В правильной пирамиде все боковые ребра имеют одинаковую величину, и каждая боковая грань является равнобедренными треугольниками одного размера.
Правильная пирамида обладает следующими свойствами:
Формулы для правильной пирамиды.
Ниже указанная формула определения объема используется лишь для правильной пирамиды:
Боковое ребро правильной пирамиды находят по формуле:
где b — боковое ребро правильной пирамиды (SA, SB,SC,SD либо SE),
n — количество сторон правильного многоугольника (основание правильной пирамиды),
h — высота правильной пирамиды (OS).
Указания к решению задач. Свойства, которые мы перечислили выше, помогают при практическом решении. Когда нужно определить углы наклона граней, их поверхность и так далее, значит общая методика сводится к разбиению всей объемной фигуры на отдельные плоские фигуры и применение их свойств для определения отдельных элементов пирамиды, так как большинство элементов оказываются общими для нескольких фигур.
Правильная треугольная пирамида.
Формулы для правильной треугольной пирамиды.
Формула для нахождения объема правильной треугольной пирамиды:
Еще одним частным случаем правильно пирамиды является тетраэдр.
Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой. Апофемы всех боковых граней правильной пирамиды равны между собой и являются также медианами и биссектрисами.
Важные замечания
1. Высота правильной треугольной пирамиды падает в точку пересечения высот (или биссектрис, или медиан) основания (основание – правильный треугольник).
2. Высота правильной четырехугольной пирамиды падает в точку пересечения диагоналей основания (основание – квадрат).
3. Высота правильной шестиугольной пирамиды падает в точку пересечения диагоналей основания (основание – правильный шестиугольник).
4. Высота пирамиды перпендикулярна любой прямой, лежащей в основании.
Определение
Пирамида называется прямоугольной, если одно ее боковое ребро перпендикулярно плоскости основания.
Важные замечания
1. У прямоугольной пирамиды ребро, перпендикулярное основанию, является высотой пирамиды. То есть \(SR\) – высота.
2. Т.к. \(SR\) перпендикулярно любой прямой из основания, то \(\triangle SRM, \triangle SRP\) – прямоугольные треугольники.
3. Треугольники \(\triangle SRN, \triangle SRK\) – тоже прямоугольные. То есть любой треугольник, образованный этим ребром и диагональю, выходящей из вершины этого ребра, лежащей в основании, будет прямоугольным.
Теорема
Объем пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту пирамиды: \[V_<\text<пирамиды>>=\dfrac13 S_<\text<осн>>\cdot h\]
Следствия
Пусть \(a\) – сторона основания, \(h\) – высота пирамиды.
Теорема
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна полупроизведению периметра основания на апофему.
Определение
Высота усеченной пирамиды – это перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки верхнего основания к плоскости нижнего основания.
Важные замечания
1. Все боковые грани усеченной пирамиды – трапеции.
2. Отрезок, соединяющий центры оснований правильной усеченной пирамиды (то есть пирамиды, полученной сечением правильной пирамиды), является высотой.
В правильной треугольной пирамиде чему равна высота
Развернуть структуру обучения
Свернуть структуру обучения
Определение
Важно. В правильной треугольной пирамиде длина ребра (на рисунке AS, BS, CS ) может быть не равна длине стороны основания (на рисунке AB, AC, BC). Если длина ребра правильной треугольной пирамиды равна длине стороны основания, то такая пирамида называется тетраэдром (см. ниже).
Свойства правильной треугольной пирамиды:
Формулы для правильной треугольной пирамиды
Формула объема правильной треугольной пирамиды:
Примеры решения задач:
Тетраэдр
Частным случаем правильной треугольной пирамиды является тетраэдр.
В правильной треугольной пирамиде чему равна высота
Развернуть структуру обучения
Свернуть структуру обучения
Определение
Важно. В правильной треугольной пирамиде длина ребра (на рисунке AS, BS, CS ) может быть не равна длине стороны основания (на рисунке AB, AC, BC). Если длина ребра правильной треугольной пирамиды равна длине стороны основания, то такая пирамида называется тетраэдром (см. ниже).
Свойства правильной треугольной пирамиды:
Формулы для правильной треугольной пирамиды
Формула объема правильной треугольной пирамиды:
Примеры решения задач:
Тетраэдр
Частным случаем правильной треугольной пирамиды является тетраэдр.
Треугольная пирамида и формулы для определения ее площади
О какой пирамиде пойдет речь?
Треугольная пирамида представляет собой фигуру, которую можно получить, если соединить все вершины произвольного треугольника с одной единственной точкой, не лежащей в плоскости этого треугольника. Согласно этому определению рассматриваемая пирамида должна состоять из исходного треугольника, который называется основанием фигуры, и трех боковых треугольников, которые имеют по одной общей стороне с основанием и соединены друг с другом в точке. Последняя называется вершиной пирамиды.
