В треугольнике угол равен 36 биссектриса докажите что треугольник равнобедренный
В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно АМ, пересекает сторону АС в точке N. АВ = 6; ВС = 5; АС = 9.
а) докажите, что биссектриса угла С делит отрезок МN пополам
б) пусть Р — точка пересечения биссектрис треугольника АВС. Найдите отношение АР : РN.
а) Обозначим K точку пересечения отрезков AM и BN. Треугольник ABN равнобедренный, так как в нем AK является биссектрисой и высотой. Следовательно, AK является и медианой, то есть K — середина BN. Получаем, что AN = AB = 6, откуда NC = AC − AN = 3.
Рассмотрим треугольник ABC, биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: BM : MC = AB : AC, учитывая, что длина BC равна 5, получаем: BM = 2; MC = 3.
В треугольнике MNC стороны NC и MC равны, следовательно, треугольник MNC — равнобедренный, с основанием MN. Значит, биссектриса угла C также является медианой и высотой. Таким образом, получаем, что биссектриса угла С делит отрезок MN пополам.
б) Рассмотрим треугольник PMN: отрезок PO перпендикулярен прямой MN и делит её пополам, следовательно, треугольник PMN — равнобедренный с основанием MN. Значит, PM = PN и отношение AP : PN = AP : PM.
В треугольнике AMC отрезок CP — биссектриса, поэтому AP : PM = AC : MC = 3 : 1.
Приведем другое решение.
а) Обозначим за K точку пересечения отрезков AM и BN. Треугольник ABN равнобедренный, так как в нем AK является биссектрисой и высотой. Следовательно, AK является и медианой, то есть K — середина BN. Получаем, что AN = AB = 6, откуда NC = AC − AN = 3.
Далее, в видим, что KM является высотой и медианой, откуда следует, что треугольник BMN равнобедренный. Обозначим BM = MN = x, тогда MC = BC − BM = 5 − x.
Из по теореме косинусов получаем:
Из треугольника по теореме косинусов: откуда:
Таким образом получили, что MN = 2, MC = 3 — значит, треугольник MCN равнобедренный, откуда следует, что биссектриса CO является и высотой, и медианой. Значит, точка O — середина стороны MN. Что и требовалось доказать.
б) Опустим вспомогательный перпендикуляр из точки P на сторону AN (пересечение в точке H). Отрезок PH является радиусом вписанной окружности, так как P — точка пересечения биссектрис (а значит — центр вписанной окружности). Найдем радиус из формулы где S — площадь треугольника ABC, p — полупериметр треугольника, равный
Найдем площадь по формуле Герона:
Тогда
Из треугольника ABC вновь по теореме косинусов найдем косинус угла A (обозначим его за ):
Так как то
откуда
Тогда из получаем:
Найдем, что HN = AN − AH = 1, тогда из по теореме Пифагора:
Окончательно получаем, что
Дублирует задание 505501.
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
В треугольнике угол равен 36 биссектриса докажите что треугольник равнобедренный
В треугольнике ABC биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке D. Окружность, описанная около треугольника ACD пересекает сторону AB в точке E.
а) Докажите, что треугольник CDE равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника CDE, если AB = 8, BC = 7, AC = 6.
а) Дуги DE и CD равны, так как на них опираются равные вписанные углы DAE и DAC, значит, равны и стягивающие их хорды DE и DC, треугольник DCE равнобедренный по определению.
б) Из треугольника ABC по теореме косинусов найдем
Четырехугольник AEDC вписан в окружность, значит, его противолежащие углы в сумме дают 180°. Имеем:
По теореме о биссектрисе внутреннего угла треугольника
откуда находим, что CD = DE = 3. Теперь найдём площадь треугольника CDE:
Ответ: б)
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
В треугольнике угол равен 36 биссектриса докажите что треугольник равнобедренный
В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) проведены биссектрисы AK, BM, CP.
а) Докажите, что треугольник KMP — равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что площадь треугольника KMP равна 12, а косинус угла ABC равен 0,6.
а) Известно, что прямая, содержащая биссектрису равнобедренного треугольника, проведенную к его основанию, является осью его симметрии.
Рассмотрим треугольники ABK и CBP: угол ABK — общий, стороны AB и CB равны, углы BAK и BCP равны как половины равных углов при основании равнобедренного треугольника. Значит, треугольники ABK и CBP равны по второму признаку равенства треугольников. Отсюда отрезки AK и CP равны.
При симметрии относительно прямой BM точки K и P переходят друг в друга, точка M — сама в себя. Следовательно, отрезки MP и MK перейдут друг на друга. Значит, отрезки MP и MK равны.
б) Из рассмотренной симметрии также следует: BH — ось симметрии треугольника PBK,MH — ось симметрии треугольника PHM. Точка H находится на пересечении прямых BM и PK.
Пусть AB = BC = a, угол BAC = α. В прямоугольном треугольнике ABM: AM =BM =AC =SABM = 32. Это с одной стороны. С другой стороны,
Следовательно, Тогда
По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника: Пусть BP = x, тогда откуда то есть а значит, Треугольники PBH и ABM подобны как два прямоугольных треугольника с общим острым углом. Коэффициент подобия:
Найдем площадь треугольника PBH :
Вычислим длину отрезка AP:
Площадь треугольника APM будет равна
Так как то:
Поскольку площадь треугольника KMP равна двум площадям PMH, найдем последнюю:
видим, что KM является высотой и медианой, откуда следует, что треугольник BMN равнобедренный. Обозначим BM = MN = x, тогда MC = BC − BM = 5 − x.
по теореме косинусов получаем:
по теореме косинусов: 
откуда:
где S — площадь треугольника ABC, p — полупериметр треугольника, равный 
):
то
откуда
получаем:
по теореме Пифагора:
BM = 
AC = 
SABM = 32. Это с одной стороны. С другой стороны,
Тогда 
Пусть BP = x, тогда откуда 
то есть 
а значит, 
Треугольники PBH и ABM подобны как два прямоугольных треугольника с общим острым углом. Коэффициент подобия:
то:
