во что переходят прямые полупрямые отрезки при движении

Во что переходят прямые, полупрямые, отрезки при движении?

Во что переходят прямые, полупрямые, отрезки при движении?

Какие прямые при центральной симметрии переходят в себя?

Какие прямые при центральной симметрии переходят в себя?

Через середину отрезка проведена прямая?

Через середину отрезка проведена прямая.

Докажите, что концы отрезка равноудалены от этой прямой.

Через середину отрезка проведена прямая?

Через середину отрезка проведена прямая.

Доказать, что концы отрезка равноудалены от этой прямой.

Через середину отрезка проведена прямая?

Через середину отрезка проведена прямая.

Докажите, что концы отрезка равноудалены от этой прямой.

Начертите прямые a и b, пересекающиеся в точке М?

Начертите прямые a и b, пересекающиеся в точке М.

Выберите геометрические фигуры, понятие которых не определяется : прямая, квадрат, плоскость, треугольник, окружность, точка, полупрямая, отрезок?

Выберите геометрические фигуры, понятие которых не определяется : прямая, квадрат, плоскость, треугольник, окружность, точка, полупрямая, отрезок.

На рис 20 укажите взаимно пересекающиеся полупрямые?

На рис 20 укажите взаимно пересекающиеся полупрямые.

Какие полупрямые называются дополнительными.

Начертите прямые a и b, пересекающиеся в точке M?

Начертите прямые a и b, пересекающиеся в точке M.

Определите, сколько получилось полупрямых.

Решение в прикрепленном файле.

Нет, так как 2 + 6 + 9 = 17 Сумма трёх сторон в точности равна четвёртой, и четырёхугольника не получается.

Камера так се, но вроде понятно.

Источник

Во что переходят прямые полупрямые отрезки при движении

Вопрос 11. Какое преобразование называется симметрией относительно данной прямой?
Ответ. Преобразование фигуры F в фигуру F’, при котором каждая еë точка X переходит в точку X’, симметричную относительно данной прямой g, называется преобразованием симметрии относительно прямой g. При этом фигуры F и F’ называются симметричными относительно прямой g (рис. 192).

Вопрос 12. Какая фигура называется симметричной относительно данной прямой?
Ответ. Если преобразование симметрии относительно прямой g переводит фигуру F в себя, то эта фигура называется симметричной относительно прямой g, а прямая g называется осью симметрии фигуры.

Вопрос 13. Что такое ось симметрии фигуры? Приведите пример.
Ответ.Если преобразование симметрии относительно прямой g переводит фигуру F в себя, то эта фигура называется симметричной относительно прямой g, а прямая g называется осью симметрии фигуры.

Например, прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей прямоугольника параллельно его сторонам, являются осями симметрии прямоугольника (рис.193). Прямые, на которых лежат диагонали ромба, являются его осями симметрии (рис. 194).

Вопрос 14. Докажите, что симметрия относительно прямой есть движение.
Ответ. Теорема 9.3. Преобразование симметрии относительно прямой является движением.
Доказательство.Примем данную прямую за ось y декартовой системы координат (рис. 195). Пусть произвольная точка A (x; y) фигуры F переходит в точку A’ (x’; y’) фигуры F’. Из определения симметрии относительно прямой следует, что у точек A и A’ равные ординаты, а абсцисы отличаются знаком: x’ = —x.

Вопрос 15. Какое движение называется поворотом?
Ответ. Поворотом плоскости около данной точки называется такое движение, при котором каждый луч, исходящий из этой точки, поворачивается на один и тот же угол в одном и том же направлении (рис. 196).

Вопрос 16. Что такое параллельный перенос?
Ответ. Параллельный перенос есть движение.

Вопрос 17. Какие вы знаете свойства параллельного переноса?
Ответ. При параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние. При параллельном переносе прямая переходит в параллельную прямую (или в себя).

Докажем единственность параллельного переноса, переводящего точку A в точку A’. Пусть X — произвольная точка фигуры и X’ — точка,в которую она переходит при параллельном переносе (рис. 202). Как мы знаем, отрезки XA’ и AX’ имеют общую середину O. Задание точки X однозначно определяет точку O — середину отрезка A’X. А точки A и O однозначно определяют точку X’, так как точка O является серединой отрезка AX’. Однозначность в определении точки X’ и означает единственность параллельного переноса.
Теорема доказана.

Вопрос 19. Какие полупрямые называются одинаково направленными?
Ответ. Две полупрямые называются одинаково направленными, или сонаправленными, если они совмещаются параллельным переносом. То есть существует параллельный перенос, который переводит одну полупрямую в другую.

