в чем заключается условие устойчивости сжатого стержня

iSopromat.ru

Устойчивостью сжатых стержней называют их способность восстанавливать начальную прямолинейную форму после снятия продольной сжимающей нагрузки.

При сжатии длинных стержней их продольная ось искривляется. Такой вид деформации называется продольным изгибом.

Прямолинейный центрально сжатый стержень при определенной нагрузке (силе F) может оказаться в опасном (критическом) состоянии, при котором форма продольной оси стержня будет неустойчива.

В этом случае сколь угодно малые случайные воздействия могут вызвать большие отклонения от его первоначальной формы, вследствие чего стержень после устранения возмущений (снятия внешних нагрузок) останется в изогнутом состоянии.

Такое состояние называют потерей устойчивости прямолинейной формы стержня.

Нагрузка, при которой прямолинейная форма перестает быть формой устойчивого равновесия называется критической (F_кр).

Таким образом, исследование устойчивости стержня заключается в определении величины критической сжимающей силы F_кр.

Для обеспечения устойчивости допускаются нагрузки, составляющие лишь определенную часть от критических и называемые допустимыми силами [F]_у.

здесь, n_у – коэффициент запаса устойчивости, зависит от материала стержня.

Рекомендуемые значения коэффициента устойчивости находятся в пределах:

Поперечные сечения сжатых стержней должны назначаться не из условия прочности от чистого сжатия, а из условия того, чтобы сжимающие напряжения были меньше критических напряжений:

где A – площадь поперечного сечения стержня.

Критическая сила определяется по формуле Эйлера.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Источник

УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ

19.1. Основные понятия. Устойчивое и неустойчивое равновесие

В конструкциях и сооружениях большое применение находят детали, являющиеся относительно длинными и тонкими стержнями, у которых один или два размера поперечного сечения малы по сравнению с длиной стержня. Поведение таких стержней под действием осевой сжимающей нагрузки оказывается принципиально иным, чем при сжатии коротких стержней. Опыт показывает, что при достижении сжимающей силой F некоторой критической величины, равной Fкр, прямолинейная форма равновесия длинного стержня оказывается неустойчивой, и при превышении Fкр стержень начинает интенсивно искривляться (выпучиваться). При этом новым (моментным) равновесным состоянием упругого длинного стержня (при F>Fкр) становится некоторая новая уже криволинейная форма. Это явление носит название потери устойчивости.

Устойчивость– способность тела сохранять положение или форму равновесия при внешних воздействиях.

Обычно потеря устойчивости системы сопровождается большими перемещениями, возникновением пластических деформаций или разрушением. Возможны также случаи, когда система, потеряв устойчивость, переходит в режим незатухающих колебаний. Особая опасность потери устойчивости заключается в том, что она происходит внезапно и при низких значениях напряжений, когда прочность материала еще далеко не исчерпана.

При анализе устойчивости конструкций следует различать устойчивое и неустойчивое равновесие системы.

При устойчивом равновесии тело, выведенное какой-либо силой из своего первоначального положения, возвращается в это положение после прекращения действия силы.

При неустойчивом равновесии тело, выведенное какой-либо силой из своего первоначального положения, продолжает деформироваться в направлении данного ему отклонения, и, после удаления внешнего воздействия, в исходное состояние не возвращается. В этом случае

говорят, что произошла потеря устойчивости.

Критическая сила (Fкр) – нагрузка, превышение которой вызывает потерю устойчивости первоначальной формы (положения) тела.

С момента наступления критического состояния до момента разрушения деформации системы нарастают крайне быстро, и практически нет времени принять меры по предотвращению грозящей катастрофы. Таким образом, при расчете на устойчивость критическая нагрузка подобна разрушающей при расчете на прочность.

При этом условие устойчивости можно записать в следующем виде:

19.2. Устойчивость сжатого стержня. Задача Эйлера

При определении критической силы, вызывающей потерю устойчивости сжатого стержня, предполагается, что стержень идеально прямой и сила F приложена строго центрально.

