезком, то такой отрезок будет называться диагональю четырёхугольника. Учитывая, что в четырёхугольнике есть всего две пары противолежащих вершин, то и диагоналей может быть всего две:
Виды четырёхугольников
Рассмотрим основные виды выпуклых четырёхугольников:
Свойства углов выпуклых четырёхугольников
У всех выпуклых четырёхугольников углы обладают следующими двумя свойствами:
Что такое выпуклый четырехугольник и как определить сумму его углов
Если на плоскости имеются четыре точки, из которых никакие три не принадлежит одной прямой, то их можно попарно соединить отрезками. В результате получится фигура с четырьмя углами, содержащая две диагонали, при пересечении которых получится выпуклый четырехугольник.
Существует несколько видов фигур с четырьмя углами, но не все они являются выпуклыми. Слева рисунок отображает выпуклый четырехугольник, все его внутренние точки находятся в одной полуплоскости относительно прямой l, на которой лежит сторона AD. Для среднего данное условие выполняется, но его нельзя считать выпуклым, потому что его стороны пересекаются. Такие четырехугольники называются самопересекающимися. Правый тоже не является выпуклым, так как две его точки B и C лежат в разных полуплоскостях относительно разбиения прямой l.
На основании вышесказанного дадим определение. Выпуклым четырехугольником называется фигура, состоящая из четырех точек и четырех отрезков, которые последовательно их соединяют. Главное условие: никакие три точки не должны одновременно лежать на одной прямой, а соединяющие отрезки пересекаться.
Виды выпуклых четырехугольников:
Перечисленные отношения между множествами фигур упрощают доказательства теорем (предложений, выражающих свойства). Например, если теорема доказана для параллелограмма (будет ли параллелограмм выпуклым? и т.д.), то она будет верна и для любого соответствующего подмножества фигур. Если же доказана более общая теорема для выпуклого четырехугольника, то она будет верна и для параллелограмма, и для трапеции.
Свойства
Если сумма углов равна 360, это следствие более общего случая – четырехугольника, не имеющего пересекающихся отрезков. Но для выпуклого обычно проводят отдельное и очень простое доказательство. Если внутри выпуклого четырехугольника провести диагональ, то она разобьет его на два треугольника. Как известно, сумма углов в треугольнике равна 180. Сложив все получившиеся углы, получаем величину 360.
Если взять средние точки всех сторон произвольного выпуклого четырехугольника и построить на них новый, то он окажется параллелограммом (Теорема Вариньона).
Доказательство на следующем фото. Выпуклый четырёхугольник ABCD имеет на каждой из сторон точку, делящую эту сторону пополам. Рассмотрим отрезок FG. Это средняя линия треугольника DAB, параллельная диагонали DB. Это следует из подобия треугольников DAB и FAG.
Аналогично проводятся рассуждения для треугольников DBC и EHC. Из чего следует параллельность DB и EH. Поскольку отрезки FG и EH параллельны диагонали DB, то и сами параллельны.
Аналогично доказывается, что отрезки FE и GH параллельны. Так как противолежащие стороны EFGH попарно параллельны, значит, это параллелограмм.
Обратите внимание! Теорема Вариньона справедлива для всех четырехугольников, невыпуклых и самопересекающихся. Если взять середины диагоналей, то можно построить еще два параллелограмма. Центры всех трех параллелограммов окажутся на одной прямой.
Если выпуклый четырёхугольник имеет свойство взаимной перпендикулярности своих диагоналей, то суммы квадратов его противоположных сторон у него равны. Это доказывается при помощи теоремы Пифагора, как показано на следующем чертеже:
Квадрат каждой из сторон выражается через сумму квадратов отрезков диагоналей, ограниченных вершинами и точкой пересечения. Для удобства мы обозначаем их малыми буквами латинского алфавита, совпадающими с названием вершин. Затем выписываем выражения для сумм квадратов противолежащих сторон:
В правой части каждого из выражений стоит одна и та же сумма слагаемых. Следовательно, равны и правые части между собой, что доказывает теорема.
Вписанные и описанные
Часто требуется проверить, не лежат ли вершины четырехугольника на окружности, или существует ли окружность, вписанная в 4-угольник. Центр описанной окружности находится в точке пересечения срединных перпендикуляров к сторонам, а центр вписанной – на пересечении биссектрис внутренних углов.
Если сумма противоположных углов составляет 180, то рядом с ними можно описать окружность, другими словами, существует окружность, на которой лежат все вершины четырехугольника. Его называют вписанным (подразумевается, что в окружность). Верно и обратное утверждение, то есть выраженное в теореме условие необходимое и достаточное.
Расчет площади
Площадь, которую имеет любой выпуклый четырёхугольник, равна половине произведения длин диагоналей на синус угла между ними. Докажем это правило.