Вопрос 20. Докажите, что если полупрямые a и b одинаково направлены и полупрямые b и c одинаково направлены, то полупрямые a и c тоже одинаково направлены.
Ответ. Если полупрямые a и b одинаково направлены и полупрямые b и c одинаково направлены, то полупрямые a и c тоже одинаково направлены (рис. 203).

Действительно, пусть параллельный перенос, задаваемый формулами
x’ = x + m, y’ = y + n, (*)
переводит полупрямую a в полупрямую b, а параллельный перенос, задаваемый формулами
x» = x’ + m₁, y» = y’ + n₁, (**)
переводит полупрямую b в полупрямую c.
Рассмотрим параллельный перенос, задаваемый формулами
x» = x + m + m₁, y» = y + n + n₁. (***)
Утверждаем, что этот параллельный перенос переводит полупрямую a в полупрямую c. Докажем это.
Пусть (x; y) — произвольная точка полупрямой a. Согласно формулам (*) точка (x + m; y + n) принадлежит полупрямой b. Так как точка (x + m; y + n) принадлежит полупрямой b, то согласно формулам (***) точка (x + m + m₁; y + n + n₁) принадлежит полупрямой c. Таким образом, параллельный перенос, задаваемый формулами (***), переводит полупрямую a в полупрямую c. А это значит, что полупрямые a и c одинаково направлены, что и требовалось доказать.

Вопрос 21. Какие полупрямые называются противоположно направленными?

Ответ. Две полупрямые называются противоположно направленными, если каждая из них одинаково направлена с полупрямой, дополнительной к другой (рис. 204).

Вопрос 22. Какие фигуры называются равными?
Ответ. Две фигуры называются равными, если они движением переводятся одна в другую.

Источник

Методические разработки уроков по теме «Геометрические преобразования на плоскости» (стр. 4 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4

2) Ось симметрии треугольника проходит через середину одной из его сторон, перпендикулярна ей и является биссектрисой угла треугольника. Следовательно, ось симметрии треугольника одновременно высота, медиана и биссектриса. Но это возможно только в равнобедренном треугольнике. Поэтому, если в треугольнике есть ось симметрии, то он равнобедренный.

№2. Один прямоугольник получен из другого поворотом. Первый прямоугольник имеет длину 3 дм и ширину 2 дм. Чему равна площадь второго прямоугольника?

Фигура, полученная в результате поворота прямоугольника на заданный угол, будет также прямоугольником со сторонами 3 дм и 2 дм. Найдём площадь этого прямоугольника: 2•3=6 (дм2 ).

№3. Два треугольника симметричны друг другу относительно точки. Два угла первого треугольника соответственно равны 30º и 60º. Является ли второй треугольник прямоугольным?

Если два треугольника симметричны друг другу относительно точки, то они имеют равные стороны и углы. Значит, второй треугольник имеет углы 30º, 60º, 90º и является прямоугольным.

№4. В какую фигуру перейдёт при движении отрезок длиной 5см?

При движении отрезки переходят в отрезки равной длины. Значит, отрезок длиной 5см перейдёт в отрезок длиной 5см.

№5. Прямая а получена из прямой с в результате параллельного переноса. Каково взаимное расположение этих прямых?

При параллельном переносе фигуры перемещаются по параллельны прямым. Значит, прямая а перейдёт в параллельную ей прямую с.

5. Итог урока (3 мин)

Учащиеся повторяют понятия по теме «Движение на плоскости», изученные на предыдущих уроках

6. Домашнее задание (3 мин)

Повторить ______. Решить задания_____________

Тема. Тематическая работа №2 по теме «Движение на плоскости»

Цель: выявление уровня подготовки учащихся по теме «Движение на плоскости»; способствовать развитию памяти, мышления; сообразительности; воспитание самостоятельности.

Тип урока: урок контроля

1. Организация детей к работе на уроке (2 мин)

2. Сообщение темы и целей урока (1 мин)

На уроке будет проведена контрольная работа по теме «Движение на плоскости», которая позволит выявит уровень подготовки класса к изучению следующей темы.

3. Контрольная работа №2 (43 мин)

1º (1 балл) Начерти отрезок АВ и прямую р, не пересекающую этот отрезок. Постройте фигуру, симметричную отрезку АВ относительно прямой р.

2º (1 балл) Начерти квадрат АВСD. Проведите все его оси симметрии и выпишите их. Сколько осей симметрии имеет квадрат?

