Сложение — это арифметическое действие, в котором единицы двух чисел объединяются в одно новое число
Для записи сложения используют знак «+» (плюс), который ставят между слагаемыми.
Слагаемые — это числа, единицы которых складываются.
Сумма — это число, которое получается в результате сложения.
Рассмотрим пример 2 + 5 = 7, в котором:
При этом саму запись (2 + 5) можно тоже назвать суммой.
Сложение двух чисел можно проверить вычитанием. Для этого вычитаем из суммы одно из слагаемых. Если разность окажется равной другому слагаемому — сложение выполнено верно.
Впервые мы сталкиваемся со свойствами сложения во 2 классе. С каждым годом задания усложняются, и появляются новые правила и законы. Рассмотрим свойства сложения для 4 класса.
Свойства вычитания
Вычитание— это арифметическое действие, в котором отнимают меньшее число от большего.
Для записи вычитания используется знак «-» (минус), который ставится между уменьшаемым и вычитаемым.
Уменьшаемое — это число, из которого вычитают.
Вычитаемое — это число, которое вычитают.
Разность — это число, которое получается в результате вычитания.
Примеры использования свойств сложения и вычитания
Мы узнали основные свойства сложения и вычитания — осталось попрактиковаться. Чтобы ничего не забыть, используйте эту шпаргалку:
Пример 1
Вычислить сумму слагаемых с использованием разных свойств:
а) 4 + 3 + 8 = (4 + 3) + 8 = 7 + 8 = 15
б) 9 + 11 + 2 = (9 + 2) + 11 = 11 + 11 = 22
в) 30 + 0 + 13 = 30 + 13 = 43
Пример 2
Применить разные свойства при вычислении разности:
Умножение — арифметическое действие, в котором участвуют два аргумента: множимый и множитель. Результат их умножения называется произведением.
Узнаем, какие бывают свойства умножения и как их применять.
Переместительное свойство умножения
От перестановки мест множителей произведение не меняется.
То есть, для любых чисел a и b верно равенство: a * b = b * a.
Это свойство можно применять к произведениям, в которых больше двух множителей.
Сочетательное свойство умножения
Произведение трех и более множителей не изменится, если какую-то группу множителей заменить их произведением.
То есть, для любых чисел a, b и c верно равенство: a * b * c = (a * b) * c = a * (b * c).
Сочетательное свойство можно использовать, чтобы упростить вычисления при умножении. Например: 25 * 15 * 4 = (25 * 4) * 15 = 100 * 15 = 1500.
Если не применять сочетательное свойство и вычислять последовательно, решение будет значительно сложнее: 25 * 15 * 4 = (25 * 15) * 4 = 375 * 4 = 1500.
Распределительное свойство умножения относительно сложения
Чтобы умножить сумму на число, нужно умножить на это число каждое слагаемое и сложить полученные результаты.
То есть, для любых чисел a, b и c верно равенство: (a + b) * c = a * c + b * c.
Это свойство работает с любым количеством слагаемых: (a + b + с + d) * k = a * k + b * k + c * k + d * k.
В обратную сторону распределительное свойство умножения относительно сложения звучит так:
Чтобы число умножить на сумму чисел, нужно это число умножить отдельно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.
Распределительное свойство умножения относительно вычитания
Чтобы умножить разность на число, нужно умножить на это число сначала уменьшаемое, затем вычитаемое, и из первого произведения вычесть второе.
То есть, для любых чисел a, b и c верно равенство: (a − b) * c = a * c − b * c.
В обратную сторону распределительное свойство умножения относительно вычитания звучит так:
Чтобы число умножить на разность чисел, нужно это число умножить отдельно на уменьшаемое и вычитаемое и из первого полученного произведения вычесть второе.
Свойство нуля при умножении
Если в произведении хотя бы один множитель равен нулю, то само произведение будет равно нулю.
То есть, для любых чисел a, b и c верно равенство: 0 * a * b * c = 0.
Свойство единицы при умножении
Если умножить любое целое число на единицу, то в результате получится это же число.
То есть, умножение на единицу не изменяет умножаемое число: a * 1 = a.
Свойства деления
Деление — арифметическое действие обратное умножению. В результате деления получается число (частное), которое при умножении на делитель дает делимое.
Основные свойства деления целых чисел
И еще одно важное свойство деления, которое проходят в 5 классе:
Если делимое и делитель умножить или разделить на одно и тоже натуральное число, то их частное не изменится.
В буквенной форме это свойство выглядит так: a : b = (a * k) : (b * k), где k — любое натуральное число.
Применим свойства деления на практике.
