верно ли что знакочередующийся числовой ряд всегда сходится

05.01.202409.04.2022 admin 0 Comments

Знакопеременные ряды. Признак Лейбница

Ряд вида , где все числа одного знака называется знакочередующимся или знакопеременным. Для таких рядов, которые часто встречаются на практике, признаки сходимости несколько различаются от признаков сходимости положительных рядов. Дадим несколько определений.

Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд .

Если ряд сходится, а ряд расходится, то ряд называется условно сходящимся. Существует простой признак сходимости знакочередующихся рядов:

Признак Лейбница.

Знакочередующийся ряд сходится (вообще говоря, не абсолютно) если последовательность монотонно стремится к . При этом для остатка ряда справедлива оценка: , где .Это достаточный признак, иногда его называют теоремой Лейбница.

Пример 2. Ряды , при так же условно сходятся. Для них тоже выполняется признак Лейбница: при последовательность монотонно стремится к .

Длины волн инфракрасного света достаточно велики, чтобы перемещаться сквозь облака, которые в противном случае блокировали бы наш обзор. Используя большие инфракра сные телескопы, астрономы смогли заглянуть в ядро нашей галактики. Большое количество звезд излучают часть своей электромагнитной энергии в виде видимого света, крошечной части спектра, к которой чувствительны наши глаза.

Так как длина волны коррелирует с энергией, цвет звезды говорит нам, насколько она горячая. Используя телескопы, чувствительные к различным диапазонам длин волн спектра, астрономы получают представление о широком круге объектов и явлений во вселенной.

Пример №1 Постройте центральную симметрию тетраэдра, относительно точки O, изображенных на рисунке 3.

Для построения такой центральной симметрии сначала проведем через все точки тетраэдра прямые, каждая из которых будет проходить через точку O. На них построим отрезки, удовлетворяющие условиям |AO|=|A?O|, |BO|=|B?O|, |CO|=|C?O|, |DO|=|D?O| Таким образом, и получим искомую симметрию (рис. 4).

В ряду разных механических движений особенным значением обладают колебания. Это движения и процессы, имеющие периодичность во времени.

В среде электромагнитных явлений также значительное место заняли электромагнитные колебания. В этих колебаниях заряды, токи, электрические и магнитные поля изменяются согласно периодическим законам.

Совет №1 Велосипедист, имеющий скорость 300 м/с, или идеальный газ, оказывающий давление 100 паскалей в большой тепловой машине — это странно.

Источник

Сходимость знакочередующихся рядов

Содержание:

Абсолютная и не абсолютная сходимость знакопеременного ряда. Признак сходимости знакочередующегося ряда.

Знакопеременный ряд (с членами разных знаков)

называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных значений его членов

Знакопеременный сходящийся ряд (1) называется неабсолютно сходящимся, если ряд (2) расходится.

Всякий абсолютно сходящийся ряд есть ряд сходящейся.

Знакочередующийся ряд (знаки членов которого строго чередуются) сходится,

если его члены убывают по абсолютному значению, стремясь к нулю, т. е. если (Признак Лейбница.) » я-+в)

При практическом использовании рядов (сходящихся) обычно ограничиваются несколькими их первыми членами. Допускаемая при этом ошибка (остаток ряда) наиболее просто оценивается для знакочередующихся рядов:

Ошибка при замене суммы сходящегося знакочередующегося ряда* суммой нескольких его первых членов меньше абсолютного значения первого из отброшенных членов.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Примеры с решением

Пример 1.

Исследовать сходимость знакопеременного ряда. (Определить, является ли он абсолютно сходящимся, неабсолютно сходящимся или расходящимся.)

Решение:

1) Члены данного знакочередующегося ряда убывают по абсолютному значению, стремясь к нулю:

Поэтому, согласно признаку Лейбница, данный ряд сходится. Чтобы установить, сходится ли он абсолютно или неабсолютно,

исследуем ряд с положительными членами составленный из абсолютных значений членов данного ряда. Применяя интегральный признак

заключаем, что ряд с положительными членами расходится.

Следовательно, данный ряд 1) сходится иеабсолютно.

2) Заменим члены данного знакопеременного ряда, где.

любое число, их абсолютными значениями и исследуем полученныи ряд с положительными членами. Сравним его

с геометрической бесконечно убывающей прогрессией которая есть ряд сходящийся. Каждый член полученного ряда не превосходит соответствующего члена геометрической прогрессии: Поэтому согласно признаку сравнения

ряд с положительными членами также сходится, а заданный знакопеременный ряд 2) сходится абсолютно.

3) Члены данного знакочередующегося ряда убывают по

абсолютному значению, стремясь к нулю:

Поэтому согласно признаку Лейбница он сходится. Ряд составленный из абсолютных значений членов данного ряда, также сходится согласно интегральному признаку

Следовательно, данный ряд абсолютно сходящийся. 4) Для данного знакопеременного ряда не выполняется необходимое условие сходимости: не существует [см. решение задачи 38(3)].

Вследствие этого он расходится.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Проверить, что знакочередующийся ряд сходится и вычислить приближенное значение его суммы с точностью до 0,01.

