в треугольнике abc известно что bac 60 abc 45

Задание 16. Математика ЕГЭ. В треугольнике АВС известно, что ∠ВАС = 60°, ∠АВС = 45°. Продолжения высот треугольника АВС пересекают описанную около него окружность в точках M, N, P. Найдите площадь треугольника MNP, если известно, что ВС = 10.

Задание. В треугольнике АВС известно, что ∠ВАС = 60°, ∠АВС = 45°. Продолжения высот треугольника АВС пересекают описанную около него окружность в точках M, N, P.

а) Докажите, что треугольник MNP прямоугольный.

б) Найдите площадь треугольника MNP, если известно, что ВС = 10.

Решение:

а) Докажите, что треугольник MNP прямоугольный.

Так как ∠АВС = 45°, а СР – высота треугольника ∆АВС, тогда ∠ВСР = 45°. Угол ∠ВСР – вписанный в окружность угол, он равен половине дуги, на которую он опирается, следовательно, дуга ВР = 90°.

Так как ∠АВС = 45°, а АМ – высота треугольника ∆АВС, тогда ∠ВАМ = 45°. Угол ∠ВАМ – вписанный в окружность угол, он равен половине дуги, на которую он опирается, следовательно, дуга ВМ = 90°.

Дуга МР равна сумме дуг ВР и ВМ, т. е. дуга МР = 180°. Угол ∠МNP – вписанный в окружность угол, следовательно, ∠МNP = 90°. Тогда треугольник ∆MNP – прямоугольный.

б) Найдите площадь треугольника MNP, если известно, что ВС = 10.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆MNP. MP – гипотенуза вписанного в окружность прямоугольного треугольника ∆MNP, следовательно, МР – диаметр окружности, тогда МР = 2R.

Используя теорему синусов, имеем, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности, получим

Рассмотрим треугольник ∆АВС. Угол ∠ВАС = 60°, СР – высота треугольника ∆АВС, тогда ∠АСР = 30°. Угол ∠АСР – вписанный в окружность угол, он равен половине дуги, на которую он опирается, следовательно, дуга АР = 60°.

Аналогично, угол ∠ВАС = 60°, BN – высота треугольника ∆АВС, тогда ∠АBN = 30°. Угол ∠АBN – вписанный в окружность угол, он равен половине дуги, на которую он опирается, следовательно, дуга АN = 60°.

Дуга PN равна сумме дуг АР и АN, т. е. дуга РN = 120°. Угол ∠NМP – вписанный в окружность угол, который опирается на дугу РN, тогда угол ∠NМP = 60°.

В прямоугольном треугольнике ∆MNP угол ∠NМP = 60°, значит, угол ∠МPN = 30°. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

Тогда площадь треугольника ∆MNP равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними, т. е.

Источник

В треугольнике abc известно что bac 60 abc 45

Задание 18 (Типовые варианты для подготовки к ЕГЭ-2015)

В треугольнике ABC известно, что ∠BAC=60°, ∠ABC=45°. Продолжени высот треугольника ABC пересекают описанную около него окружность в точках M,N,P.

б) Найдите площадь треугольника MNP, если известно, что BC = 12.

Ответ:

Задание 18 (Типовые варианты для подготовки к ЕГЭ-2015)

Диагональ AC прямоугольника ABCD с центром O образует со стороной AB угол 30°. Точка E лежит вне прямоугольника, причем ∠BEC=120°.

а) Докажите, что ∠CBE = ∠COE.

б) Прямая OE пересекает сторону AD прямоугольника в точке K. Найдите EK, если известно, что BE = 40 и CE = 24.

Задание 18 (Типовые варианты для подготовки к ЕГЭ-2015)

Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон AB, AC и BC в точках C1, B1 и A1 соответственно. Биссектриса угла A пересекает эту окружность в точке Q, лежащей внутри треугольника A1B1C1.

