Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Отрезок AP — диаметр окружности, описанной около треугольника ABC.
а) Докажите, что прямая HP пересекает отрезок BC в его середине.
б) Луч PH вторично пересекает окружность, описанную около треугольника ABC, в точке M. Найдите длину отрезка MC1, если расстояние от центра этой окружности до прямой BC равно 4, ∠BPH = 120°.
б) Пусть K — середина BC, O — центр окружности (см. рис. справа). Треугольник OBC равнобедренный с основанием BC, поэтому OK — его высота. Отрезок OK — средняя линия треугольника AHP, а значит, AH = 2OK = 8. Четырехугольник AC1HM вписан в окружность с диаметром AH, тогда
Применим теорему синусов:
Ответ:
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
Две окружности касаются внешним образом в точке C. Прямая касается меньшей окружности в точке A, а большей — в точке B, отличной от A. Прямая AC вторично пересекает большую окружность в точке D, прямая BC вторично пересекает меньшую окружность в точке E.
а) Докажите, что прямая AE параллельна прямой BD.
б) Пусть L — отличная от D точка пересечения отрезка DE с большей окружностью. Найдите EL, если радиусы окружностей равны 2 и 5.
а) Пусть общая касательная к данным окружностям, проведённая через точку C, пересекает общую касательную AB в точке M. Тогда то есть медиана CM треугольника ABC равна половине стороны AB. Значит, Тогда поэтому AE — диаметр меньшей окружности. Следовательно, прямая AE перпендикулярна прямой AB. Аналогично докажем, что прямая BD перпендикулярна прямой AB. Прямые AE и BD перпендикулярны одной и той же прямой AB, значит, они параллельны.
б) Пусть радиусы окружностей равны r и R, где r
Опустим перпендикуляр EF из точки E на BD. Тогда
Отрезок AC — высота прямоугольного треугольника ABE, проведённая из вершины прямого угла, а EB и ED — секущие к большей окружности, проведённые из одной точки, поэтому
Ответ:
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
то есть медиана CM треугольника ABC равна половине стороны AB. Значит, 
Тогда 
поэтому AE — диаметр меньшей окружности. Следовательно, прямая AE перпендикулярна прямой AB. Аналогично докажем, что прямая BD перпендикулярна прямой AB. Прямые AE и BD перпендикулярны одной и той же прямой AB, значит, они параллельны.