Решение:

Проверяем сходимость ряда по признаку Лейбница: убеждаемся, что его члены убывают по абсолютному

значению и что

Далее вычисляем несколько последовательных первых членов данного ряда, пока не получим такой член, абсолютное значение которого меньше 0,01:

Согласно указанному выше свойству знакочередующихся сходящихся рядов для вычисления суммы данного ряда с точностью до 0,01 достаточно взять сумму четырех его первых членов:

Знакочередующиеся ряды

Теорема 9 (Лейбниц). Если последовательность убывает и стремится к нулю, т. е.

сходится, причем, если то

при любом выполняется неравенство

Прежде всего отметим, что из условия (30.31) следует, что

в силу чего члены ряда (30.32) поочередно то то

Ряды вида (30.32) при называются знакочередующимися. Частичные суммы с четными номерами ряда (30.32) возрастают и неотрицательны. В самом деле,

ибо в силу убывания последовательности значения всех выражений, стоящих в круглых скобках, неотрицательны. Кроме того, последовательность ограничена сверху:

Поскольку последовательность возрастает и ограничена сверху, то она имеет конечный предел

при этом из неравенств (30.35) и (30.36) следует, что (рис. 123)

Покажем, что тот же предел имеет и последовательность частичных сумм с нечетными номерами. Действительно,

Из (30.37), (30.39) следует, что последовательность всех частичных сумм ряда (30.32) имеет конечный предел т. е. этот ряд сходится, и является его суммой. Докажем неравенство (30.33). Имеем

где в правой части стоит ряд Применив к нему неравенство (30.38), получим

Пример 3.

Ряд сходится. Это сразу следует из теоремы 9. n=1

Решение:

Выше (см. следствие теоремы 6 в п. 30.4) было показано, что если у двух знакопостоянных рядов

их члены эквивалентны: (см. (30.22)), то они одновременно сходятся или расходятся. Для не знакопостоянных рядов аналогичное утверждение уже не имеет места. Например, если

т. е. Однако в силу признака Лейбница ряд

сходится, а ряд расходится, ибо расходится гармонический ряд

Очевидно, что Таким образом, добавляя к членам ряда бесконечно малые более высокого порядка по сравнению с членами ряда, можно изменить сходимость ряда: из сходящегося ряда получить расходящийся.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Источник

Знакочередующиеся и знакопеременные ряды и их сходимость. Примеры

Понятия знакочередующихся рядов и знакопеременных рядов

Рассмотрим пример знакочередующегося ряда, начало которого выглядит так:

и сразу же общие правила записи знакочередующихся рядов.

А как задать чередование знаков членов ряда? Умножением функции на минус единицу в некоторой степени. В какой степени? Сразу же подчеркнём, что не любая степень обеспечивает чередование знаков при членах ряда.

Таким образом, можем записать приведённый выше знакочередующийся ряд в общем виде:

Сходимость знакочередующихся рядов. Признак Лейбница

Для знакочередующихся рядов имеет место следующий признак сходимости – признак Лейбница.

Теорема (признак Лейбница). Ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена, если одновременно выполняются следующие два условия:

Следствие. Если за сумму знакочередующегося ряда принять сумму его n членов, то допущенная при этом погрешность не превзойдёт абсолютной величины первого отброшенного члена.

Пример 1. Исследовать сходимость ряда

Решение. Это знакочередующийся ряд. Абсолютные величины его членов убывают:

а предел общего члена

Оба условия признака Лейбница выполнены, поэтому ряд сходится.

Пример 2. Исследовать сходимость ряда

Решение. Это знакочередующийся ряд. Сначала докажем, что :

, .

Пример 3. Исследовать сходимость ряда

Решение. Дан знакочередующийся ряд. Выясним, выполняется ли первое условие признака Лейбница, то есть требование . Чтобы требование выполнялось, необходимо, чтобы

Предел не равен нулю. Таким образом, второе условие признака Лейбница не выполняется, поэтому о сходимости не может быть и речи.

Пример 4. Исследовать сходимость ряда

Получили нуль. Таким образом, оба условия признака Лейбница выполняются. Сходимость имеет место быть.

Пример 5. Исследовать сходимость ряда

Решение. Это знакочередующийся ряд. Выясним, выполняется ли первое условие признака Лейбница. Так как

Получили нулевое значение. Оба условия признака Лейбница выполняются, поэтому данный ряд сходится.

Пример 6. Исследовать сходимость ряда

Решение. Выясним, выполняется ли первое условие признака Лейбница для этого знакочередующегося ряда:

Члены ряда по абсолютному значению убывают. Первый признак Лейбница выполняется. Выясним, равен ли нулю предел общего члена:

Предел общего члена не равен нулю. Второе условие признака Лейбница не выполняется. Следовательно, данный ряд расходится.

Признак Лейбница является признаком условной сходимости ряда. Значит, выводы о сходимости и расходимости рассмотренных выше знакочередующихся рядов можно дополнить: эти ряды сходятся (или расходятся) условно.

Абсолютная сходимость знакопеременных рядов

– знакопеременный. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величины его членов:

Определение. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов. Если же знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то такой знакопеременный ряд называется условно или неабсолютно сходящимся.

Теорема. Если ряд абсолютно сходится, то он сходится и условно.

Пример 7. Установить, сходится ли ряд