б) Найдите расстояние от точки O до центра окружности, вписанной в треугольник AC1B1, если известно, что BC = 15, AB = 13, AC = 14.

Задание 18 (Типовые варианты для подготовки к ЕГЭ-2015)

Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника равны 34 и 49 соответственно.

а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная основанию, пересекает окружность, вписанную в треугольник.

б) Найдите длину отрезка этой средней линии, заключенного внутри окружности.

Задание 18 (Типовые варианты для подготовки к ЕГЭ-2015)

б) Найдите площадь четырехугольника ABCD, если известно, что AB = 5 и AH = 4.

Источник

В треугольнике abc известно что bac 60 abc 45

Ответом к заданиям 1—12 является целое число или конечная десятичная дробь. Дробную часть от целой отделяйте десятичной запятой. Единицы измерений писать не нужно.

Если ва­ри­ант задан учителем, вы можете вписать ответы на задания части С или загрузить их в систему в одном из графических форматов. Учитель уви­дит ре­зуль­та­ты вы­пол­не­ния заданий части В и смо­жет оце­нить за­гру­жен­ные от­ве­ты к части С. Вы­став­лен­ные учи­те­лем баллы отоб­ра­зят­ся в вашей статистике.

Известно, что для трёх последовательных натуральных значений аргумента квадратичная функция f(x) принимает соответственно значения −9, −9 и −15. Найдите наибольшее возможное значение f(x).

Найдите количество пар целых чисел (a; b) таких, что и при этом площадь S фигуры, заданной системой неравенств

такова, что число 2S кратно 5.

В треугольнике ABC известно, что AB = 4, AC = 6, угол BAC = 60°. Продолжение биссектрисы AA₁ пересекает окружность, описанную около треугольника ABC, в точке A₂. Найдите площади треугольников OA₂C и A₁A₂C. (O – центр окружности, описанной около треугольника ABC).

Лучи AB и DC пересекаются в точке P, а лучи BC и AD пересекаются в точке Q. Известно, что треугольники ADP и QAB подобны (вершины не обязательно указаны в соответствующем порядке), а четырёхугольник ABCD можно вписать в окружность радиуса 4.

б) Пусть дополнительно известно, что окружности, вписанные в треугольники ABC и ACD касаются отрезка AC в точках K и T соответственно, причём CK : KT : TA = 3 : 1 : 4 (точка T лежит между K и A). Найдите угол DAC и площадь четырёхугольника ABCD.

Изобразите на плоскости фигуру , состоящую из точек (x; y) координатной плоскости таких, что выполнена система неравенств

Определите, из скольких частей состоит фигура

Источник

В треугольнике abc известно что bac 60 abc 45

Высоты BB₁ и CC₁ остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.

б) Найдите BC, если AH = 4 и ∠BAC = 60°.

а) В четырёхугольнике AC₁HB₁ углы C₁ и B₁ — прямые, следовательно, около этого четырёхугольника можно описать окружность, причём AH — её диаметр. Вписанные углы AC₁B₁ и AHB₁ опираются на одну дугу, следовательно, ∠AHB₁ = ∠AC₁B₁.

б) В треугольнике AB₁C₁ диаметр описанной окружности AH = 4, откуда

В прямоугольном треугольнике BB₁A имеем:

В прямоугольном треугольнике CC₁A имеем:

Получаем, что Треугольники ABC и AB₁C₁ имеют общий угол A и следовательно, они подобны. Тогда Значит,

Ответ:

Приведем решение пункта б) Тофига Алиева.

В четырёхугольнике AC₁HB₁ углы C₁ и B₁ — прямые, следовательно, около этого четырёхугольника можно описать окружность, причём AH — её диаметр. Эта окружность описана также вокруг треугольника C₁HB₁, тогда по теореме синусов откуда

Как доказано в основном решении, треугольники C₁HB₁ и ABC подобны с коэффициентом подобия cos ∠A, тогда

Примечание Дмитрия Гущина.