Пример 1
Мама купила 6 кг конфет и разложила их в три пакета. Сколько килограммов конфет в каждом пакете?
Так как в каждом пакете одинаковое количество конфет, разделим 6 кг на три равные части: 6 : 3 = 2. Значит в каждом пакете по 2 кг конфет.
Свойства умножения и деления помогают упрощать выражения. То есть, если запомнить эти свойства и научиться их применять, то решать задачки можно быстрее.
Фатальные ошибки двоичной арифметики при работе с числами с плавающей точкой
Среди всего разнообразия форматов представления действительных чисел в компьютерной технике особое место отведено формату чисел с плавающей точкой (ЧПТ), который запротоколирован в стандарте IEEE754. Главные достоинства чисел с плавающей точкой, как известно, заключаются в том, что они позволяют производить вычисления в большом диапазоне значений и при этом вычисления организуются инструментарием двоичной арифметики, легко реализуемой на вычислительном устройстве. Однако последнее обстоятельство таит в себе подводные камни, которые являются причиной того, что расчеты, сделанные с использованием этого формата, могут приводить к совершенно непредвиденным результатам.
Ниже мы приводим примеры арифметических операций над некоторыми числами с плавающей точкой, которые приводят к неверным результатам. Эти результаты не зависят от платформы, на которой реализованы вычисления.
В настоящей статье мы не приводим теоретических выкладок, которые объясняют причину появления этих ошибок. Это тема следующего топика. Здесь мы только постараемся привлечь внимание специалистов к проблеме катастрофической неточности вычислений, возникающей при проведении арифметических операций над десятичными числами при использовании двоичной арифметики. Рассматриваемые здесь примеры неумолимо наталкивают на мысль о целесообразности использования формата с плавающей точкой в том виде, как его трактует стандарт IEEE754.
Отметим, что причина ошибочных вычислений с ЧПТ, главным образом, обусловлена ни ошибками округления, устранению которых в стандарте уделяется большое внимание, а самой природой конвертации десятичных и двоичных чисел.
Будем рассматривать два основных формата для ЧПТ — float и double. Напомним, что формат float позволяет представлять до 7 верных десятичных цифр в двоичной мантиссе, содержащей 24 разряда. Формат double представляетдо 15 верных десятичных цифр в мантиссе, содержащей 53 двоичных разряда.
Непредставимые в двоичном машинном слове десятичные числа, после приведения их к десятичному виду, содержат как верные цифры так и «хвосты» из неверных цифр. Эти «хвосты» и являются источником ошибочных вычислений десятичных действительных ЧПТ с помощью двоичной арифметики. Покажем это на примерах.
СУММА
Итак, сначала рассмотрим сумму двух следующих действительных чисел, представленных в формате float, каждое из которых имеет по 7 верных значащих цифр:
0,6000006 + 0,03339874=0,6333993 4≈0,6333993
Все вычисления будем проводить в формате float. Для наглядности будем использовать числа в распакованном виде. Представим наши десятичные числа в нормализованном двоичном виде:
Здесь каждое число, округленное до 7 верных цифр мы отделили от «хвоста» пробелом. Эти «хвосты» получились в результате обратной конвертации чисел из двоичного кода, записанного в машинной мантиссе, в десятичный код. Сумма наших чисел в двоичном 24-х разрядном виде даст следующий результат:
Тот же результат будет получен, если просуммировать десятичные числа с «хвостами»:
0,6000006 2+ 0,0333987 4= 0,6333993 6≈ 0,6333994
Как мы видим, после округления до 7 значащих цифр, здесь получен результат, отличный от того, который получился при суммировании десятичных чисел на калькуляторе. Правила округления двоичного представления чисел, заложенные в стандарте IEEE754, не решают проблему точного вычисления, рассмотренных здесь чисел. В нашем случае причина ошибки кроется в сочетании цифр, стоящих после последних верных цифр десятичных слагаемых, о которых, априори, ничего не известно.
Приведем еще один пример сложения. Просуммируем на калькуляторе два следующих действительных числа, каждый из которых содержит по 7 верных десятичных значащих цифр:
Приведем наши десятичные слагаемые к двоичному нормализованному виду:
Сумма этих слагаемых в двоичном виде даст следующее двоичное число:
Здесь мы снова получили результат, отличающийся от того, который вычислен на калькуляторе для неконвертированных десятичных чисел.
УМНОЖЕНИЕ
Такая же проблема неточных вычислений возникает при нахождении произведения некоторых ЧПТ, представленных в двоичном коде в формате float. Для примера рассмотрим произведение следующих действительных чисел:
Представим в этом выражении сомножители в нормализованном двоичном виде:
Результатом перемножения наших чисел в двоичном виде будет число:
Мы получили ошибку в младшем разряде произведения, которую невозможно исправить путем округления числа, представленного в двоичном коде. Такие ошибки принято называть фатальными.