Рассматриваемый метод решения основан на том, что при достижении силой F критического состояния (F=Fкр) стержень находится в безразличном состоянии и ему присущи две формы равновесия: прямолинейная и криволинейная (в таких случаях говорят, что происходит ветвление, или бифуркация, равновесных состояний). Для выявления криволинейной формы равновесия достаточно приложить к стержню малую поперечную возмущающую нагрузку Q, которая вызовет малый прогиб. Если F Fкр, то равновесие стержня становится неустойчивым и сколь угодно малое возмущение достаточно для того, чтобы возникли большие прогибы. Задачу о критической нагрузке сжатого стержня с учетом возможности существования двух форм равновесия при одном и том же значении силы решил академик Петербургской Академии наук Л. Эйлер в 1744 году.

Рассмотрим шарнирно опертый по концам стержень, сжатый продольной силой F. Положим, что по какой-то причине стержень получил малое искривление оси, вследствие чего в нем появился изгибающий момент M:

где y – прогиб стержня в произвольном сечении с координатой x.

Для определения критической силы можно воспользоваться приближенным дифференциальным уравнением упругой линии:

где E – модуль Юнга; J – осевой момент инерции сечения стержня относительно оси z в данном случае; E·J – жесткость стержня при изгибе. Знаки левой и правой части (19.2) согласованны в данной системе координат.

Подставив в это уравнение выражение для изгибающего момента (19.1), получим

Общий интеграл полученного однородного дифференциального уравнения представляется функцией

Это решение содержит три неизвестные: постоянные интегрирования С1 и С2 и параметр k. Найдем эти величины из граничных условий – условий закрепления стержня по концам:

а) при x=0 прогиб в опоре (точка A) должен быть равен нулю y=0, тогда из уравнения (19.5) получим, что С2=0, при этом формула приобретает вид

Уравнение (19.6) указывает на то, что при продольном изгибе изогнутая ось стержня может быть представлена как некоторое число волн синусоиды с амплитудой C1.

б) при x=l прогиб в другой опоре (точка B) должен быть также равен нулю y=0, тогда из уравнения (19.6) получим, что Согласно постановке задачи, коэффициент C1 заведомо не равен нулю (иначе равен нулю прогиб балки во всех точках, что противоречит постановке задачи). В этом случае получаем

Из свойств синусоиды следует, что

где n – произвольное целое число (n≠0), которое представляет собой число полуволн синусоиды, укладывающихся на длине изогнутой оси стержня.

Решая совместно уравнения (19.4) и (19.7), получим выражение для некоторых фиксированных значений сжимающей силы, при которых возможна криволинейная форма равновесия оси стержня

Как видим, минимальное значение критическая сила примет при n=1 (на длине стержня укладывается одна полуволна синусоиды) и J=Jmin (стержень искривляется относительно оси с наименьшим моментом инерции)

19.3. Зависимость критической силы от условий закрепления стержня

Формула Эйлера была получена нами для, так называемого, основного случая – в предположении шарнирного опирания стержня по концам. На практике встречаются и другие случаи закрепления стержня. При этом можно получить формулу для определения критической силы для каждого из этих случаев, решая, как в предыдущем параграфе, дифференциальное уравнение изогнутой оси балки с соответствующими граничными условиями. Но можно использовать и более простой прием, если вспомнить, что, согласно (19.8), при потере устойчивости на длине стержня должна укладываться одна полуволна синусоиды.

Рассмотрим некоторые характерные случаи закрепления стержня по концам и получим общую формулу для различных видов закрепления.

1-й случай

Стержень длиной l заделан одним концом и сжат продольной силой. Из сравнения вида изогнутой оси балки для рассматриваемого и основного случаев можем сделать вывод, что ось стержня, заделанного одним концом, находится в тех же условиях, как и верхняя половина шарнирно опертого стержня длиной 2·l. Таким образом, критическая сила для стержня длиной l с одним защемленным концом может быть найдена так же как и для шарнирно опертой балки длиной 2·l, то есть

2-й случай

Стержень длиной l, у которого оба конца жестко заделаны. Из сравнения вида изогнутой оси балки для рассматриваемого и основного случаев, а также из соображений симметрии, можем сделать вывод, что средняя часть стержня с заделанными концами, находится в тех же условиях, как и шарнирно опертая балка длиной l/2.