Укажем другое решение.

а) Поскольку AA₁ — перпендикуляр к ВС, а BB₁ — перпендикуляр к AС (см. рис.), углы AHB₁ и ACB равны как острые углы со взаимно перпендикулярными сторонами.

б) Сторона треугольника, величина противолежащего ей угла и отрезок высоты, проведённой из вершины этого угла в точку пересечения высот треугольника, связаны соотношением: откуда

Рекомендуем сравнить эту задачу с заданием 519475 из экзаменационного варианта ЕГЭ 2018 года.

Источник

В треугольнике abc известно что bac 60 abc 45

На окружности отмечены точки A и B так, что меньшая дуга AB равна 72°. Прямая BC касается окружности в точке B так, что угол ABC острый. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Пусть точка O — центр окружности. Угол AOB — центральный и равен дуге, на которую опирается. Значит, угол AOB равен 72°. Треугольник AOB — равнобедренный. Значит,

Таким образом, поскольку угол OBC прямой, угол ABC равен 90° − 54° = 36°.

Читатели, знакомые с теоремой «Угол между хордой и касательной равен половине дуги, стягиваемой хордой», могут решить эту задачу в одно действие: ∠ABC = 72° : 2 = 36°.

На окружности отмечены точки A и B так, что меньшая дуга AB равна 56°. Прямая BC касается окружности в точке B так, что угол ABC острый. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Пусть точка O — центр окружности. Угол AOB — центральный и равен дуге, на которую опирается. Значит, угол AOB равен 56°. Треугольник AOB — равнобедренный. Значит,

Таким образом, поскольку угол OBC прямой, угол ABC равен 90° − 62° = 28°.

Читатель, знающий правило «Угол между хордой и касательной равен половине дуги, стягиваемой хордой», может решить эту задачу в одно действие:

Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Впишем в окружность квадрат так, как показано на рисунке. Стороны квадрата отсекают на окружности равные дуги. Поэтому градусная мера дуги AC, на которую опирается угол ABC, составляет полного угла 360°, т. е. равна 270°. Угол ABC вписанный, поэтому он равен половине дуги, на которую опирается. Следовательно, угол ABC равен 135°.

На окружности отмечены точки A и B так, что меньшая дуга AB равна 92°. Прямая BC касается окружности в точке B так, что угол ABC острый. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Пусть точка O — центр окружности. Угол AOB — центральный и равен дуге, на которую опирается. Значит, угол AOB равен 92°. Треугольник AOB — равнобедренный. Значит,

Таким образом, поскольку угол OBC прямой, угол ABC равен 90° − 44° = 46°.

На окружности отмечены точки A и B так, что меньшая дуга AB равна 152°. Прямая BC касается окружности в точке B так, что угол ABC острый. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Пусть точка O — центр окружности. Угол AOB — центральный и равен дуге, на которую опирается. Значит, угол AOB равен 152°. Треугольник AOB — равнобедренный. Значит,

Таким образом, поскольку угол OBC прямой, угол ABC равен 90° − 14° = 76°.

Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Угол опирается на дугу, градусная мера которой составляет всей окружности, т.е. градусов. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, т.е.

Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Угол опирается на дугу, которая составляет четверть окружности, т.е. 90°. Так как угол — вписанный, то он равен половине дуги, т.е. 45°

Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Проведем дополнительные построения. Угол — центральный и равен 135°. Угол опирается на ту же дугу, что и угол , но является вписанным, поэтому равен половине угла т.е. 67,5°.

Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Центральный угол равен 135°. Большая дуга равна 360°-135°=225°. Угол опирается на эту дугу, но является вписанным и равен половине этой дуги, т.е. 112,5°.

Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Проведём дополнительное построение, как показано на рисунке. Заметим, что тангенс угла равен единице, следовательно, центральный угол равен 45°. Угол опирается на ту же дугу, что и , но является вписанным и равен половине угла , т. е. 22,5°.

Источник