вероятность что у двух человек день рождения в один день

Парадокс дней рождения

Утверждение, гласящее, что если дана группа из 23 или более человек, то вероятность того, что хотя бы у двух из них дни рождения (число и месяц) совпадут, превышает 50 %. Для группы из 60 или более человек вероятность совпадения дней рождения хотя бы у двух её членов составляет более 99 %, хотя 100 % она достигает, только когда в группе не менее 366 человек (с учётом високосных лет — 367).

Такое утверждение может показаться противоречащим здравому смыслу, так как вероятность одному родиться в определённый день года довольно мала, а вероятность того, что двое родились в конкретный день — ещё меньше, но является верным в соответствии с теорией вероятностей. Таким образом, оно не является парадоксом в строгом научном смысле — логического противоречия в нём нет, а парадокс заключается лишь в различиях между интуитивным восприятием ситуации человеком и результатами математического расчёта.

Тогда вероятность того, что хотя бы у двух человек из n дни рождения совпадут, равна

Значение этой функции превосходит 1/2 при n = 23 (при этом вероятность совпадения равна примерно 50.7 %). Вероятности для некоторых значений n иллюстрируются следующей таблицей:

Близкие дни рождения

Другое обобщение парадокса дней рождения состоит в постановке задачи о том, сколько человек нужно для того, чтобы вероятность наличия в группе людей, дни рождения которых различаются не более чем на один день (или на два, три дня и так далее), превысила 50 %. Эта задача более сложная, при её решении используется принцип включения-исключения. Результат (опять-таки в предположении, что дни рождения распределены равномерно) получается следующим:

Таким образом, вероятность того, что даже в группе из 7 людей дни рождения хотя бы у двух будут различаться не более чем на неделю, превышает 50 %.

Источник

Парадокс дней рождения

Маша попросила своего старшего друга, профессора Ивана Петровича, выступить перед её одноклассниками с интересной темой. И вот, в раннее утро понедельника, Иван Петрович зашёл в класс. Дети, увидев профессора, разочарованно вздохнули, и лишь одна Маша радостно помахала ему рукой.

— Да, вижу, вы сегодня мало каши ели. — огорчённо сказал профессор.

— Нет, мы просто вас по телевизору видели, — сказал один из ребят. — Вы там про какие-то ужасно скучные математические формулы говорили.

— Далеко не вся математика состоит из скучных формул. Сегодня мы рассмотрим парадокс дней рождения! Какова, например, вероятность того, что из 30 человек двое родились в один день?

— Так, всего человек 30, значит, вероятность — 30/365, — начала быстро подсчитывать Маша.

— А 30/365 — это примерно 0,08, или 8%, — подсказал другой ученик, который уже успел достать калькулятор.

— Нет, Маша, ты считаешь, какую часть количество людей составляет от числа дней в году. И если людей больше 366, то вероятность у тебя больше 1 получится.

— Да. Наверное, можно немного подправить формулу?

— А вот и нет, — загадочно улыбнулся профессор. — Шанс того, что хотя бы двое из этих 30 родились в один день, превышает 50%.

— Но как? — закричали дети. Теперь уже проснулись даже сидящие за последней партой.

— Вероятность того, что у двух людей совпадут дни рождения, равна 1/365. Всего из 30 людей можно составить 30・29/2 = 435 пар.

— Но правильно ли подсчитывать пары? — возразила Маша.

— Хороший вопрос! Конечно, вероятность не может равняться 435/365, ведь это больше единицы. Мы не можем сложить вероятности совпадения дней рождения в каждой паре, потому что дни рождения могут совпадать сразу в нескольких парах. Но теперь вероятность более 50% уже не кажется такой большой.

— Но как всё-таки подсчитать вероятность правильно?

— А как вы думаете, где этот парадокс можно применить?

Дети громко начали обсуждать разные варианты. Никого из них толком не было ни слышно, ни понятно.

— Вот прекрасный пример, — отметил профессор.

— Но ничего ведь нельзя было разобрать из-за шума! — удивились некоторые.

Все отрицательно покачали головами.

— Это небольшие устройства, которые по радиочастоте передают своё «имя», то есть заложенную в них информацию. Например, они могут быть прикреплены к каждой коробке внутри грузовика. Когда грузовик заезжает на склад, специальное устройство чтения прямо при въезде считывает, какие товары привезли. Ридер посылает сигнал, но некоторые метки могут ответить одновременно, как только что делали вы. Сигналы таких ответов накладываются друг на друга, и ничего нельзя разобрать.

