в правильной четырехугольной призме abcda1b1c1d1 известно что bd1 2ad

05.01.202406.04.2022 admin 0 Comments

В правильной четырехугольной призме abcda1b1c1d1 известно что bd1 2ad

В правильной четырёхугольной призме известно, что Найдите угол между диагоналями и Ответ дайте в градусах.

Правильная четырёхугольная призма является прямоугольным параллелепипедом, диагонали прямоугольного параллелепипеда равны, диагональное сечение является прямоугольником. Углом между пересекающимися неперпендикулярными прямыми называется меньший из образованных ими углов, поэтому необходимо найти острый угол между диагоналями этого прямоугольника.

Рассмотрим прямоугольный треугольник A₁BC: в нем катет BC вдвое меньше гипотенузы A₁C, поэтому угол A₁CB равен 60°. Аналогично в треугольнике D₁CB угол D₁BC равен 60°.

Сумма углов треугольника BGC равна 180° получаем, поскольку два его угла равны 60°, третий угол тоже равен 60°.

Источник

В правильной четырехугольной призме abcda1b1c1d1 известно что bd1 2ad

В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ стороны основания равны 4, боковые рёбра равны 6. Точка M — середина ребра СС₁, на ребре BB₁ отмечена точка N, такая, что BN : NB₁ = 1 : 2.

а) В каком отношении плоскость AMN делит ребро DD₁?

б) Найдите угол между плоскостями ABC и AMN.

а) Пусть K — точка пересечения плоскости AMN с ребром DD₁. Грани AA₁D₁D и BB₁C₁C параллельны, следовательно, прямые AK и NM параллельны. Проведем NN₁ параллельно BC и AD, тогда треугольник KAD равен треугольнику MNN₁, откуда

Таким образом, отрезки KD и KD₁ относятся как 1 к 5.

б) Заметим, что проекцией прямой NK на плоскость ABC является диагональ BD. Пусть L — точка пересечения прямой NK с плоскостью ABC. Тогда плоскости ABC и AMN пересекаются по прямой AL. Из точки K на AL опустим перпендикуляр KH. По теореме о трех перпендикулярах его проекция DH также перпендикулярна AL.

Таким образом, угол KHD — линейный угол искомого утла. Найдем его. Заметим, что треугольники LBN и LDH подобны, причем

Рассмотрим треугольники LDH и LAO, где O — центр основания призмы. Эти треугольники подобны, как прямоугольные треугольники с общим углом. Тогда

По теореме Пифагора для треугольника LHD имеем:

Найдем искомый угол из треугольника KHD:

Ответ: а) 1:5; б)

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)

Получен обоснованный ответ в пункте б)

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Источник

В правильной четырехугольной призме abcda1b1c1d1 известно что bd1 2ad

В правильной четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ стороны основания равны 4, боковые ребра равны 6. Точка M — середина ребра CC₁, на ребре BB₁ отмечена точка N, такая, что BN : NB₁ = 1 : 2.

а) Докажите, что плоскость AMN делит ребро DD₁ в отношении 1 : 5, считая от точки D.

б) Найдите угол между плоскостями ABC и AMN.

а) Пусть K — точка пересечения плоскости AMN с ребром DD₁. Заметим, что прямые AK и MN параллельны, прямые KM и AN параллельны. Проведём прямую NN₁ параллельно прямым BC и AD. Тогда углы KAD и MNN₁ равны, и треугольники AKD и NMN₁ равны. Далее имеем:

б) Продлим прямую MN до пересечения с прямой BC. Пусть E — точка их пересечения. Так как E лежит на обеих этих прямых, она лежит на прямой пересечения плоскостей ABC и AMN, следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой AE. Из точки N на прямую AE опустим перпендикуляр BH. По теореме о трёх перпендикулярах его проекция BH также перпендикулярна AE. Таким образом, угол NHB — линейный угол двугранного угла между плоскостями ABC и AMN.

Имеем: тогда

Далее, EB = 8, тогда

Ответ: б)

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)

Получен обоснованный ответ в пункте б)

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Источник

В правильной четырехугольной призме abcda1b1c1d1 известно что bd1 2ad

В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ сторона AB основания равна 8, а боковое ребро AA₁ равно На рёбрах BC и C₁D₁ отмечены точки K и L соответственно, причём BK = C₁L = 2. Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки K и L.

а) Докажите, что прямая A₁C перпендикулярна плоскости γ.

б) Найдите расстояние от точки B до плоскости γ.

а) Проведём через точки K и L прямые, параллельные BD. Пусть эти прямые пересекают рёбра CD и B₁C₁ в точках K₁ и L₁ соответственно (рисунок 1). Тогда трапеция KL₁LK₁ является сечением исходной призмы плоскостью γ. Рассмотрим плоскость ACC₁. Пусть эта плоскость пересекает прямые KK₁ и LL₁ в точках E и F соответственно. Четырёхугольник AA₁C₁C — прямоугольник, причём

Кроме того, откуда Пусть FP — высота трапеции EFC₁C (рисунок 2), тогда

Поскольку

то есть прямые EF и A₁C перпендикулярны.

Прямая KK₁ параллельна прямой BD, которая перпендикулярна плоскости AA₁C. Значит, прямые KK₁ и EF перпендикулярны прямой A₁C, поэтому прямая A₁C перпендикулярна плоскости γ.

б) Пусть N — точка пересечения AC и BD. Поскольку прямая BD параллельна плоскости γ, расстояние от точки B до плоскости γ равно расстоянию от точки N до прямой EF. Опустим из точки N перпендикуляр NH на прямую EF. Тогда

Ответ:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Аналоги к заданию № 514474: 514527 514534 514653 Все

Источник

В правильной четырехугольной призме abcda1b1c1d1 известно что bd1 2ad

В правильной четырехугольной призме АВСDA₁B₁C₁D₁ на боковых ребрах АА₁ и DD₁ взяты соответственно точки К и М так, что

а) Докажите, что плоскость ВМК параллельна прямой АС.

б) Найдите расстояние от точки А до плоскости ВМК, если АВ = 8, АА₁ = 10.

а) Пусть L — точка пересечения плоскости BMK с ребром СС₁. В грани AA₁DD₁ построим прямую KR, параллельную AD и параллельную BC. Далее, DR : RM : MD₁ = 2 : 2 : 1, тогда из параллельности KM и BL получаем, что треугольники KRM и BCL равны. Следовательно, CL : LC₁ = 2 : 3 = AK : KA. Таким образом, по теореме Фалеса AC и KL параллельны A₁C₁ и, следовательно, плоскость BМK параллельна прямой AC.

б) Вычислим двумя способами объем пирамиды AKLB. С одной стороны, С другой стороны, где h_a и h_l — высоты, проведенные из соответствующих вершин. Таким образом, h_a является искомым расстоянием.