3º (1 балл) Отметьте точки С и D. Постройте с помощью циркуля и линейки центр симметрии этих точек.

4• (3 балла) Дан прямоугольник АВСD. Построить фигуру, на которую отображается этот четырёхугольник 1) • при центральной осевой симметрии с центром в точке D; 2) • при осевой симметрии с осью АС.

5• (3 балла) При симметрии относительно середины стороны АС в треугольнике АВС вершина переходит в точку D. Доказать, что АВСD – параллелограмм.

6••(4 балла) Построить квадрат со стороной 6 см и взять на его сторонах по точке. Построить точки, в которые переходят выбранные точки при повороте вокруг точки пересечения диагоналей квадрата на 90° по часовой стрелке.

1º(1 балл) Начертите отрезок СD и отметьте точку О, не принадлежащую прямой СD. Постройте фигуру, симметричную отрезку СD относительно центра О.

2º(1 балл) Начертите прямоугольник КМРН. Проведите все его оси симметрии и выпишите их. Сколько осей симметрии имеет прямоугольник?

3º(1 балл) Отметьте две точки К и М. Постройте с помощью циркуля и линейки ось симметрии этих точек.

4•(3 балла) Даны угол (nm) и точка О внутри его. Постройте квадрат АВСD так, чтобы диагонали квадрата пересекались в точке О, а точки В и D лежали на лучах n и m соответственно.

5•(3 балла) Треугольник АВС после поворота около вершины А принял положение треугольника А1В1С1. Докажите, что когда прямая АС делит ВВ1 пополам, то прямая АВ1 делит пополам отрезок СС1.

1º (2 балла). Доказать, что прямая, которая содержит биссектрису угла, является его осью симметрии.

2º(2 балла) Построить равносторонний треугольник, вершины которого лежали бы на трёх параллельных прямых.

3º(2 балла) Отрезок АВ делится прямой l на две равные части. Симметричны ли точки А и В относительно прямой l?

4º( 2 балла) Даны отрезок МН и точка О, ему не принадлежащая. Построить отрезок М1Н1, в который переходит отрезок МН при повороте его на угол 40º относительно точки О против часовой стрелки.

5•(3 балла) При симметрии относительно середины стороны АС вершина В равностороннего треугольника АВС переходит в точку D. Доказать, что АВСD – ромб.

6••(4 балла) Дано равные отрезки АВ и А1В1. Найдите центр поворота, при котором отрезок АВ переходит в отрезок А1В1.

Вариант 1.

№1. А А’ р – ось симметрии

№2. А К В АD, СВ, КР, ЕТ – оси симметрии

F Т

О – центр симметрии точек С и D

С’ С

С’DА’В’ симметричен АВСD относительно точки D.

б)А’B’CD’ симметричен четырёхугольнику АВСD относительно АС

№5. B C

1. Известно, что О – центр симметрии, АО=ОС. По определению симметрии ВО=ОD. Так как АО=ОС, ВО=ОD, то О – середина каждой из сторон АС и ВD.

2. Треугольники АВО и СDО равны по первому признаку равенства треугольников (АО=ОС, ВО=ОD; углы при вершине О равны, как вертикальные). Следовательно, АВ=СD.

3. Аналогично, из равенства треугольников АОD и ВОС следует равенство сторон АD и ВС.

4. Значит, АВ=DС, АD=ВС, АС и ВD пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, АВСD – параллелограмм.

№6. А В

При повороте вокруг точки О – точки пересечения диагоналей квадрата точка М→М’, Р→Р’, К→К’, Т→Т’.

ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ

Тема. Анализ контрольной работы. Сонаправленные полупрямые.

Цель: провести анализ кон рольной работы по теме «Движение на плоскости»; познакомить учащихся с понятием сонаправленных полупрямых; ввести понятие равных фигур через движение; способствовать развитию памяти, мышления, внимания; воспитание культуры математической речи, дисциплинированности.

Оборудование: опорный конспект

Тип урока: комбинированный урок

1 Организация детей к работе на уроке (2 мин)

2. Сообщение темы и целей урока (3 мин)

На уроке будет проведён анализ ошибок, допущенных при выполнении контрольной работы №2; введены понятия «сонаправленные полупрямые», «равенство фигур», которые будут использовать при изучении следующей части темы «Декартовы координаты, движение и векторы на плоскости»

3. Анализ контрольной работы (5 мин)

4. Актуализация опорных знаний (3 мин)

— Что называется движением?

— Какие вы знаете виды движения?

