верные числа что такое
Электронная библиотека
Значащие цифры десятичного числа – это все его цифры, начиная с первой ненулевой слева.
x = 0.002036, цифры 2036 являются значащими;
x = 2270000, все цифры этого числа являются значащими.
Значащая цифра в записи числа верна, если абсолютная погрешность числа меньше или равна пяти единицам разряда, следующего за этой цифрой.
Определить, сколько верных значащих цифр содержит число:
x = 0.002306 ± 0.00001.
Для определения числа верных значащих цифр запишем x и Dx таким образом, чтобы легко было сравнить разряды этих чисел:
x = 0.002306, абсолютная погрешность Dx = 0.00001.
Третья значащая цифра (0) не может быть верной, так как она одного порядка с погрешностью. Верными могут быть цифры, которые стоят перед ней (2, 3). Цифра 3 будет верной, если Dx £ 0.00005. В нашем случае это условие выполнено, следовательно, 2, 3 – верные значащие цифры.
Цифры в записи числа, следующие за верными, называются сомнительными.
В числе x = 1.121 три верные значащие цифры (1, 1, 2) и одна сомнительная (1).
x = 0.002306 ± 0.00007;
В числе x = 0.002306 одна верная значащая цифра (2), три сомнительные (3, 0, 6).
В числе x = 12.3 три значащие цифры, две верные значащие цифры (1, 2), одна сомнительная (3).
В числе x = 12.3 одна верная значащая цифра (1), две сомнительные (2, 3).
При записи абсолютной и относительной погрешностей используют, как правило, одну-две значащие цифры. Приближенные числа принято записывать следующим образом: сначала записывают все верные значащие цифры, затем одну-две сомнительные. То есть в записи приближенного числа, как правило, число значащих цифр на одну-две больше, чем число верных значащих цифр.
Практическое правило. Одна верная значащая цифра в записи числа соответствует приблизительно относительной погрешности 10 %. И наоборот, относительная погрешность 10 % соответствует приблизительно одной верной значащей цифре. Две верные значащие цифры соответствуют относительной погрешности 1 %, три верные значащие цифры – относительной погрешности 0.1 %.
Срочно?
Закажи у профессионала, через форму заявки
8 (800) 100-77-13 с 7.00 до 22.00
Верные числа что такое
Раздел 1. Приближенные числа и действия над ними
1.1 Виды погрешностей при приближенных вычислениях
Точное решение некоторых математических задач невозможно получить классическими методами, или это решение может быть получено в таком сложном виде, что неприемлемо для дальнейшего практического использования. Кроме того, точное решение задачи может потребовать очень большого количества (от нескольких десятков до многих миллиардов) действий. В таких случаях прибегают к приближенным и численным методам решения.
Появление компьютеров значительно расширило область применения этих методов. В настоящее время трудно себе представить инженера, не владеющего компьютером и методами приближённых вычислений.
Заметим, что любой компьютер способен запоминать большие, но конечные массивы чисел и производить над ними арифметические операции и сравнения с большой, но конечной скоростью. То есть машина способна выполнять очень большое, но конечное число операций. Поэтому при работе на компьютере можно использовать только те математические модели, которые описываются конечным набором чисел, и использовать только конечные последовательности арифметических действий.
Математическими моделями различных явлений служат функции, производные, интегралы, дифференциальные уравнения и т.п. При работе на компьютере эти исходные модели следует заменить такими, которые описываются конечными наборами чисел с указанием конечной последовательности действий для их обработки. Для этого функцию заменяют таблицей, определённый интеграл — суммой и т.д. Кроме того, вычислительная машина обладает конечной памятью и может оперировать с числами конечной длины, поэтому промежуточные результаты округляются. В результате этого даже точный метод с конечным числом действий становится приближенным.
Таким образом, решение, полученное численным методом, является приближенным.
Причинами появления погрешностей являются:
Погрешность решения, вызванная первыми двумя причинами, называется неустранимой — она не зависит от математика.
Погрешность метода возникает потому, что численным методом, как правило, решается не исходная задача, а более простая. Кроме того, обычно численный метод основан на бесконечном процессе, который приходится обрывать на некотором шаге.
Большинство численных методов зависит от одного или от нескольких параметров. Выбор параметров метода позволяет регулировать погрешность метода.
Погрешность округлений не должна быть существенно больше погрешности метода. А погрешность метода целесообразно выбирать в 2-5 раз меньше неустранимой погрешности.
1.2 Приближенные числа
Определение 1.2. Относительной погрешностью приближенного числа a * называется величина:
Любое число d ( a * ) , удовлетворяющее неравенству
Абсолютная погрешность и ее граница
Вычислительная математика. Абсолютная погрешность
АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ И ЕЕ ГРАНИЦА.
ЗАПИСЬ ПРИБЛИЖЕННОГО ЧИСЛА.