Здесь опять поможет теорема Вариньона (мы имеем “большой” параллелограмм, о котором сразу не было сказано). Проведем прямые, параллельные диагоналям, через вершины A, B, C, D исходного прямоугольника. Мы получим параллелограмм EFGH. Его площадь равна сумме площадей параллелограммов AFBO, BGCO, CHDO, DEAO. Но каждый из перечисленных делится своей диагональю на пару треугольников с равными площадями. С другой стороны, в силу параллельности диагоналей ADCD сторонам внешнего параллелограмма, мы можем применить формулу площади:
Полезное видео
Подведем итоги
Фигуру, состоящую из четырех углов, можно часто увидеть в обычной жизни, такую форму обычно имеют земельные участки, здания, параллелограммы служат для построения векторных базисов на плоскости. Не случайно 4-угольники хорошо изучены и установлено большое число свойств, связанных с ними.
Понятие выпуклого четырехугольника, его свойства и признаки
Выпуклый четырехугольник — это фигура, состоящая из четырех сторон, соединенных между собой в вершинах, образующих вместе со сторонами четыре угла, при этом сам четырехугольник всегда находится в одной плоскости относительно прямой, на которой лежит одна из его сторон. Другими словами, вся фигура находится по одну сторону от любой из ее сторон.
Как видно, определение довольно легко запоминающееся.
Выпуклый четырехугольник
Основные свойства и виды
К выпуклым четырехугольникам можно отнести практически все известные нам фигуры, состоящие из четырех углов и сторон. Можно выделить следующие:
Это интересно: что микроэкономика изучает, кратко об основателях и основах науки.
Все эти фигуры объединяет не только то, что они четырехугольные, но и то, что они еще и выпуклые. Достаточно просто рассмотреть схему:
На рисунке изображена выпуклая трапеция. Тут видно, что трапеция находится на одной плоскости или по одну сторону от отрезка [AB]. Если провести аналогичные действия, можно выяснить, что и в случае со всеми остальными сторонами трапеция является выпуклой.
Является ли параллелограмм выпуклым четырехугольником?
Выше показано изображение параллелограмма. Как видно из рисунка, параллелограмм также является выпуклым. Если посмотреть на фигуру относительно прямых, на которых лежат отрезки AB, BC, CD и AD, то становится понятно, что она всегда находится на одной плоскости от этих прямых. Основными же признаками параллелограмма является то, что его стороны попарно параллельны и равны так же, как и противоположные углы равны между собой.
Теперь, представьте себе квадрат или прямоугольник. По своим основным свойствам они являются еще и параллелограммами, то есть все их стороны расположены попарно параллельно. Только в случае с прямоугольником длина сторон может быть разной, а углы прямые (равные 90 градусам), квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны и углы также прямые, а у параллелограмма длины сторон и углы могут быть разными.
В итоге, сумма всех четырех углов четырехугольника должна быть равна 360 градусам. Легче всего это определить по прямоугольнику: все четыре угла прямоугольника прямые, то есть равны 90 градусам. Сумма этих 90-градусных углов дает 360 градусов, другими словами, если сложить 90 градусов 4 раза, получится необходимый результат.
Свойство диагоналей выпуклого четырехугольника
Диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются. Действительно, это явление можно наблюдать визуально, достаточно взглянуть на рисунок:
На рисунке слева изображен невыпуклый четырехугольник или четырехсторонник. Как угодно. Как видно, диагонали не пересекаются, по крайней мере, не все. Справа изображен выпуклый четырехугольник. Тут уже наблюдается свойство диагоналей пересекаться. Это же свойство можно считать признаком выпуклости четырехугольника.
Другие свойства и признаки выпуклости четырехугольника
Конкретно по этому термину очень сложно назвать какие-то определенные свойства и признаки. Легче обособить по различным видам четырехугольников такого типа. Начать можно с параллелограмма. Мы уже знаем, что это четырехугольная фигура, стороны которой попарно параллельны и равны. При этом, сюда же включается свойство диагоналей параллелограмма пересекаться между собой, а также сам по себе признак выпуклости фигуры: параллелограмм находится всегда в одной плоскости и по одну сторону относительно любой из своих сторон.
Итак, известны основные признаки и свойства:
Далее рассмотрим каждый четырехугольник по отдельности.
Прямоугольник. Эта фигура имеет все те же свойства и признаки, что и параллелограмм, но при этом все углы его равны 90 градусам. Отсюда и название — прямоугольник.
Квадрат, тот же параллелограмм, но углы его прямые как у прямоугольника. Из-за этого квадрат в редких случаях называют прямоугольником. Но главным отличительным признаком квадрата помимо уже перечисленных выше, является то, что все четыре его стороны равны.
