В прямоугольном параллелепипеде abcda1b1c1d1 известно что ca1 11
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 проведена секущая плоскость, содержащая диагональ AC1 и пересекающая ребра BB1 и DD1 в точках F и E соответственно.
а) Докажите, что сечение AFC1E — параллелограмм.
б) Найдите площадь сечения, если известно, что AFC1E — ромб и AB = 3, BC = 2, AA1 = 5.
а) Параллельные плоскости пересекаются третьей по параллельным прямым. Следовательно, прямые AF и C1E параллельны, прямые AE и C1F параллельны, таким образом, AFC1E — параллелограмм.
Ответ: б)
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
В прямоугольном параллелепипеде abcda1b1c1d1 известно что ca1 11
На ребре BB1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка F так, что B1F : FB = 3 : 4. Точка T — середина ребра B1C1. Известно, что AD = 12, AA1 = 14.
а) Докажите, что плоскость FTD1 делит ребро AA1 в отношении 6 : 1.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью FTD1.
В прямоугольном параллелепипеде abcda1b1c1d1 известно что ca1 11
а) Докажите, что плоскость MPC делит объем параллелепипеда в отношении 1 : 11.
б) Найдите расстояние от точки D до плоскости MPC.
а) Построим последовательно:
2. Продолжим отрезок СР до пересечения с прямой AD. CP ∩ AD = K.
4. Отрезок PQ. PQMC — искомое сечение. Так как точки М, Р, С по построению лежат в плоскости сечения, то полученное сечение удовлетворяет условию задачи.
Плоскость МРС делит параллелепипед на два тела. Назовем их условно: нижнее и верхнее. Нижнее тело состоит из двух пирамид: четырехугольной PAQMD (основание AQMD, высота AP) и треугольной MDPC (основание Δ DPC, высота MD ).
Вычислим объем каждой из названных пирамид.
AQMD — трапеция, у которой основания AQ = 1; MD = 2, высота AP = 3.
=
Теперь найдем искомое отношение. что и требовалось доказать.
б) Для нахождения расстояния от точки D до плоскости МРС воспользуемся методом объемов. Выше мы уже рассматривали пирамиду MDPC. Если за ее основание принять Δ MPC, то ее высота и будет расстоянием от точки D до плоскости MPC.
на плоскость ABCD это прямая AH, то 
по теореме о трех перпендикулярах.
AD = 12, AA1 = 14.
= 
что и требовалось доказать.