Как решить эту проблему? Для этого есть разные алгоритмы. Некоторые основаны на том, что временной промежуток чтения меток разбивается на небольшие интервалы (слоты), а метки случайно выбирают интервал для передачи своего имени. Чем больше слотов, тем дольше будут считываться метки. Чем меньше слотов, тем выше вероятность наложения ответов и тем меньше меток будет успешно прочитано. Поэтому нужно поточнее прикинуть количество меток. Его можно оценить, исходя из общего количества слотов, во время которых был получен хотя бы один ответ. Для этого нужно решить похожую задачу: сколько в среднем различных дней рождения в группе из n человек.

Тут прозвенел звонок.

— Ну как, интересная была сегодняшняя тема? — поинтересовался Иван Петрович.

— Очень! — дети дружно закивали головами.

Все потихоньку начали собираться и уходить на перемену. Маша подошла к профессору:

— Спасибо вам большое! — Не за что, если понадоблюсь — зови, ведь на свете ещё много интересных вероятностных парадоксов, про которые можно рассказать!

Упражнения

1. Какое минимальное число людей нужно взять, чтобы у каких-то двоих из них совпали знаки зодиака с вероятностью более 1/2?

2. Пусть Костя родился 29 февраля и учится в классе из 30 человек. С какой вероятностью в этом классе найдётся ещё один ученик с таким же днём рождения?

3. В группе 75 человек. Сколько в среднем среди них людей, чей день рождения больше не встречается ни у кого в группе? Оцените их количество как произведение общего числа людей и вероятности того, что у данного человека уникальный день рождения.

Художник Алексей Вайнер

* RFID — Radio Frequency IDentification (англ.), радиочастотная идентификация.

Источник

Парадокс дня рождения: что это такое и как его объяснить

Содержание:

Давайте представим, что мы находимся с группой людей, например, на семейном воссоединении, собрании начального класса или просто выпиваем в баре. Допустим, человек 25.

Между шумихой и поверхностными разговорами мы немного отключились и начали думать о своих вещах, и внезапно мы спрашиваем себя: какова должна быть вероятность того, что между этими людьми у двух людей день рождения будет в один и тот же день?

Парадокс дня рождения

Хотя этот математический факт называется парадоксом, в строгом смысле это не так. Это скорее парадокс, поскольку это оказывается любопытным, поскольку это совершенно противоречит здравому смыслу. Когда кого-то спрашивают, сколько людей, по их мнению, нужно, чтобы у каждого из них был день рождения в один и тот же день, люди, как правило, дают в качестве интуитивного ответа 183, то есть половину от 365.

Идея, лежащая в основе этого значения, заключается в том, что, уменьшив вдвое количество дней в обычном году, можно получить необходимый минимум, так что вероятность близка к 50%.

Тем не менее, неудивительно, что при попытке ответить на этот вопрос ставятся такие высокие значения., поскольку люди часто неправильно понимают проблему. Парадокс дня рождения относится не к вероятности того, что у одного человека будет день рождения по сравнению с другим в группе, но, как мы уже упоминали, к вероятности того, что у любых двух человек в группе день рождения будет в один и тот же день.

Математическое объяснение явления

Чтобы понять эту удивительную математическую истину, первое, что нужно сделать, это иметь в виду, что существует множество возможностей найти пары, у которых один день рождения.

Однако в парадоксе дня рождения есть какое-то повторение. То есть, сколько людей нужно, чтобы двое из этих людей отметили день рождения в один и тот же день, будь то человек или дни. Чтобы понять это и показать математически, Затем мы более подробно рассмотрим процедуру, лежащую в основе парадокса.

Возможности возможного совпадения

Представим, что в комнате всего два человека. Эти два человека, C1 и C2, могли образовать только пару (C1 = C2), с которой у нас есть только одна пара, в которой может быть повторный день рождения. Либо они встречают годы в один и тот же день, либо они встречаются не в один и тот же день, альтернатив больше нет.

Чтобы выявить этот факт математически, у нас есть следующая формула:

(Кол-во людей x возможные комбинации) / 2 = возможности возможного совпадения.