ДЕЛЕНИЕ
Аналогично умножению, операция деления в формате float для некоторых ЧПТ также приводит к фатальным ошибкам. Рассмотрим следующий пример:
Представим делимое и делитель в двоичном формате, в нормализованном виде:
Мы видим, что полученный здесь результат не соответствует правильному значению, вычисленному на калькуляторе или вручную.
ВЫЧИТАНИЕ
Вычитание — это та операция, которая полностью дискредитирует идею использования двоичной арифметики для вычисления десятичных значений ЧПТ. В результате этой операции, в некоторых случаях, можно получить результат даже близко не соответствующий действительности. Продемонстрируем это на примере.
Пусть уменьшаемое у нас будет равно 105.3256. Вычтем из него число 105.32. Разность этих чисел, вычисленная вручную, будет равна:
Представим десятичное уменьшаемое и десятичное вычитаемое в нормализованном двоичном виде:
После преобразования этого числа в десятичный вид получим:
Мы получили результат, существенно отличающийся от того, который ожидали.
ОШИБКИ В ФОРМАТЕ ДАБЛ
Ситуацию с фатальными ошибками не спасает и формат более высокой точности, например double. Как мы выше уже отмечали, это объясняется самой природой конвертации чисел из одной системы счисления в другую. Покажем это на примерах.
В качестве инструмента для проверки правильности наших рассуждений будем использовать Excel 2009, в котором реализованы вычисления в строгом соответствии со спецификацией стандарта IEEE754.
Проведем следующие вычисления, используя средства Excel 2009. Формат ячеек выберем числовой, с 18 знаками после запятой. Для нахождения суммы запишем в ячейки таблицы Excel следующие числа:
В ячейке А3Excel получим сумму этих чисел:
Если посчитать эту сумму вручную или на калькуляторе, то получится число:
Которое в младшем разряде не совпадает с тем, что получено в Excel.
Посмотрим, к чему приводит операция вычитания в Excel. Запишем в ячейки следующие числа:
В ячейке А3 найдем разность этих чисел. Она будет равна:
А мы ожидали получить число:
В заключении приведем пример того, как быстро может расти ошибка, если использовать двоичную арифметику для вычисления десятичных действительных чисел даже без операции вычитания. Запишем в ячейки таблицы Excel следующие числа:
В ячейке А6 запишем формулу =A1/5+A2. После чего в ней будет получен результат.
В ячейке A7 произведем следующие вычисления:
Проведем те же вычисления на калькуляторе. Вычисления будем производить с точностью до 15 десятичных значащих цифр. Цифры, которые стоят правее младшего значащего разряда, согласно правилам арифметики, будем округлять до ближайшего целого. В результате будем иметь:
Вопрос ученому: — Я слышал, что сумма всех натуральных чисел равна −1/12. Это какой-то фокус, или это правда?
Ответ пресс-службы МФТИ — Да, такой результат можно получить при помощи приема, называемого разложением функции в ряд.
Вопрос, заданный читателем, достаточно сложный, и потому мы отвечаем на него не обычным для рубрики «Вопрос ученому» текстом на несколько абзацев, а некоторым сильно упрощенным подобием математической статьи.
В научных статьях по математике, где требуется доказать некоторую сложную теорему, рассказ разбивается на несколько частей, и в них могут поочередно доказываться разные вспомогательные утверждения. Мы предполагаем, что читатели знакомы с курсом математики в пределах девяти классов, поэтому заранее просим прощения у тех, кому рассказ покажется слишком простым — выпускники могут сразу обратиться к http://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan_summation.
Начнем с разговора о том, как можно сложить все натуральные числа. Натуральные числа — это числа, которые используются для счета цельных предметов — они все целые и неотрицательные. Именно натуральные числа учат дети в первую очередь: 1, 2, 3 и так далее. Сумма всех натуральных чисел будет выражением вида 1+2+3+. = и так до бесконечности.
Ряд натуральных чисел бесконечен, это легко доказать: ведь к сколь угодно большому числу всегда можно прибавить единицу. Или даже умножить это число само на себя, а то и вычислить его факториал — понятно, что получится еще большая величина, которая тоже будет натуральным числом.
Детально все операции с бесконечно большими величинами разбираются в курсе математического анализа, но сейчас для того, чтобы нас поняли еще не сдавшие данный курс, мы несколько упростим суть. Скажем, что бесконечность, к которой прибавили единицу, бесконечность, которую возвели в квадрат или факториал от бесконечности — это все тоже бесконечность. Можно считать, что бесконечность — это такой особый математический объект.