ВЕРНЫЕ И ЗНАЧАЩИЕ ЦИФРЫ ЧИСЛА
а – приближенное число
Разность х – а между точным числом х и приближенным числом а называется погрешностью приближения.
Модуль погрешности называется абсолютной погрешностью и обозначается ∆:
Погрешность и абсолютная погрешность имеют ту же размерность, что и рассматриваемая величина
Граница абсолютной погрешности ∆а – положительное число, которое больше или равно абсолютной погрешности или:
Если задана граница абсолютной погрешности ∆а, то число а есть приближенное значение числа х с точностью до ∆а и записывают
х = а ± ∆а, например: 94,5 ± 0,3
В отличие от абсолютной погрешности, граница абсолютной погрешности не определяется однозначно, поэтому на практике выбирается такое значение границы абсолютной погрешности, которое удобно для вычислений и обеспечивает максимальную точность.
Цифра приближенного числа а, записанного в виде десятичной дроби, называется верной (точной), если граница абсолютной погрешности числа не превышает (меньше или равно) единицы того разряда, в котором стоит эта цифра. В противном случае она называется сомнительной, например:
цифру 5, разряд единицы, единица разряда 1 и 0,2
Цифра 6, разряд десятые, единица разряда 0,1 и 0,2 > 0,1 (граница погрешности превышает единицу разряда), значит цифра 6 – сомнительная. Значит и цифра 3 (сотые) будет также сомнительной
2 и 5 – верные цифры, 6 и 3 – сомнительные цифры числа
Запись чисел с сохранением только верных цифр широко используется во всех математических таблицах, в справочниках (физика, астрономия, техника). При этом, по записи приближенного числа можно оценить погрешность приближения, например:
табличные данные: температура кипения золота – 2700 ºС, значит граница абсолютной погрешности 1 ºС, температура кипения йода – 182,8 ºС, значит граница абсолютной погрешности 0,1 ºС.
Записи приближенных чисел 0,3; 0,30; 0,300 – неравносильны, т.к. приближенное число 0,3 имеет погрешность не более 0,1;
приближенное число 0,30 имеет погрешность не более 0,01;
приближенное число 0,300 имеет погрешность не более 0,001.
В записи приближенных чисел принято соблюдать следующие правила:
Записать правильно следующие приближенные числа:
а = 0,3500 (последние верные цифры нули)
В некоторых заданиях необходимо наоборот определить абсолютную погрешность по записи приближенного числа, например,
Указать абсолютную погрешность приближенных чисел:
Число в стандартном виде записывают так:
показатель m – называется порядком числа.
Если число, записанное в виде десятичной дроби содержит все верные цифры, то все его цифры, начиная с первой слева отличной от нуля, называют значащими, например:
7,03 – три значащие цифры
4400 – четыре значащие цифры
0,000270 – три значащие цифры (нули, расположенные левее первой, отличной от нуля цифры, не считаются значащими 0,000270).
Округление числа – это замена его числом с меньшим количеством значащих цифр. При округлении числа до m значащих цифр отбрасывают все цифры, стоящие правее m-ой значащей цифры, заменяя их на нули (при сохранении разряда). При этом, если первая из отбрасываемых цифр ≥ 5, то последнюю оставшуюся цифру увеличивают на единицу,
Округлить число с заданной точностью:
Значащие цифры – 1, 5, 7 и 8, цифра 3 – сомнительная, т.к. 0,001 > 0,0001 (единицы разряда)
1,5783 ≈ 1,578 (последняя из отбрасываемых цифр 3
Значащие цифры – 2, 3, 4, 9 и 9, цифра 7 – сомнительная
7>5, значит предыдущую увеличиваем на 1, получим
159734 ≈ 160000 = 160·10 3
28,34 ≈ 0 – ни одна из цифр не является значащей 1000 > 10, т.к. задана точность 1000, а заданное число меньше, чем погрешность.
Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Сборник задач по математике с решениями для техникумов (учебное пособие)
Запись приближенных чисел. Верные и значащие цифры
Создатель теории приближенных вычислений А. Н. Крылов говорил: «При производстве всяких численных вычислений надо руководствоваться правилом: точность вычислений должна соответствовать точности данных и той практической потребности, для которой вычисления производятся». Ему же принадлежат слова: «Помните, что каждая неверная цифра — это ошибка, всякая лишняя цифра — это пол-ошибки».
Приближенные числа записываются, как правило, при помощи десятичных дробей. Между записью приближенных и точных чисел есть различия. Если перед нами точное число, то вес его цифры являются верными, точными. Что же касается приближенного числа, то некоторые его цифры верны, а другие являются сомнительными.
Цифра десятичного разряда приближенного числа 
приближения 
называется верной, если в том же десятичном разряде чисел 
и 
стоит эта же цифра. В противном случае она называется сомнительной.
Проверку на верные и сомнительные цифры нужно начинать слева направо с наивысшего разряда. Все цифры, стоящие правее первой найденной сомнительной цифры, автоматически считаются сомнительными.
Пример №45.4.