В этом случае это будет:

(2 x 1) / 2 = 1 шанс возможного совпадения

Что, если вместо двух человек будет трое? Шансы на матч увеличиваются до трех, благодаря тому, что между этими тремя людьми может образоваться три пары (Cl = C2; Cl = C3; C2 = C3). В математическом представлении мы имеем:

(3 человека X 2 возможных комбинации) / 2 = 3 возможности возможного совпадения

С четырьмя возможностями шесть совпадают:

(4 человека X 3 возможных комбинации) / 2 = 6 вариантов возможного совпадения

Если мы подойдем к десяти людям, у нас будет гораздо больше возможностей:

(10 человек X 9 возможных комбинаций) / 2 = 45

С 23 людьми получается (23 × 22) / 2 = 253 разных пары, каждый из них является кандидатом на то, чтобы два его члена отметили день рождения в один и тот же день, создавая парадокс дня рождения и имея больше шансов на совпадение дня рождения.

Оценка вероятности

Мы собираемся вычислить вероятность того, что группа размером n состоит из двух человек.Кем бы они ни были, у них день рождения в один и тот же день. В этом конкретном случае мы собираемся отбросить високосные годы и близнецов, предполагая, что существует 365 дней рождения с одинаковой вероятностью.

Использование правила Лапласа и комбинаторики

Во-первых, мы должны вычислить вероятность того, что у n человек разные дни рождения. То есть мы вычисляем вероятность, противоположную той, которая содержится в парадоксе дня рождения. За это, при расчетах мы должны учитывать два возможных события.

Возьмем в качестве частного случая группу из пяти человек (n = 5).

Для расчета количества возможных случаев воспользуемся следующей формулой:

Учитывая, что в обычном году 365 дней, количество возможных случаев празднования дня рождения составляет:

Первый из выбранных нами людей мог родиться, как логично предположить, в любой из 365 дней в году. Следующий мог родиться в один из оставшихся 364 дней., а следующий из следующих мог родиться в один из оставшихся 363 дней, и так далее.

Следующий расчет: 365 × 364 × 363 × 362 × 361 = 6 303 × 10 ^ 12, что дает количество случаев, когда в этой группе из 5 человек нет двух человек, родившихся в один и тот же день.

Применяя правило Лапласа, мы вычислим:

P (A ^ c) = благоприятные случаи / возможные случаи = 6,303 / 6,478 = 0,973

Это означает, что вероятность того, что у двух человек в группе из 5 человек не будет дня рождения в один и тот же день, составляет 97,3%. Имея эти данные, мы можем получить возможность того, что два человека отметят день рождения в один и тот же день, получив дополнительную ценность.

Таким образом, из этого следует, что вероятность того, что в группе из пяти человек двое из них будут иметь день рождения в один и тот же день, составляет всего 2,7%.

Понимая это, мы можем изменить размер выборки. Вероятность того, что по крайней мере два человека на собрании из n человек будут день рождения в один и тот же день, может быть получена с помощью следующей формулы:

1- ((365x364x363x… (365-n + 1)) / 365 ^ n)

Если n равно 23, вероятность того, что по крайней мере двое из этих людей отмечают годовщину в один и тот же день, равна 0,51.

Причина, по которой этот конкретный размер выборки стал настолько известным, заключается в том, что при n = 23 существует равная вероятность, что как минимум два человека отмечают день рождения в один и тот же день.

Если мы увеличим до других значений, например 30 или 50, у нас будет более высокая вероятность, 0,71 и 0,97 соответственно, или, что то же самое, 71% и 97%. При n = 70 мы почти уверены, что двое из них совпадут в день рождения с вероятностью 0,99916 или 99,9%.

Использование правила Лапласа и правила произведения

Давайте представим, что 23 человека собираются в комнате, и мы хотим рассчитать варианты, при которых у них нет общих дней рождения.

Введите третий. Вероятность того, что у нее другой день рождения, чем у двух других людей, вошедших до нее, составляет 363/365. Вероятность того, что у всех троих разные дни рождения, равна 364/365, умноженным на 363/365, или 0,9918.

То есть вероятность того, что ни у кого из присутствующих не будет дня рождения в один и тот же день, составляет 49,3%, и, следовательно, наоборот, вычисляя дополнение этого процента, мы имеем вероятность 50,7%, что по крайней мере двое из них имеют одинаковые дни рождения.

В отличие от парадокса дня рождения, вероятность того, что кто-либо в комнате из n человек будет иметь день рождения в тот же день, что и конкретный человек, например, мы сами, если мы там, дается следующей формулой.

При n = 23 это даст около 0,061 вероятности (6%), требуя по крайней мере n = 253, чтобы получить значение, близкое к 0,5 или 50%.