И по всем правилам математического анализа в рамках первого семестра сумма 1+2+3+. +бесконечность — тоже бесконечна. Это легко понять из предыдущего абзаца: если к бесконечности что-то прибавить, она все равно будет бесконечностью.
Однако в 1913 году блестящий индийский математик-самоучка Сриниваса Рамануджан Айенгор придумал способ сложить натуральные числа несколько иным образом. Несмотря на то, что Рамануджан не получал специального образования, его знания не были ограничены сегодняшним школьным курсом — математик знал про существование формулы Эйлера-Маклорена. Так как она играет важную роль в дальнейшем повествовании, о ней придется тоже рассказать подробнее.
Для начала запишем эту формулу:
Как можно видеть, она достаточно сложна. Часть читателей может пропустить этот раздел целиком, часть может прочитать соответствующие учебники или хотя бы статью в Википедии, а для оставшихся мы дадим краткий комментарий. Ключевую роль в формуле играет произвольная функция f(x), которая может быть почти чем угодно, лишь бы у нее нашлось достаточное число производных. Для тех, кто не знаком с этим математическим понятием (и все же решился прочитать написанное тут!), скажем еще проще — график функции не должен быть линией, которая резко ломается в какой-либо точке.
Производная функции, если предельно упростить ее смысл, является величиной, которая показывает то, насколько быстро растет или убывает функция. С геометрической точки зрения производная есть тангенс угла наклона касательной к графику.
Слева в формуле стоит сумма вида «значение f(x) в точке m + значение f(x) в точке m+1 + значение f(x) в точке m+2 и так до точки m+n». При этом числа m и n — натуральные, это надо подчеркнуть особо.
Справа же мы видим несколько слагаемых, и они кажутся весьма громоздкими. Первое (заканчивается на dx) — это интеграл функции от точки m до точки n. Рискуя навлечь на себя гнев всей кафедры математики за примитивность подхода к интегралам, скажем, что это площадь под кривой f(x) на графике от m до n; интегралы очень широко используются в самых разных науках.
На графике «по горизонтальной оси — время, по вертикальной — скорость» интеграл, то есть площадь под кривой, будет равен пройденному пути. На графике «ежемесячные платежи по вертикали, по горизонтали время» интегралом будет сумма, пришедшая на счет за все время.
Третье слагаемое — сумма от чисел Бернулли (B2k), поделенных на факториал удвоенного значения числа k и умноженных на разность производных функции f(x) в точках n и m. Причем, что еще сильнее усложняет дело, тут не просто производная, а производная 2k-1 порядка. То есть все третье слагаемое выглядит так:
Число Бернулли B2 («2» так как в формуле стоит 2k, и мы начинаем складывать с k=1) делим на факториал 2 (это пока просто двойка) и умножаем на разность производных первого порядка (2k-1 при k=1) функции f(x) в точках n и m
Число Бернулли B4 («4» так как в формуле стоит 2k, а k теперь равно 2) делим на факториал 4 (1×2х3×4=24) и умножаем на разность производных третьего порядка (2k-1 при k=2) функции f(x) в точках n и m
Число Бернулли B6 (см.выше) делим на факториал 6 (1×2х3×4х5×6=720) и умножаем на разность производных пятого порядка (2k-1 при k=3) функции f(x) в точках n и m
Суммирование продолжается вплоть до k=p. Числа k и p получаются некоторыми произвольными величинами, которые мы можем выбирать по-разному, вместе с m и n — натуральными числами, которыми ограничен рассматриваемый нами участок с функцией f(x). То есть в формуле целых четыре параметра, и это вкупе с произвольностью функции f(x) открывает большой простор для исследований.
Оставшееся скромное R, увы, тут не константа, а тоже довольно громоздкая конструкция, выражаемая через уже упомянутые выше числа Бернулли. Теперь самое время пояснить, что это такое, откуда взялось и почему вообще математики стали рассматривать столь сложные выражения.
Числа Бернулли и разложения в ряд
В математическом анализе есть такое ключевое понятие как разложение в ряд. Это значит, что можно взять какую-то функцию и написать ее не напрямую (например y = sin(x^2) + 1/ln(x) + 3x), а в виде бесконечной суммы множества однотипных слагаемых. Например, многие функции можно представить как сумму степенных функций, умноженных на некоторые коэффициенты — то есть сложной формы график сведется к комбинации линейной, квадратичной, кубической. и так далее — кривых.