Трапеция — очень интересная фигура. Это тоже четырехугольник и тоже выпуклый. В этой статье трапеция уже рассматривалась на примере рисунка. Понятно, что она тоже выпуклая. Главным отличием, а соответственно признаком трапеции является то, что ее стороны могут быть абсолютно не равны друг другу по длине, а также ее углы по значению. При этом фигура всегда остается на одной плоскости относительно любой из прямых, которая соединяет любые две ее вершины по образующим фигуру отрезкам.
Ромб — не менее интересная фигура. Отчасти ромбом можно считать квадрат. Признаком ромба является тот факт, что его диагонали не только пересекаются, но и делят углы ромба пополам, а сами диагонали пересекаются под прямым углом, то есть, они перпендикулярны. В случае, если длины сторон ромба равны, то диагонали тоже делятся пополам при пересечении.
Дельтоиды или выпуклые ромбоиды (ромбы) могут иметь разную длину сторон. Но при этом все равно сохраняются как основные свойства и признаки самого ромба, так и признаки и свойства выпуклости. То есть, мы можем наблюдать, что диагонали делят углы пополам и пересекаются под прямым углом.
Сегодняшней задачей было рассмотреть и понять, что такое выпуклые четырехугольники, какие они бывают и их основные признаки и свойства. Внимание! Стоит напомнить еще раз, что сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360 градусам. Периметр фигур, например, равен сумме длин всех образующих фигуру отрезков. Формулы расчета периметра и площади четырехугольников будут рассмотрены в следующих статьях.
math4school.ru
Четырёхугольники
Основные определения и свойства
Четырёхугольником называется фигура, которая состоит из четырёх точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.
Четырёхугольник называется выпуклым, если он расположен в одной полуплоскости относительно прямой, которая содержит любую из его сторон.
Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360°:
Не существует четырёхугольников, у которых все углы острые или все углы тупые.
Каждый угол четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных углов:
Каждая сторона четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных сторон:
Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника равна:
Диагоналями четырёхугольника называются отрезки, соединяющие его противолежащие вершины.
Диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются, а невыпуклого – нет.
Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника:
В параллелограмме, и только в нём, середины диагоналей совпадают, и потому третья средняя линия вырождается в точку. Для других четырёхугольников средние линии – отрезки.
Все средние линии четырёхугольника пересекаются в одной точке и делятся ею пополам:
Сумма квадратов средних линий четырёхугольника равна четверти суммы квадратов всех его сторон и диагоналей:
MP 2 + NQ 2 + RS 2 = ¼ (AB 2 +BC 2 +CD 2 +AD 2 +AC 2 +BD 2 ).
Если β – угол между первой и второй средними линиями четырёхугольника, то его площадь:
Равными плитками, которые имеют форму произвольного, не обязательно выпуклого, четырёхугольника можно замостить плоскость так, чтобы не было наложений плиток друг на друга и не осталось непокрытых участков плоскости.
Описанные четырёхугольники
Четырёхугольник называется описанным около окружности (описанным), если существует такая окружность, которая касается всех его сторон, тогда сама окружность называется вписанной.
Четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, кода суммы его противолежащих сторон равны:
Для сторон описанного четырёхугольника и радиуса вписанной в него окружности верно:
Площадь описанного четырёхугольника:
где r – радиус вписанной окружности, p – полупериметр четырёхугольника.
Площадь описанного четырёхугольника:
Центр вписанной в четырёхугольник окружности является точкой пересечения биссектрис всех четырёх углов этого четырёхугольника.
Точки касания вписанной окружности отсекают равные отрезки от углов четырёхугольника:
Если O – центр окружности, вписанной в четырёхугольник ABCD, то
∠AOB+∠COD = ∠BOC+∠AOD =180°.
Вписанные четырёхугольники
Четырёхугольник называется вписанным в окружность (вписанным), если существует окружность, проходящая через все его вершины, тогда сама окружность называется описанной около четырёхугольника.
Выпуклый четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна 180°:
Центр описанной около четырёхугольника окружности является точкой пересечения всех четырёх серединных перпендикуляров сторон этого четырёхугольника.
Первая теорема Птолемея. Выпуклый четырёхугольник тогда и только тогда является вписанным, когда выполняется равенство:
Вторая теорема Птолемея. Выпуклый четырёхугольник тогда и только тогда является вписанным, когда выполняется равенство:
Радиус окружности, описанной около четырёхугольника:
Площадь вписанного четырёхугольника:
Диагонали выпуклого четырёхугольника разбивают каждый его угол на два угла. Углы, опирающиеся на одну сторону, называются связанными углами.
Выпуклый четырёхугольник является вписанным тогда и только тогда, когда у него есть хотя бы одна пара равных связанных углов.
