В выпуклом четырехугольнике известно что и найти градусную величину
В выпуклом четырёхугольнике ABCD известны стороны и диагональ: AB = 3, BC = CD = 5, AD = 8, AC = 7.
а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.
Найдём косинусы углов ABC и ADC в треугольниках и соответственно:
Далее,
Тем самым сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°, поэтому вокруг него можно описать окружность. Для вписанного четырёхугольника справедлива теорема Птолемея: произведение диагоналей четырёхугольника равно сумме произведений его противоположных сторон. Тогда то есть откуда
Ответ: б)
Приведем решение пункта б) Тофига Алиева без использования теоремы Птолемея.
Заметим, что поскольку Пусть тогда в треугольнике BAD по теореме косинусов
В треугольнике BCD по теореме косинусов
Приведем идею решения Юрия Зорина.
Углы BAC и BDC равны как вписанные углы, опирающиеся на дугу BC. По теореме косинусов найдём косинус угла BAC (он равен 11/14). Далее, зная, что косинусы равных углов равны, из треугольника BDC найдем по теореме косинусов искомый отрезок BD.
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
В выпуклом четырехугольнике известно что и найти градусную величину
Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке Е. Известно, что площадь каждого из треугольников АВЕ и DCE равна 1.
а) Докажите, что ABCD — параллелограмм или трапеция.
б) Найдите ВС, если площадь всего четырехугольника не превосходит 4, а AD = 3.
а) Найдем площадь треугольника ABD:
Тогда высоты треугольников ABD и ACD, проведенные к AD, равны. Значит, BC и AD параллельны, тогда ABCD является параллелограммом или трапецией.
б) Пусть площадь треугольника BEC равна x, тогда
Тогда По условию получаем, что
Таким образом, площади треугольников BEC и AED равны. Из пункта а) получаем, что AB и CD параллельны. Следовательно, ABCD — параллелограмм и BC = AD = 3.
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б
3
Получен обоснованный ответ в пункте б
имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а
при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.
и 
соответственно:
то есть 
откуда 
поскольку 
Пусть 
тогда в треугольнике BAD по теореме косинусов
По условию получаем, что