Парадокс на самом деле

Есть много ситуаций, в которых мы видим, что этот парадокс выполняется. Здесь мы собираемся поместить два реальных случая.

Источник

masterok

Мастерок.жж.рф

Хочу все знать

Ваш коллектив из 23 сотрудников (вы под №14)

Вы наверное сто раз слышали про этот парадокс, но считаете, что это чушь какая то. Ведь в вашем коллективе ни у кого не совпал день рождение? А сможет кто то совсем уж популярно объяснить нам в комментах, смысл этого парадокса? Вот так он звучит:

Предположим, вы работаете в офисе, где трудятся 23 работника, включая вас. Какова вероятность того, что у двоих сотрудников в офисе совпадут дни рождения? (Мы не берём во внимание 29 февраля)

Ответ: Шанс того, что у двух людей в офисе день рождения приходится на один и тот же день, составляет 50%. Мало того, для группы из 57 человек вероятность такого совпадения будет составлять 99%.

Вот подробные расчеты.

Как нам это выяснить?

Вероятность того, что у двух человек не совпадают дни рождения, такова:

Вероятность того, что у трёх человек не совпадают дни рождения, такова:

Вероятность того, что у четырёх человек не совпадают дни рождения, такова:

Видите, к чему мы приходим? Вероятность того, что у 23 человек дни рождения не совпадают, составляет:

Так как шанс, что никто не родился в один день, составляет 49,3%, то шанс, что хотя бы у двух человек дни рождения совпадают, равен 50,7%.

Вот как выглядит кривая вероятности:

По вертикали: вероятность пар; по горизонтали: количество человек

Источник

Какова вероятность того, что в группе из произвольно выбраных 15 человек, у 2-х из них день рождения будет в один день?

Наталья совершенно верно указала, что это задачка называется «парадокс дня рождения» и описание ее можно найти в википедии
http://ru.Wikipedia.Org/wiki/парадокс_дня_рождения
ru.Wikipedia.Org/wiki/парадокс_дня_рождения

но формулу дала неправильную.
___________________________________________________________________
Правильная формула для расчета ответа на ваш вопрос
p(n)= 1-365!/(365^n*(365-n)!)

p(15)= 1-365!/(365^15*(365-15)!)=
= 1-0.74709868023631362795640949365342=
= 25.3% (на калькуляторе виндоуса)

или если вычислять на бухгалтерском калькуляторе
p(15)= 1-((365/365)*(364/365)*(363/365)*(362/365)*(361/365)*(360/365)*(359/365)*(358/365)*(357/365)*(356/365)*(355/365)*(354/365)*(353/365)*(352/365)*(351/365))=
= 25.3%

или приближенный расчет
p(n)= 1- exp(-n*(n-1)/(2*365))
p(15)= 1- exp(-15*(15-1)/(2*365))= 25%
_______________
Павел Селиванов приводит неправильный ход решения.
Правильный ход решения дан на вышеупомянутой странице википедии
Вот я скопипастил оттуда:
___
«Рассчитаем сначала, какова вероятность q(n) того, что в группе из n человек дни рождения всех людей будут различными. Если n > 365, то в силу принципа Дирихле вероятность равна нулю. Если же n ≤ 365, то будем рассуждать следующим образом. Возьмём наугад одного человека из группы и запомним его день рождения. Затем возьмём наугад второго человека, при этом вероятность того, что у него день рождения не совпадёт с днем рождения первого человека, равна 1—1/365. Затем возьмём третьего человека, при этом вероятность того, что его день рождения не совпадёт с днями рождения первых двух, равна 1—2/365. Рассуждая по аналогии, мы дойдём до последнего человека, для которого вероятность несовпадения его дня рождения со всеми предыдущими будет равна 1—(n—1)/365. Перемножая все эти вероятности, получаем вероятность того, что все дни рождения в группе будут различными:
q(n)= (365/365)*(364/365)*(363/365)*. *(1-(n-1)/365)

Тогда вероятность того, что хотя бы у двух человек из n дни рождения совпадут, равна
p(n)= 1-q(n)= 1- (365/365)*(364/365)*(363/365)*. *(1-(n-1)/365)

Значение этой функции превосходит 1/2 при n = 23 (при этом вероятность совпадения равна примерно 50.7 %).
«
________________________________
Перечитал еще раз вопрос. Понял, что возможно мой ответ неправильный, а правильный у Натальи.
Так как в вопросе идет речь о вероятности именно двух человек в один день.
А то что я написал «не менее двух человек».

Источник