— Какое движение является параллельным переносом?

— Какими свойствами обладает параллельный перенос?

5. Знакомство с новым материалом (10 мин)

Две полупрямые называются одинаково направленными, если они совмещаются при параллельном переносе.

Утверждение. Если полупрямые а и b одинаково направлены и полупрямые b и с одинаково направлены, то полупрямые а и с также одинаково направлены (рисунок 1.14)

а

b

Действительно, пусть параллельный перенос, заданный формулами х’=х+m, у’=у+n (*) переводит прямую а в прямую b, а параллельный перенос, заданный формулами х»=х’+m1, у»=у’+n1 (**) переводит полупрямую b в полупрямую с.

Рассмотрим параллельный перенос, заданный формулами х»=х’+m1+m, у»=у’+n1+n (***). Этот параллельный перенос переводит полупрямую а в полупрямую с. Докажем это.

Пусть (х;у) – произвольная точка полупрямой а. По формулам (*) точка (х+m;у+n) принадлежит полупрямой b. Так как точка (х+m;у+n) принадлежит полупрямой b, то по формулам (**) точка (х+m+m1;у+n+n1 принадлежит полупрямлй с. Таким образом, параллельный перенос, заданный формулами (***), переводит полупрямую а в полупрямую с. А это значит, что полупрямые а и с одинаково направлены.

Две полупрямые называются противоположно направленными, если каждая из них одинаково направлена с полупрямой, дополнительной к другой (рисунок 1.15).

Две фигуры называются равными, если они переводятся движением одна в другую. Когда в двух треугольниках соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны, то эти треугольники совмещаются движением. И обратно: если два треугольника совмещаются движением, то у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны.

(Доказательство утверждения учащиеся изучают самостоятельно по учебнику с записью основных пунктов в тетрадь)

6. Решение заданий на выработку практических навыков по теме «Движение на плоскости» (19 мин)

№1. Прямые АВ и СD – параллельны. Точки А и D лежат по одну сторону от секущей ВС. Докажите, что лучи ВА и СD одинаково направлены.

№2. Докажите, что в задаче №32 лучи ВА и СD противоположно направлены, если точки А и D лежат по разные стороны от секущей ВС.

Точки А и D лежат по разные стороны от секущей ВС. Выполним параллельный перенос так, чтобы точки В и С совместились. Тогда прямая АВ совместится с прямой СD, т. к. АВ и СD параллельны, точка D перейдёт в точку D1. Точки А и D1 будут лежать по разные стороны от точки В. Значит, прямые АВ и ВD1 разнонаправлены, а это означает, что прямые АВ и СD также разнонаправлены.

№3. Докажите, что отрезки раной длины и углы с равной градусной мерой совмещаются движением.

Длины отрезков АВ и А1В1 равны. Через точку А1 проведём прямую m||АВ. Выполним параллельный перенос отрезка АВ так, точка А совмещалась с точкой А1. Тогда отрезок АВ совместится с прямой m, а точка В перейдёт в точку В2 на прямой m. По определению параллельного переноса АА1||ВВ2 и АА1=ВВ2, следовательно, АВВ2А1 – параллелограмм и АВ=А1В2.

Проведём биссектрису l угла В1А1В2. Она является осью симметрии данного угла. Подвергнем току В2 симметрии относительно l. Поскольку А1В2=АВ, имеем А1В2=А1В1. Треугольники А1В2О и А1В1С равны по катету и гипотенузе. Значит, ОВ2=ОВ1. Следовательно, при симметрии относительно l точка В2 совпадает с точкой В1. В результате данного движения отрезок АВ совпал с отрезком А1В1.

m А1

В2

2) Градусные меры углов А и В равны. Отложим на сторонах углов отрезки АМ=ВМ1 и АН=ВН1. При движении отрезок АМ совпадает с отрезком ВМ1. Поскольку при движении сохраняются углы между полупрямыми, то луч АН совпадёт с лучом ВН1 и точка Н совпадёт с точкой Н1. Следовательно, при движении углы с равной градусной мерой совмещаются.

М

B М1

7. Итог урока (2 мин)

— Какие полупрямые называются одинаково направленными?

— Верно ли утверждение, что фигуры называются равными, если они совмещаются параллельным переносом?

8. Домашнее задание (1 мин)

Выучить ______. Решить задания ______________.

№ 4. В параллелограммах АВСD и А1В1С1D1 АВ=А1В1, АD=А1D1 и угол А равен углу А1. Докажите, что параллелограммы равны, т. е. совмещаются движением.

Источник