В правильной четырехугольной призме abcda1b1c1d1 известно что ас1 2вс
В правильной четырёхугольной призме известно, что Найдите угол между диагоналями и Ответ дайте в градусах.
Правильная четырёхугольная призма является прямоугольным параллелепипедом, диагонали прямоугольного параллелепипеда равны, диагональное сечение является прямоугольником. Углом между пересекающимися неперпендикулярными прямыми называется меньший из образованных ими углов, поэтому необходимо найти острый угол между диагоналями этого прямоугольника.
Рассмотрим прямоугольный треугольник A1BC: в нем катет BC вдвое меньше гипотенузы A1C, поэтому угол A1CB равен 60°. Аналогично в треугольнике D1CB угол D1BC равен 60°.
Сумма углов треугольника BGC равна 180° получаем, поскольку два его угла равны 60°, третий угол тоже равен 60°.
В правильной четырехугольной призме abcda1b1c1d1 известно что ас1 2вс
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 4, боковые рёбра равны 6. Точка M — середина ребра СС1, на ребре BB1 отмечена точка N, такая, что BN : NB1 = 1 : 2.
а) В каком отношении плоскость AMN делит ребро DD1?
б) Найдите угол между плоскостями ABC и AMN.
а) Пусть K — точка пересечения плоскости AMN с ребром DD1. Грани AA1D1D и BB1C1C параллельны, следовательно, прямые AK и NM параллельны. Проведем NN1 параллельно BC и AD, тогда треугольник KAD равен треугольнику MNN1, откуда
Таким образом, отрезки KD и KD1 относятся как 1 к 5.
б) Заметим, что проекцией прямой NK на плоскость ABC является диагональ BD. Пусть L — точка пересечения прямой NK с плоскостью ABC. Тогда плоскости ABC и AMN пересекаются по прямой AL. Из точки K на AL опустим перпендикуляр KH. По теореме о трех перпендикулярах его проекция DH также перпендикулярна AL.
Таким образом, угол KHD — линейный угол искомого утла. Найдем его. Заметим, что треугольники LBN и LDH подобны, причем
Рассмотрим треугольники LDH и LAO, где O — центр основания призмы. Эти треугольники подобны, как прямоугольные треугольники с общим углом. Тогда
По теореме Пифагора для треугольника LHD имеем:
Найдем искомый угол из треугольника KHD:
Ответ: а) 1:5; б)
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
В правильной четырехугольной призме abcda1b1c1d1 известно что ас1 2вс
В правильной четырехугольной призме АВСDA1B1C1D1 на боковых ребрах АА1 и DD1 взяты соответственно точки К и М так, что
а) Докажите, что плоскость ВМК параллельна прямой АС.
б) Найдите расстояние от точки А до плоскости ВМК, если АВ = 8, АА1 = 10.
а) Пусть L — точка пересечения плоскости BMK с ребром СС1. В грани AA1DD1 построим прямую KR, параллельную AD и параллельную BC. Далее, DR : RM : MD1 = 2 : 2 : 1, тогда из параллельности KM и BL получаем, что треугольники KRM и BCL равны. Следовательно, CL : LC1 = 2 : 3 = AK : KA. Таким образом, по теореме Фалеса AC и KL параллельны A1C1 и, следовательно, плоскость BМK параллельна прямой AC.
б) Вычислим двумя способами объем пирамиды AKLB. С одной стороны, С другой стороны, где ha и hl — высоты, проведенные из соответствующих вершин. Таким образом, ha является искомым расстоянием.
Вычислим площадь треугольника BLK: Вычислим площадь треугольника ABK: найдем Получаем: откуда
Ответ: б)
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
В правильной четырехугольной призме abcda1b1c1d1 известно что ас1 2вс
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона AB основания равна 8, а боковое ребро AA1 равно На рёбрах BC и C1D1 отмечены точки K и L соответственно, причём BK = C1L = 2. Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки K и L.
а) Докажите, что прямая A1C перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости γ.
а) Проведём через точки K и L прямые, параллельные BD. Пусть эти прямые пересекают рёбра CD и B1C1 в точках K1 и L1 соответственно (рисунок 1). Тогда трапеция KL1LK1 является сечением исходной призмы плоскостью γ. Рассмотрим плоскость ACC1. Пусть эта плоскость пересекает прямые KK1 и LL1 в точках E и F соответственно. Четырёхугольник AA1C1C — прямоугольник, причём
Кроме того, откуда Пусть FP — высота трапеции EFC1C (рисунок 2), тогда
Поскольку
то есть прямые EF и A1C перпендикулярны.
Прямая KK1 параллельна прямой BD, которая перпендикулярна плоскости AA1C. Значит, прямые KK1 и EF перпендикулярны прямой A1C, поэтому прямая A1C перпендикулярна плоскости γ.
б) Пусть N — точка пересечения AC и BD. Поскольку прямая BD параллельна плоскости γ, расстояние от точки B до плоскости γ равно расстоянию от точки N до прямой EF. Опустим из точки N перпендикуляр NH на прямую EF. Тогда
Ответ:
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше
0
Максимальный балл
3
Аналоги к заданию № 514474: 514527 514534 514653 Все
В правильной четырехугольной призме abcda1b1c1d1 известно что ас1 2вс
В правильной четырехугольной призме АВСDA1B1C1D1 на боковых ребрах АА1 и DD1 взяты соответственно точки К и М так, что
а) Докажите, что плоскость ВМК параллельна прямой АС.
б) Найдите расстояние от точки А до плоскости ВМК, если АВ = 8, АА1 = 10.
а) Пусть L — точка пересечения плоскости BMK с ребром СС1. В грани AA1DD1 построим прямую KR, параллельную AD и параллельную BC. Далее, DR : RM : MD1 = 2 : 2 : 1, тогда из параллельности KM и BL получаем, что треугольники KRM и BCL равны. Следовательно, CL : LC1 = 2 : 3 = AK : KA. Таким образом, по теореме Фалеса AC и KL параллельны A1C1 и, следовательно, плоскость BМK параллельна прямой AC.
б) Вычислим двумя способами объем пирамиды AKLB. С одной стороны, С другой стороны, где ha и hl — высоты, проведенные из соответствующих вершин. Таким образом, ha является искомым расстоянием.
Вычислим площадь треугольника BLK: Вычислим площадь треугольника ABK: найдем Получаем: откуда
Ответ: б)
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
известно, что 
Найдите угол между диагоналями 
и 
Ответ дайте в градусах.
С другой стороны, 
где ha и hl — высоты, проведенные из соответствующих вершин. Таким образом, ha является искомым расстоянием.
Вычислим площадь треугольника ABK: 
найдем 
Получаем: 
откуда 
На рёбрах BC и C1D1 отмечены точки K и L соответственно, причём BK = C1L = 2. Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки K и L.
откуда 
Пусть FP — высота трапеции EFC1C (рисунок 2), тогда 