Вам будет интересно: Защита проекта: образец. Темы для защиты проекта. Требования к проектной работе
Рисунок выше демонстрирует произвольную треугольную пирамиду.
Рассматриваемая фигура может быть наклонной или прямой. В последнем случае перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на ее основание, должен его пересекать в геометрическом центре. Геометрическим центром любого треугольника является точка пересечения его медиан. Геометрический центр совпадает с центром масс фигуры в физике.
Если в основании прямой пирамиды будет лежать правильный (равносторонний) треугольник, то она называется правильной треугольной. В правильной пирамиде все боковые стороны равны друг другу и представляют собой равносторонние треугольники.
Если высота правильной пирамиды такова, что ее боковые треугольники становятся равносторонними, то она называется тетраэдром. В тетраэдре все четыре грани равны друг другу, поэтому каждая из них может полагаться основанием.
Элементы пирамиды
К этим элементам относятся грани или стороны фигуры, ее ребра, вершины, высота и апофемы.
Как было показано, все стороны треугольной пирамиды являются треугольниками. Их число равно 4 (3 боковых и один в основании).
Ребра можно определить, как линии пересечения двух треугольных сторон, или как линии, которые соединяют каждые две вершины. Количество ребер соответствует удвоенному числу вершин основания, то есть для треугольной пирамиды оно равно 6 (3 ребра принадлежат основанию и 3 ребра образованы боковыми гранями).
Высота, как выше было отмечено, является длиной перпендикуляра, проведенного из вершины пирамиды к ее основанию. Если из этой вершины провести высоты к каждой из сторон треугольного основания, то они будут называться апотемами (или апофемами). Таким образом, пирамида треугольная имеет одну высоту и три апофемы. Последние равны друг другу для правильной пирамиды.
Основание пирамиды и его площадь
Поскольку основание для рассматриваемой фигуры в общем случае представляет собой треугольник, то для расчета его площади достаточно найти его высоту ho и длину стороны основания a, на которую она опущена. Формула для площади So основания имеет вид:
Если треугольник основания является равносторонним, тогда площадь основания треугольной пирамиды вычисляется по такой формуле:
То есть площадь So однозначно определяется длиной стороны a треугольного основания.
Боковая и общая площадь фигуры
Прежде чем рассматривать площадь треугольной пирамиды, полезно привести ее развертку. Она изображена на рисунке ниже.
Площадь этой развертки, образованной четырьмя треугольниками, является общей площадью пирамиды. Один из треугольников соответствует основанию, формула для рассматриваемой величины которого была записана выше. Три боковых треугольных грани в сумме образуют боковую площадь фигуры. Поэтому для определения этой величины достаточно к каждому из них применить записанную выше формулу для произвольного треугольника, а затем, сложить три полученных результата.
Если пирамида является правильной, то расчет площади боковой поверхности облегчается, поскольку все грани боковые представляют собой одинаковые равносторонние треугольники. Обозначим hb длину апотемы, тогда площадь боковой поверхности Sb можно определить так:
Эта формула следует из общего выражения для площади треугольника. Цифра 3 появилась в числители из-за того, что пирамида имеет три боковых грани.
Апотему hb в правильной пирамиде можно вычислить, если известна высота фигуры h. Применяя теорему Пифагора, получаем:
Очевидно, что общая площадь S поверхности фигуры равна сумме ее площадей боковой поверхности и основания:
Для правильной пирамиды, подставляя все известные величины, получаем формулу:
S = √3/4*a2 + 3/2*a*√(h2 + a2/12)
Площадь пирамиды треугольной зависит только от длины стороны ее основания и от высоты.
Пример задачи
Известно, что боковое ребро треугольной пирамиды равно 7 см, а сторона основания составляет 5 см. Необходимо найти площадь поверхности фигуры, если известно, что пирамида является правильной.
Воспользуемся равенством общего вида:
So = √3/4*a2 = √3/4*52 ≈ 10,825 см2.
Для определения площади боковой поверхности, необходимо найти апотему. Не сложно показать, что через длину бокового ребра ab она определяется по формуле:
Тогда площадь Sb равна:
Sb = 3/2*a*hb = 3/2*5*6,538 = 49,035 см2.
Общая площадь пирамиды составляет:
S = So + Sb = 10,825 + 49,035 = 59,86 см2.
Заметим, что при решении задачи мы не использовали в расчетах значение высоты пирамиды.
Вам будет интересно: Защита проекта: образец. Темы для защиты проекта. Требования к проектной работе