В теории обработки электрических сигналов огромную роль играет так называемый ряд Фурье — любую кривую можно разложить в ряд из синусов и косинусов разного периода; такое разложение необходимо для преобразования сигнала с микрофона в последовательность нулей и единиц внутри, скажем, электронной схемы мобильного телефона. Разложения в ряд также позволяют рассматривать неэлементарные функции, а ряд важнейших физических уравнений при решении дает именно выражения в виде ряда, а не в виде какой-то конечной комбинации функций.
В XVII столетии математики стали вплотную заниматься теорией рядов. Несколько позже это позволило физикам эффективно рассчитывать процессы нагрева различных объектов и решать еще множество иных задач, которые мы здесь рассматривать не будем. Заметим лишь то, что в программе МФТИ, как и в математических курсах всех ведущих физических вузов, уравнениям с решениями в виде того или иного ряда посвящен как минимум один семестр.
Полиномы Бернулли позже нашли свое применение не только в уравнениях матфизики, но и в теории вероятностей. Это, в общем-то, предсказуемо (ведь ряд физических процессов — вроде броуновского движения или распада ядер — как раз и обусловлен разного рода случайностями), но все равно заслуживает отдельного упоминания.
Громоздкая формула Эйлера-Маклорена использовалась математиками для разных целей. Так как в ней, с одной стороны, стоит сумма значений функций в определенных точках, а с другой — есть и интегралы, и разложения в ряд, при помощи этой формулы можно (в зависимости от того, что нам известно) как взять сложный интеграл, так и определить сумму ряда.
Сриниваса Рамануджан придумал этой формуле иное применение. Он ее немного модифицировал и получил такое выражение:
В качестве функции f(x) он рассмотрел просто x — пусть f(x) = x, это вполне правомерное допущение. Но для этой функции первая производная равна просто единице, а вторая и все последующие — нулю: если все аккуратно подставить в указанное выше выражение и определить соответствующие числа Бернулли, то как раз и получится −1/12.
Это, разумеется, было воспринято самим индийским математиком как нечто из ряда вон выходящее. Поскольку он был не просто самоучкой, а талантливым самоучкой, он не стал всем рассказывать про поправшее основы математики открытие, а вместо этого написал письмо Годфри Харди, признанному эксперту в области как теории чисел, так и математического анализа. Письмо, кстати, содержало приписку, что Харди, вероятно, захочет указать автору на ближайшую психиатрическую лечебницу: однако итогом, конечно, стала не лечебница, а совместная работа.
Суммируя все сказанное выше, получим следующее: сумма всех натуральных чисел получается равной −1/12 при использовании специальной формулы, которая позволяет разложить произвольную функцию в некоторый ряд с коэффициентами, называемыми числами Бернулли. Однако это не значит, что 1+2+3+4 оказывается больше, чем 1+2+3+. и так до бесконечности. В данном случае мы имеем дело с парадоксом, который обусловлен тем, что разложение в ряд — это своего рода приближение и упрощение.
Можно привести пример намного более простого и наглядного математического парадокса, связанного с выражением чего-то одного через что-то другое. Возьмем лист бумаги в клеточку и нарисуем ступенчатую линию с шириной и высотой ступеньки в одну клетку. Длина такой линии, очевидно, равна удвоенному числу клеток — а вот длина спрямляющей «лесенку» диагонали равна числу клеток, умноженному на корень из двух. Если сделать лесенку очень мелкой, она все равно будет той же длины и практически не отличимая от диагонали ломаная линия окажется в корень из двух раз больше той самой диагонали! Как видите, для парадоксальных примеров писать длинные сложные формулы вовсе не обязательно.
Формула Эйлера-Маклорена, если не вдаваться в дебри математического анализа, является таким же приближением, как и ломаная линия вместо прямой. Используя это приближение можно получить те самые −1/12, однако это далеко не всегда бывает уместно и оправдано. В ряде задач теоретической физики подобные выкладки применяются для расчетов, но это тот самый передний край исследований, где еще рано говорить о корректном отображении реальности математическими абстракциями, а расхождения разных вычислений друг с другом — вполне обычное дело.
Так, оценки плотности энергии вакуума на основе квантовой теории поля и на основе астрофизических наблюдений различаются более чем на 120 порядков. То есть в 10^120 степени раз. Это одна из нерешенных задач современной физики; тут явно просвечивает пробел в наших знаниях о Вселенной. Или же проблема — в отсутствии подходящих математических методов для описания окружающего мира. Физики-теоретики совместно с математиками пытаются найти такие способы описать физические процессы, при которых не будет возникать расходящихся (уходящих в бесконечность) рядов, но это далеко не самая простая задача.