Найдите верные и сомнительные цифры в записи числа 
.
Решение:
Поскольку , запишем диапазон возможных значений 
в виде двойного неравенства:
Начинаем проверку на верные и сомнительные цифры с наивысшего разряда — единиц. Видим, что цифры 3,45 одинаковы в левой и правой части двойного неравенства (т.е. в записи и ), следовательно, по определению в записи приближенного числа 3,4531 эти цифры являются верными.
Цифры в разряде тысячных в правой и левой части двойного неравенства отличаются (1 и 5), следовательно, в записи приближенного числа 3,4531 цифра 3, стоящая в разряде тысячных, и цифра 1, стоящая за ней, являются сомнительными.
Итак, точное число обязательно начинается с цифр 3,45. Какие цифры стоят в остальных разрядах числа, точно сказать невозможно.
Для записи приближенных чисел существуют следующие правила:
Проиллюстрируем применение данных правил на конкретных примерах.
1. Поскольку в записи числа следует оставлять только верные цифры, то в примере 45.4 точное значение будет записано следующим образом: 
. В этом случае граница абсолютной погрешности 
.
2. Если задано число 
, то нетрудно показать, что в записи приближенного числа 3,005 цифры 3,00 являются верными, а 5 — сомнительной. Для записи точного числа выпишем все его верные цифры, включая нули на конце: 
. Эта запись показывает, что граница абсолютной погрешности равна единице последнего разряда, т.е. 0,01. Если бы мы записали это число как 
, то граница абсолютной погрешности была бы равна 1, а это значительно более низкая точность, чем заданная в примере 0,01.
3. Пусть задано число 
. В записи приближенного числа 3005 цифры 300 являются верными, а 5 — сомнительной. Для записи точного числа выпишем вес его верные цифры 300, а вместо одной сомнительной цифры 5 запишем умножение на 
, поскольку заменяем только одну цифру. Тогда 
.
В науке принято записывать числа в стандартном виде, т.е. в виде 
, где 
— цифры, причем 
(в целой части числа стоит только одна цифра, отличная от нуля). Число 
в стандартном виде будет представлено как 
.
Значащими цифрами числа называют все его верные цифры, за исключением нулей, стоящих левее первой отличной от нуля цифры.
Например, число 0,712 содержит три значащие цифры: 7, 1, 2. Число 0,00012 — две значащие цифры: 1 и 2. Число 
— три значащие цифры: 3, 0, 0.
Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:
Образовательный сайт для студентов и школьников
Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института
Верные и сомнительные цифры приближенного значения числа.
Значащие цифры приближенного значения числа
При вычислениях часто трудно указать наряду с приближенными значениями их погрешности. А в различных справочниках указывать погрешности приближенных данных неудобно, неэкономично. Поэтому при записи приближенных значений чисел требуют, чтобы по этой записи можно было определить границу абсолютной погрешности приближения. Для этого вводится понятие верной и сомнительной цифр приближенного значения числа.
Определение: Цифра называется верной, если граница абсолютной погрешности данного приближенного значения числа не превосходит (£) единицы того разряда, в котором записана эта цифра. В противном случае цифра называется сомнительной.
Пример: Определить верные и сомнительные цифры в приближенном значении числа:
1. х = 35,4 ± 0,08
Вывод: Если в записи приближенного значения числа какая-то цифра – верная, то и все предшествующие ей цифры так же являются верными.
2. х = 9,846 ± 0,04
Цифра 4 в 0,01; h = 0,04 £ 0,01; 4 – сомнительная цифра;
Цифра 8 в 0,1; h = 0,04 £ 0,1; 8 – верная цифра;
Следовательно, 9 – верная цифра.
3. х = 945,673 ± 0,03
Цифра 3 в 0,001; h = 0,03 £ 0,001; 3 – сомнительная цифра;
Цифра 7 в 0,01; h = 0,03 £ 0,01; 7 – сомнительная цифра;
Цифра 6 в 0,1; h = 0,03 £ 0,1; 6 – верная цифра;
Следовательно, 5, 4, 9 – верные цифры.
При записи приближенных чисел принято соблюдать следующие правила.
Правила записи приближенных чисел:
Пример: Записать правильно приближенное значение числа:
1. х = 950,031 ± 0,04
Следовательно, 0, 5, 9 – верные цифры.
х » 950,0 (правила 1, 2)
2. х = 0,075 ± 0,000005
х » 0,07500 (правила 1, 2)
3. х = 746000000 ± 5000
Следовательно, 0, 6, 4, 7 – в. ц.
х » 74600 × 10 4 (правила 1, 3)
Если приближенное значение числа дано без указания границы абсолютной погрешности, то ее можно определить по записи этого приближенного значения, используя определение верной и сомнительной цифр приближенного значения числа.
Пример:
1. Указать абсолютную погрешность приближенного числа а = 3,14.
Решение:
Дата добавления: 2017-01-29 ; просмотров: 40202 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