Таким образом, критическая сила для стержня длиной l с двумя защемленными концами может быть найдена так же как и для шарнирно опертой балки длиной l/2, то есть

3-й случай

Стержень длиной l, у которого один конец жестко заделан, а другой шарнирно оперт. Из сравнения вида изогнутой оси балки для рассматриваемого и основного случаев, можем сделать вывод, что часть стержня находится в тех же условиях, как и шарнирно опертая балка длиной 0,7·l. Таким образом, критическая сила для стержня длиной l с защемленным и шарнирно опертым концами может быть найдена так же как и для шарнирно опертой балки длиной 0,7·l, то есть

Все полученные выражения можно объединить в одну общую формулу

где ω·l=lпр – приведенная длина стержня; l – фактическая длина стержня; ω – коэффициент приведенной длины, показывающий во сколько раз необходимо изменить длину стержня, чтобы критическая сила для этого стержня стала равна критической силе для шарнирно опертой балки.

(Другая интерпретация коэффициента приведенной длины: ω показывает, на какой части длины стержня для данного вида закрепления укладывается одна полуволна синусоиды при потере устойчивости.)

19.4. Критические напряжения. Расчет на устойчивость стержня при упруго-пластических деформациях

Вспомним, что – квадрат минимального радиуса инерции. Тогда формулу (19.10) можно записать так:

называется гибкостью стержня.

Вывод формулы Эйлера основан на применении дифференциального уравнения упругой линии балки. Поэтому использовать эту формулу можно лишь в том случае, когда деформирование материала протекает в соответствии с законом Гука, то есть пока критическое напряжение не превысит предела пропорциональности σпц (по диаграмме сжатия материала):

Используя это соотношение, можно найти условие для определения предельной гибкости стержня λпр, когда еще возможно применение формулы Эйлера:

Например, для малоуглеродистых сталей (E=2·105 МПа, σпц≈200 МПа) предельная гибкость

Итак, при λ>λпр для определения критической силы будем пользоваться формулой Эйлера, если же λ

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Глава 9. УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ

Под действием сжимающей силы стержень может утратить первоначальную форму равновесия и искривиться. Произойдет потеря устойчивости стержня. Наименьшая сила, при которой происходит потеря устойчивости, называется критической и определяется по формуле Эйлера:

где Е – модуль упругости материала стержня;

I_min– минимальный осевой момент инерции сечения стержня;

μ – коэффициент приведения длины, зависящий от способа закрепления концов стержня (рис. 38);

l – длина стержня, μ ∙ l = l_пр – приведенная длина стержня.

Рис. 38. Значения коэффициента μ приведенной длины и критической

силы F_кр для сжатых стержней при различных способах закрепления концов

Напряжения, вызванные критической силой, называются критическими и определяются по формуле Эйлера:

,

где λ – гибкость стержня, , ( – минимальный радиус инерции сечения);

А – площадь поперечного сечения стержня.

Формула Эйлера применима при условии, что критическое напряжение не превышает предела пропорциональности материала . Обычно это условие выражают через гибкость стержня и записывают в виде

где – предельное значение гибкости, которое определяет границу применимости формулы Эйлера.

Формулой Эйлера можно пользоваться, если гибкость стержня , если , то пользоваться формулой Эйлера нельзя.

При значениях гибкости от 0 до 40 50 стержень настолько короткий, что практически разрушается при потере прочности, поэтому критическое напряжение равно пределу текучести: .

При значениях гибкости, лежащих в интервале ,стержень теряет устойчивость, деформируясь в упруго-пластической области, поэтому критическое напряжение определяют по эмпирической формуле Ф. С. Ясинского:

где а, b, с – коэффициенты, зависящие от материала и имеющие размерность напряжения. Они приведены в табл. 12.

Опытные коэффициенты для определения , МПа

Критическая сила является недопустимой для сжатых стержней.

Определение допускаемой сжимающей силы [F] производят двумя способами. Первый способ используется, когда для рассчитываемого стержня известны длина, способ закрепления концов, форма и размеры поперечного сечения, материал, коэффициент запаса на устойчивость. Вначале определяют критическую силу F_кр = s_кр ∙ А, а затем допускаемую силу [F]:

,

где [n_у] – допускаемый коэффициент запаса на устойчивость.

Значения допускаемых коэффициентов запаса на устойчивость [n_у] для различных материалов приведены в табл. 13.

Допускаемые коэффициенты запаса на устойчивость

для различных материалов

Материал	[ny]
Сталь Ст 3	1,8 3
Сталь Ст 5	1,8 3
Чугун	5 5,5
Сосна (сжатие вдоль волокон)	2,8 3,2

Второй способ основан на применении таблиц j (l). Сначала определяют гибкость стержня λ, затем по таблице находят j (l) и вычисляют [F] по формуле

где j – коэффициент уменьшения допускаемого напряжения при сжатии [s_с].

Значения коэффициента j в зависимости от гибкости λ и материала стержня приведены в табл. 14.

Для расчета критического напряжения, критической силы, допускаемой сжимающей силы и коэффициента запаса на устойчивость

можно использовать блок-схему, представленную на рис. 39.

Значение коэффициента продольного изгиба j (l)

для различных материалов

Практически расчет на устойчивость ведется с использованием коэффициента j – коэффициента уменьшения допускаемого напряжения при сжатии [s_с].

Условие устойчивости имеет вид

Расчет на устойчивость сводится к недопущению потери устойчивости, т.е. искривления стержня.

Подбор поперечного сечения стержня при заданных длине, сжимающей силе и материале выполняется с использованием таблиц значений j (l) методом последовательных приближений в следующем порядке.

1. Задают произвольное значение j. Например, полагают j = 0,5.

2. Вычисляют допускаемое напряжение на устойчивость:

3. Определяют площадь поперечного сечения из условия

4. Подбирают размеры сечения или номер профиля. Вычисляют

площадь А, минимальный момент инерции I_min, минимальный радиус инерции i_minпоперечного сечения.

5. Определяют гибкость стержня l.

6. Если гибкость стержня l > 220, то считают, что заданная сила

F равна допускаемой [F]:

,

где F_кр – критическая сила (определяется по формуле Эйлера), а n_у – коэффициент запаса на устойчивость (выбирается по табл. 13).

Тогда можно определить значение наименьшего момента инерции I_min по формуле

.

7. Если гибкость стержня l 220, то для полученной гибкости

8. Вычисляют действующее напряжение s = .

9. Вычисляют допускаемое напряжение [s_у] = j и ∙[s_с].

10. Сравнивают действующее напряжение с допускаемым, вычисляя относительную разницу k: k = .

11. Если k > 0, то имеем недонапряжение, если k 5%, то в качестве второго приближения берут

j₂ = j + j и и повторяют расчет, пока не будет выполняться условие |k| £ 5%.

Подбор сечения по изложенному алгоритму представлен в виде

В сопротивлении стержней продольному изгибу основную роль

играет гибкость стержня и, следовательно, величина наименьшего радиуса инерции сечения, поэтому существенным является вопрос не только величины площади сечения, как при расчете на прочность, но и формы поперечного сечения.

Для наиболее оптимального выбора сечения необходимо

конструировать сечение так, чтобы при определенной площади

величина наименьшего радиуса инерции была бы возможно большей. Для этого прежде всего следует стремиться к тому, чтобы центральные моменты инерции сечения были равны. Такой стержень будет оказывать одинаковое сопротивление потере устойчивости в любом направлении.

Далее, необходимо стремиться к получению при данной площади

наибольших центральных моментов инерции. Для этого надо разместить материал сечения по возможности дальше от центра тяжести. Этим условиям хорошо удовлетворяют трубчатое сечение или сечение, составленное из двух швеллеров, раздвинутых на определенное расстояние.

На выбор материала для сжатых стержней влияют два фактора:

Источник