У вписанного четырёхугольника любые два связанных угла равны.
Если четырёхугольник одновременно является описанным и вписанным, то его площадь:
Для радиусов описанной и вписанной окружностей данного четырёхугольника и расстояния между центрами этих окружностей выполняется соотношение:
Параллелограмм
Параллелограммом называется четырёхугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны:
У параллелограмма противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны:
Сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна 180°:
∠A +∠ B =∠ B +∠ C =∠ C +∠ D =∠ A +∠ D =180°.
Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам:
Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника:
Две диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника:
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон:
e 2 +f 2 = a 2 +b 2 +a 2 +b 2 = 2(a 2 +b 2 ).
Высотой параллелограмма называется перпендикуляр, проведённый из вершины параллелограмма к неприлежащей стороне:
Площадь параллелограмма можно определить:
Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны:
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов:
В любой ромб можно вписать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей.
Радиус окружности, вписанной в ромб, можно вычислить:
Площадь ромба можно определить:
Прямоугольник
Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые:
Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся на четыре равных отрезка:
Площадь прямоугольника можно определить:
Около любого прямоугольника можно описать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей и радиусом, который равен половине диагонали:
Квадрат
Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны:
Диагонали квадрата равны и перпендикулярны.
Сторона и диагональ квадрата связаны соотношениями:
У квадрата центры вписанной и описанной окружностей совпадают и находятся в точке пересечения его диагоналей.
Радиус описанной окружности:
Радиус вписанной окружности:
Трапеция
Трапецией называется четырёхугольник у которого только две противолежащие стороны параллельны:
Параллельные стороны называются основаниями трапеции, непараллельные – боковыми сторонами.
Высота трапеции – перпендикуляр, проведённый из произвольной точки одного основания трапеции к прямой, содержащей другое основание трапеции.
Средней линией (первой средней линией) трапеции называется отрезок, который соединяет середины боковых сторон данной трапеции:
Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме:
При продолжении до пересечения боковых сторон трапеции образуются два подобных треугольника с коэффициентом подобия, равным отношению основ:
Треугольники, образованные основами и отрезками диагоналей подобны с коэффициентом подобия, равным отношению основ:
Площади треугольников, образованных боковыми сторонами и отрезками диагоналей трапеции, равны:
Отрезок, соединяющий середины оснований (вторая средняя линия) трапеции, проходит через точку пересечения диагоналей, а его продолжение – через точку пересечения продолжений боковых сторон:
Отрезок, соединяющий середины диагоналей (третья средняя линия) трапеции, параллелен основаниям и равен их полуразности:
В трапецию можно вписать окружность, если сумма её основ равна сумме боковых сторон:
Центром вписанной в трапецию окружности является точка пересечения биссектрис внутренних углов трапеции.
В трапецию АВСD с основаниями AD и BC можно вписать окружность тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из равенств:
Боковые стороны трапеции видны из центра окружности, вписанной в данную трапецию, под прямым углом:
Радиус вписанной в трапецию окружности можно определить:
Равнобокой называется трапеция, у которой боковые стороны равны:
У равнобокой трапеции:
Около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая.
Стороны и диагональ равнобокой трапеции связаны соотношением:
Трапеция называется прямоугольной, если одна из её боковых сторон перпендикулярна основаниям.
Площадь трапеции можно определить:
Дельтоид
Дельтоид называется четырёхугольник, который имеет две пары равных соседних сторон.
Дельтоид может быть выпуклым или невыпуклым.
Прямые, содержащие диагонали любого дельтоида пересекаются под прямым углом.
В любом дельтоиде углы между соседними неравными сторонами равны.
Площадь любого дельтоида можно определить:
В любой выпуклый дельтоид можно вписать окружность.
Если выпуклый дельтоид не является ромбом, то существует окружность, касающаяся продолжений всех четырёх сторон данного дельтоида.
Для невыпуклого дельтоида можно построить окружность, касающуюся двух сторон большей длины и продолжений двух меньших сторон, а также окружность, касающуюся двух меньших сторон и продолжений двух сторон большей длины.
Вокруг дельтоида можно описать окружность тогда и только тогда, когда его неравные стороны образуют углы по 90°.
Радиус окружности, описанной около дельтоида можно определить через две его неравные стороны:
Ортодиагональные четырёхугольники
Четырёхугольник называется ортодиагональным, если его диагонали пересекаются под прямым углом.
Четырёхугольник является ортодиагональным тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий:
Сумма квадратов противолежащих сторон вписанного в окружность ортодиагонального четырёхугольника равна квадрату диаметра описанной окружности:
Ортодиагональный четырёхугольник является описанным около окружности тогда и только тогда, когда произведения его противолежащих сторон равны: