в чем смысл апорий зенона
Философский смысл парадоксов (апорий) Зенона Элейского
Автор: Пользователь скрыл имя, 14 Апреля 2013 в 21:53, реферат
Краткое описание
Парадо́кс (от др.-греч. παράδοξος — неожиданный, странный от др.-греч. παρα-δοκέω — кажусь) — ситуация (высказывание, утверждение, суждение или вывод), которая может существовать в реальности, но не имеет логического объяснения. Следует различать парадокс и апорию. Апория, в отличие от парадокса, является вымышленной, логически верной, ситуацией (высказыванием, утверждением, суждением или выводом), которая не может существовать в реальности [3].
Файлы: 1 файл
Философский смысл парадоксов (апорий) Зенона.doc
Я.Е. Журавлев, Н.И. Карпекова, ОмГТУ, НХИ, БТ-211
Научный руководитель – ст. преп., к.ф.н. Е.А. Колмакова
Философский смысл парадоксов (апорий) Зенона Элейского
Парадоксы Зенона «…вызвали такое волнение,
что и сейчас можно наблюдать некоторую рябь»
Д. Я. Стройк, Краткий очерк истории математики,
М., «Наука», 1964 г., с. 53.
Зенон сформулировал ряд апорий («неразрешимых положений»), показав – говоря современным языком – что в них считаются совпадающими два процесса: само физическое движение и возникновение в нашем сознании последовательности его отдельных фрагментов, а это ведёт к логическим противоречиям [1].
Парадо́кс (от др.-греч. παράδοξος — неожиданный, странный от др.-греч. παρα-δοκέω — кажусь) — ситуация (высказывание, утверждение, суждение или вывод), которая может существовать в реальности, но не имеет логического объяснения. Следует различать парадокс и апорию. Апория, в отличие от парадокса, является вымышленной, логически верной, ситуацией (высказыванием, утверждением, суждением или выводом), которая не может существовать в реальности [3].
«Из 45 апорий, выдвинутых Зеноном, до нас дошло 9. Классическими являются пять апорий, в которых Зенон анализирует понятия множества и движения. Первую, получившую название «апория меры», Симпликий излагает следующим образом: «Доказав, что, «если вещь не имеет величины, она не существует», Зенон прибавляет: «Если вещь существует, необходимо, чтобы она имела некоторую величину, некоторую толщину и чтобы было некоторое расстояние между тем, что представляет в ней взаимное различие».
Другими словами, если деление вещи пополам сохраняет её качество, то в пределе получаем, что вещь одновременно и бесконечно велика (поскольку неограниченно делима), и бесконечно мала. Кроме того, непонятно, как существующая вещь может иметь бесконечно малые измерения
Аргумент Зенона, вероятнее всего, направлен против пифагорейского представления о том, что тела «состоят из чисел» [1].
В апориях Зенона на движение (Ахиллес и Дихотомия) предполагается, что время и пространство непрерывны и неограниченно делимы; Зенон показывает, что это допущение приводит к логическим трудностям. Третья апория («Стрела»), напротив, рассматривает время как дискретное, составленное из точек-моментов
Внутренние противоречия понятия о движении ярко выявляются в знаменитой апории «Ахиллес»: быстроногий Ахиллес никогда не может догнать черепахи. Почему? Всякий раз, при всей скорости своего бега и при всей малости разделяющего их пространства, как только он ступит на место, которое перед тем занимала черепаха, она несколько продвинется вперед. Как бы ни уменьшалось пространство между ними, оно ведь бесконечно в своей делимости на промежутки и их надобно все пройти, а для этого необходимо бесконечное время. И Зенон, и мы прекрасно знаем, что не только Ахиллес быстроногий, но и любой хромоногий тут же догонит черепаху [2].
Апория «Дихотомия»: предмет, движущийся к цели, вначале должен пройти половину пути к ней, а чтобы пройти эту половину, он должен пройти ее половину и т.д., до бесконечности. Стало быть, тело не достигнет цели, т.к. путь его бесконечен. Название «Дихотомия» (по-гречески: деление пополам) дано Аристотелем.
Апория «Летящая стрела»: Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.
Аристотель указывает, что Зенон бесконечно делимое смешивает с бесконечно большим. Зенон рассматривает пространство как сумму конечных отрезков и противопоставляет ему бесконечную непрерывность времени [3].
О Зеноне Элейском и его парадоксах, написано уже так много, что вряд ли ещё раз требуется возвращаться к сформулированным им еще в V в. до н. э. «трудным вопросам» (апориям), относящимся к отображению движения в науке и к понятию «множества» (к соотношению непрерывного и дискретного).
С тех пор апории Зенона не переставали интересовать математиков и философов. Однако вплоть до наших дней на их счёт существуют самые разнообразные мнения: от совершенно-пренебрежительного отношения к ним до признания того, что они относятся к наиболее важным и трудным вопросам обоснования математики и физики.
Так, известному французскому математику Полю Леви парадокс об Ахиллесе и черепахе представляется очевидной нелепостью.
Таким образом, элеатам не удалось доказать, что движения нет. Они своими тонкими рассуждениями показали то, что едва ли кто из их современников осмысливал,– что такое движение? Сами они в своих размышлениях поднялись на высокий уровень философских поисков тайны движения. Однако они не смогли разорвать путы исторической ограниченности развития философских воззрений. Нужны были какие-то особые ходы мысли. Эти ходы нащупывали основоположники атомизма.
Апории Зенона
Проблема бесконечности и развитие античной диалектики
Зенон выдвинул ряд парадоксальных положений, которые получили название апорий («апория» в переводе с греческого означает «затруднение», «безвыходное положение»). С их помощью он хотел доказать, что бытие едино и неподвижно, а множественность и движение не могут быть мыслимы без противоречия, и потому они не суть бытие.
Первая из апорий — «Дихотомия» (что в переводе с греческого означает «деление пополам») доказывает невозможность мыслить движение. Зенон рассуждает так: чтобы пройти какое бы то ни было, пусть самое малое расстояние, надо сначала пройти его половину и т. д. без конца, поскольку любой отрезок линии можно делить до бесконечности. И в самом деле, если непрерывная величина (в данном случае — отрезок линии) мыслится как актуально данное бесконечное множество точек, то «пройти», «просчитать» все эти точки ни в какой конечный отрезок времени невозможно.
Группа ВКонтакте — Философия одной Души
На том же допущении актуальной бесконечности элементов непрерывной величины основана и другая апория Зенона — «Ахиллес и черепаха». Зенон доказывает, что быстроногий Ахиллес никогда не сможет догнать черепаху, потому что, когда он преодолеет разделяющее их расстояние, черепаха проползет еще немного, и так всякий раз до бесконечности.
В третьей апории — «Стрела» — Зенон доказывает, что летящая стрела на самом деле покоится и, значит, движения опятьтаки на самом деле нет. Он разлагает непрерывность времени на сумму дискретных (неделимых) моментов, отдельных «теперь», а непрерывность пространства — на сумму отдельных неделимых отрезков. В каждый момент времени стрела, согласно Зенону, занимает определенное место, равное ее величине. Но это означает, что она в каждый момент неподвижно покоится, ибо движение, будучи непрерывным, предполагает, что предмет занимает место большее, чем он сам. Значит, движение можно мыслить только как сумму состояний покоя, и, стало быть, никакого движения нет, что и требовалось доказать. Таков результат, вытекающий из допущения, что протяженность состоит из суммы неделимых «мест», а время — из суммы неделимых мгновений. Движение ведь предполагает бесконечную делимость как пространства, так и времени.
Таким образом, как из допущения бесконечной делимости (которая, видимо, по Зенону, предполагает актуально бесконечное множество «точек» в любом отрезке), так и из допущения неделимости отдельных моментов времени Зенон делает один и тот же вывод: ни множество, ни движение не могут быть мыслимы без противоречия, а поскольку для элеатов бытие и мышление — одно и то же, тождественны, то движение и множественность не существует поистине, а только во мнении.
Парадоксы Зенона нередко рассматривались как софизмы, сбивающие людей с толку и ведущие к скептицизму. Характерно одно из опровержений Зенона философом Антисфеном. Выслушав аргументы Зенона, Антисфен встал и начал ходить, полагая, что доказательство действием сильнее всякого словесного возражения.
Несмотря на то что с точки зрения здравого смысла апории Зенона могут восприниматься как софизмы, на самом деле это — не просто игра ума: впервые в истории человеческого мышления здесь обсуждаются проблемы непрерывности и бесконечности. Зенон сформулировал вопрос о природе континуума, который является одним из «вечных вопросов» для человеческого ума.
Апории Зенона сыграли важную роль в развитии античной диалектики, как и античной науки, особенно логики и математики. Диалектика единого и многого, конечного и бесконечного составляет одну из наиболее важных заслуг Платона, в чьих диалогах мы находим классические образцы древнегреческой диалектики. Интересно, что понятие актуально бесконечного, введенное Зеноном для того, чтобы с его помощью доказать от противного основные положения онтологии Парменида, было исключено из употребления как в греческой философии (его не признавали ни Платон, ни Аристотель), так и в греческой математике. И та, и другая оперировала понятием потенциальной бесконечности, то есть бесконечной делимости величин, но не признавала их составленности из бесконечно большого числа актуально данных элементов.
Итак, в понятии бытия, как его осмыслили элеаты, содержится три момента: 1) бытие есть, а небытия нет; 2) бытие едино, неделимо; 3) бытие познаваемо, а небытие непознаваемо: его нет для разума, а значит, оно не существует.
Понятие единого играло важную роль также у пифагорейцев. Последние объясняли сущность всех вещей с помощью чисел и их соотношений, тем самым способствуя становлению и развитию древнегреческой математики. Началом числа у пифагорейцев выступало единое, или единица («монада»). Определение единицы, как его дает Евклид в VII книге «Начал», восходит к пифагорейскому: «Единица есть то, через что каждое из существующих считается единым». Единое, согласно пифагорейскому учению, по своему статусу выше множественности; оно служит началом определенности, дает всему предел, как бы стягивая, собирает множественное. А там, где налицо определенность, только и возможно познание: неопределенное — непознаваемо.
АПОРИИ ЗЕНОНА: НОВЫЙ ВЗГЛЯД
AS: после окончания решения апорий приведены их цитаты в русском переводе из первоисточника («Физика» Аристотеля).
Жизнь требует движения
(«Афоризмы, цитаты,
высказывания великих людей»,
http://www.wisdoms.ru/36.html)
«Ахиллес и черепаха, Дихотомия
Самое быстрое существо не способно догнать самое медленное, быстроногий Ахиллес никогда не настигнет медлительную черепаху. Пока Ахиллес добежит до черепахи, она продвинется немного вперёд. Он быстро преодолеет и это расстояние, но черепаха уйдёт ещё чуточку вперёд.
И так до бесконечности. Всякий раз, когда Ахиллес будет достигать места, где была перед этим черепаха, она будет оказываться хотя бы немного, но впереди.
В «Дихотомии» обращается внимание на то, что движущийся предмет должен дойти до половины своего пути прежде, чем он достигнет его конца. Затем он должен пройти половину оставшейся половины, затем половину этой четвёртой части и т.д. до бесконечности. Предмет будет постоянно приближаться к конечной точке, но так никогда её не достигнет.
Это рассуждение можно несколько переиначить. Чтобы пройти половину пути, предмет должен пройти половину этой половины, а для этого нужно пройти половину этой четверти и т.д. Предмет в итоге так и не сдвинется с места.» Конец цитаты (Ивин А.А. Логика. – 1998, глава 7 «Софизмы», параграф 2 «Апории Зенона», http://culture.niv.ru/doc/logic/ivin/027.htm).
«Дихотомия («разделение надвое» – моё пояснение)
Чтобы преодолеть путь, нужно сначала преодолеть половину пути, а чтобы преодолеть половину пути, нужно сначала преодолеть половину половины, и так до бесконечности. Эта апория основана на бесконечной делимости пространства и предположении, что для совершения бесконечного количества действий необходимо бесконечное время.
Из-за того, что парадокс сформулирован словесно, а потому допускает различные толкования, имеются разные объяснения, но математическое объяснение гласит: «Так как меньшие отрезки проходятся за меньшее время, то общее время равно сумме сходящегося ряда 1/2+1/4+1/8+…, то есть единице»
Ахиллес и черепаха
Быстроногий Ахиллес никогда не догонит черепаху, если в начале движения черепаха находилась впереди на некотором расстоянии от него.
Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится от неё на расстоянии в 1 километр. За то время, за которое Ахиллес пробежит этот километр, черепаха отползёт на 100 метров. Когда Ахиллес пробежит 100 метров, черепаха проползёт ещё на 10 метров, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.
Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она занимает равное себе положение, то есть покоится; поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится во все моменты времени, то есть, покоится всегда.
Эта апория направлена против представления о непрерывной величине как о сумме бесконечного числа неделимых частиц.
Современные представления рассматривают стрелу в пространстве с введёнными скоростными размерностями и тем самым решают софизм. В таком пространстве движущийся объект не идентичен неподвижному. Впрочем, с точки зрения современной науки, в этой апории есть доля правды». Конец цитаты («Википедия», http://ru.wikipedia.org/wiki, статьи – одноимённые апории).
«Стадион или Стадий
(от греч. stadion) – древнегреческая мера длины от 150 до 190 м.
Если два тела движутся друг к другу с одинаковой скоростью, то они встретятся на половине пути через определённый промежуток времени; если же одно из них будет двигаться с той же скоростью, а другое покоиться, то они встретятся через промежуток времени, вдвое больший. Одно время может быть равно двойному времени. Следовательно, движение, т.е. приближение одного тела к другому, будет разным по времени в зависимости от точки зрения на него, т.е. само по себе оно вовсе не есть движение » (Миргородский А. И./Апории Зенона и квантовой
Другая формулировка:
«Пусть есть три группы предметов, одинаковых по количеству (N штук). Один ряд «A» стоит на месте. Второй ряд «B» марширует мимо него слева направо, а третий ряд «C» марширует мимо первого ряда справа налево. Пусть ряд «B» минует за один кадр одного из ряда «A», так что ему требуется N кадров. Также ряду «C» надо N кадров, чтобы пройти мимо ряда «B». Но второй и третий ряды маршируют навстречу друг другу, так что должны миновать друг друга за время, вдвое меньшее – N/2 кадров.» («Апории Зенона», Мирослав Войнаровский. Психологика. – 2002, http://psi-logic.narod.ru/psi/zenon.htm).
«Этим простеньким на вид рассуждениям посвящены сотни философских и научных работ. В них десятками разных способов доказывается, что допущение возможности движения не ведёт к абсурду, что наука геометрия свободна от парадоксов и что математика способна описать движение без противоречия.
Обилие опровержений доводов Зенона показательно. Не вполне ясно, в чём именно состоят эти доводы, что они доказывают. Не ясно, как это «что-то» доказывается и есть ли здесь вообще доказательство? Чувствуется только, что какие-то проблемы или затруднения всё-таки есть. И прежде чем опровергать Зенона, нужно выяснить, что именно он намеревался сказать и как он обосновывал свои тезисы. Сам он не формулировал прямо ни проблем, ни своих решений этих проблем. Есть, в частности, только коротенький рассказ, как Ахиллес безуспешно пытается догнать черепаху.
Рассуждения Зенона сейчас, надо думать, окончательно выведены из разряда хитроумных уловок. Они, по словам Б. Рассела, «в той или иной форме затрагивают основания почти всех теорий пространства, времени и бесконечности, предлагавшихся с его времени до наших дней»…
…открывается неожиданная и неясная глубина, в которой смутно угадывается какой-то вопрос или даже многие вопросы. Трудно сказать с определённостью, в чём именно состоят эти вопросы, их ещё предстоит уяснить и сформулировать, но очевидно, что они есть». Конец цитаты (Ивин А.А. Логика. – 1998, глава 7 «Софизмы», параграф 2 «Апории Зенона», http://culture.niv.ru/doc/logic/ivin/027.htm).
«Этот парадокс возникает в результате того, что Зенон в своих рассуждениях нарушает 4-ый закон формальной логики: закон достаточного основания, который гласит, что все рассуждения должны строиться на истинном основании, относительно которого понятия и суждения определены однозначно. В физике всякое прямолинейное движение тела описывается законом, который выражается в форме S = vt, путь, пройденный телом, равен его скорости помноженной на время, которое оно затрачивает на его прохождение. Используя эту форму, мы в любое время можем определить положение движущегося тела относительно начальной точки. Зенон же в своих рассуждениях пытается определить положение движущегося тела, основываясь на прохождении телом отдельных участков пути безотносительно к его скорости и времени его движения, что является явным нарушением закона прямолинейного движения, которое и приводит его к неправильному умозаключению.
Для более доступного понимания я приведу другой пример, основанный на той же ошибке, но которая является очевидной. Подсчитать рост 50 летнего человека, если предположить, что в среднем человек за год вырастает на 10 см. Согласно логике рост этого человека будет 50 лет х 10 см = 5 метров, но в реальности рост этого человека будет 170-180 см. В чём ошибка нашей логики? Ошибка нашей логики состоит в том, что наши расчеты построены на ложном достаточном основании, которое исходит из того, что человек растёт всю жизнь, хотя в реальности человек растёт до 18-20 лет согласно закону его биологического развития». Конец цитаты (Илья Ставинский/ Тайна логических парадоксов разрешена от 12/02/2007,
«2. Ахиллес догнал черепаху
Зенон, конечно, понимал, что если стрела летит из пункта A в пункт B со скоростью v, а расстояние между A и B равно S, то время полета будет t = S/v. Надеемся, Зенон понимал, что если отрезок S разделить пополам, а потом половину ещё пополам и т.д., то от этого длина отрезка S не увеличится. Но, видимо, абстрактное мышление в Древней Греции не было развито достаточно для того, чтобы перенести это рассуждение на отрезок времени, t. Зенон считал, что если отрезок t разделить пополам, а потом половину ещё пополам и т.д., то от этого деления длина отрезка t увеличится до бесконечности.
В качестве примера здравых оценок парадоксов Зенона приведём высказывание известного французского математика Поля Леви (P. L’evy). В 1959 году он писал: «Как можно воображать себе, что время остановится из-за того, что некий философ занимается перечислением членов бесконечного ряда. Признаюсь, я никогда не понимал, как люди, в других отношениях весьма разумные, могут оказаться смущёнными подобными парадоксами. Мой теперешний ответ есть тот самый, который я дал, когда мне было 11 лет, старшему, рассказавшему мне этот парадокс. Я резюмировал тогда такой немногословной формулой: «Этот грек был идиотом». Я знаю теперь, что нужно выражать свои мысли в более вежливой форме и что, возможно, Зенон излагал свои парадоксы только для того, чтобы проверить разумность своих учеников. Но моё удивление перед умами, смущаемыми сходящимся рядом, осталось тем же.»
Заметим, что Гегель высоко отзывался о Зеноне: «Особенность Зенона – диалектика. Он – зачинатель диалектики. У Зенона мы находим истинно объективную диалектику»». Конец цитаты (Р.И.Храпко/ Логические парадоксы в физике и математике// эл. журнал «Труды МАИ» №3 16.0.2.2001, часть 2 «Ахиллес догнал черепаху»,
«…Д. Гильберт и П. Бернайс: «Обычно этот парадокс пытаются обойти рассуждением о том, что сумма бесконечного числа этих временных интервалов всё-таки сходится и, таким образом, даёт конечный промежуток времени. Однако это рассуждение абсолютно не затрагивает один существенно парадоксальный момент, а именно парадокс, заключающийся в том, что некая бесконечная последовательность следующих друг за другом событий, последовательность, завершаемость которой мы не можем себе даже представить (не только физически, но хотя бы в принципе), на самом деле всё-таки должна завершиться».» (Реферат по математической логике «Логические парадоксы», http://works.tarefer.ru/46/100041/index.html).
Александр Архипович Ивин абсолютно прав, сказав об обилии многочисленных предложенных решений апорий, опровержений доводов Зенона. Ведь, с одной стороны, их количество действительно поражает. Потому что, с другой стороны, доводы Зенона довольно просты для понимания. Но тем не менее одни предложенные опровержения могут быть не такими однозначными и понятными, как тезисы Зенона, а другие вовсе с ними не соглашаться и приводить собственные основания для доказательства неправоты Зенона. Видимо, потому что авторы опровержений не вполне осознают суть доводов Зенона. Поэтому далее Ивин и пишет: «Не вполне ясно, в чём именно состоят эти доводы, что они доказывают. Не ясно, как это «что-то» доказывается и есть ли здесь вообще доказательство?». Я добавлю, что авторы многочисленных решений апорий не столько не осознают суть тезисов, сколько не понимают причины и цели появления апорий. Поэтому Александр Архипович абсолютно прав и в следующих фразах: «И прежде чем опровергать Зенона, нужно выяснить, что именно он намеревался сказать и как он обосновывал свои тезисы…Трудно сказать с определённостью, в чём именно состоят эти вопросы, их ещё предстоит уяснить и сформулировать…»
Апорий Зенона было больше: «Современники упоминали 40 апорий Зенона, до нас дошли 9, из них наиболее известны 4, обсуждаемые у Аристотеля» («Википедия», http://ru.wikipedia.org/wiki, Зенон Элейский). Многочисленные попытки решения этих четырёх самых известных апорий – против движения – в принципе, сводятся к одному типу. Для решения этих «затруднений» привлекаются все имеющиеся физические или другие теории, объясняющие природу пространства, материи, а значит, движения как физического процесса. Понятно, например, приведённое в цитате выше удивление «доцента кафедры физики Московского государственного авиационного института (технического университета) Р. И. Храпко», «Как ни удивительно, но для «разрешения» парадоксов Зенона привлекают квантовую механику». Я с этим недоумением полностью согласен. Но тем более удивительно, что тот же Храпко далее с очевидной интонацией соглашается с известным математиком П. Леви, назвавшим Зенона «идиотом», услышав его апории впервые в 11 лет, и затем не изменившим своё мнение в дальнейшем. С такой же категоричной прямотой и бестактностью я мог бы назвать самого Леви идиотом, но не буду подражать примерам неуважительного отношения к другим. Потому что он, как и все остальные не понимают очевидных для меня вещей: эти четыре апории Зенона против движения, как впрочем, видимо, и другие, отражают не глупость Зенона и других древнегреческих философов, а, во-первых, взгляды на мир их философской школы, и, во-вторых, проблемы нашего понимания собственного мышления.
Все эти «затруднения» хотя и касаются глубинного понимания нами физических явлений мироздания, а именно категорий «пространства» и «времени», но содержат в себе абсолютно другие проблемы. Это проблемы понимания механизмов нашего мышления, а не проблемы понимания физических процессов на конкретном этапе развития науки. Поэтому они и кажутся простыми и даже глупыми многим. И поэтому их решения лежат в области логики, а не в области физики, или математики, или других.
«ДИХОТОМИЯ» и «АХИЛЛЕС И ЧЕРЕПАХА»
Апории Зенона основаны на логических ошибках: «неточность определений», что приводит к неверным «точке опоры выводов» и «исходной посылке» («Логические парадоксы. Пути решения», главы «Ошибки понимания парадоксов – неточность определений», http://proza.ru/2009/04/24/745; «Ошибки понимания парадоксов – точка опоры выводов», http://proza.ru/2009/04/24/826; «Ошибки рассуждения в парадоксах – исходная посылка», http://proza.ru/2009/04/26/341).
Вывод о бесконечности деления пространства, пути, следует из неточного определения «половина чего-либо», основанного на тоже неточном понятии «единица измерения длины». Ведь «половина» – это относительное понятие, которое не имеет под собой однозначного смысла, потому что выражает отношение длины расстояния между конечными пунктами ЛЮБОГО пути к своему срединному пункту. Но «расстояние», «длина» могут быть абсолютно любыми, поэтому «половина» может быть тоже абсолютно любой в математическом выражении. Исходя из этого, для измерения расстояний используется понятие «длины пути (расстояния)», которое вносит ясность и однозначность в сравнение разных расстояний. А оно, в свою очередь, использует за основу понятие «единица измерения». Это фундаментальное, системообразующее понятие не определяется как «любая единица измерения», что привносило бы не однозначность, а наоборот многозначность в его понимание, а только определённый «тип единиц измерения расстояний», включающий в себя, например, «километр», «метр», «дециметр», «сантиметр», «миллиметр» или «верста», «аршин», «локоть», «ладонь», «перст» или другие. Поэтому всегда существует определённый ПРЕДЕЛ в измерении расстояний, отражающий нижний уровень применяемой нами единицы измерения. Из чего следует простой вывод, что в измерении расстояний не может применяться бесконечное измерение расстояний, отражающее бесконечный переход к более мелким «типам единиц измерения», например, переход от метрической системы к микрометрической и далее к определению молекулярных, атомарных и субатомарных расстояний в структуре материи. Другими словами, рассуждение в апории заключает ошибку «подмена основания выводов», основанную на указанных выше ошибках «неточного определения». Это приводит к отсутствию единой «точки опоры выводов», заключающимся в подмене понятия «единица измерения длины пути макромира» на понятие «единица измерения межатомного пространства микромира», то есть переход от геометрии и географии к физике и квантовой механике. Поэтому для разрешения этого и других «затруднений» нужно всего лишь держаться в русле логики, не ныряя в физику или математику, ведь это абсолютно не требуется и только мешает нормальному рассуждению.
Отсюда следует, что деление «длины любого пути» пополам (дихотомия) или же на другие части никаким образом не удлиняет сам путь, его «длину» и, уж тем более, не удлиняет его до бесконечности. Потому что такое деление составляет не бесконечный ряд суммы частей длины пути, который представляют в виде сумм сходящегося ряда 1/2+1/4+1/8+1/N = 1, а конечный ряд, в котором N не равно бесконечности. Этот вывод следует на основании того, что существует нижняя граница деления наибольшей применяемой «единицы измерения длины пути». Например, для «километра» такой границей будет «метр» или даже «миллиметр», для «астрономической единицы» – «километр», «для парсека» – «астрономическая единица» и т.д. Ниже этой границы, используемой в конкретной ситуации, измерение пути, во-первых, бессмысленно относительно валидности – мысленного представления, уяснения протяжённости или сравнения интересующего нас расстояния, – а во-вторых, ошибочно с точки зрения самого процесса измерения «длины». Ведь для измерения применяется геометрия и арифметика, а не физика и квантовая механика, что соответствует рассмотрению нашего уровня мироздания – макромира, – а не рассмотрению микромира.
Ошибочная подмена процесса «измерения длины пути» на процесс «измерения структуры материи» составляет логическую ошибку «применение ложной исходной посылки». Она состоит в том, что искажается понятие «длина пути», принятое изначально как «отражение соотношения пространственного расположения объектов», на понятие «структура материи», точнее на «расстояние между микрочастицами материи» как «отражение пространственного расположения микрочастиц материи».
Значит, рассуждения в «Дихотомии» и в «Ахиллес и черепаха», основаны, по сути, ни на чём, так как основанием рассуждения является пустое, неопределённое понятие «половины» на основании неопределённого понятия «единица измерения». Тем самым, решением апорий является однозначное понимание «единица измерения длины пути» как конечной единицы исчисления длины пути. Из чего следует: «половина пути», а значит, и всё «расстояние», «вся длина» или «ВЕСЬ ПУТЬ», СОСТОИТ НЕ ИЗ БЕСКОНЕЧНОГО КОЛИЧЕСТВА «ПОЛОВИН ПОЛОВИН», А ИЗ КОНЕЧНОГО КОЛИЧЕСТВА «половин половин».
В «Ахиллесе» добавлено ещё одно неточное определение – (черепаха продвинется) «немного вперёд», которое составляет заведомо меньшее количество конечных отрезков длины пути, чем пробегает Ахиллес, за такой же конечный отрезок времени.
Таким образом, однозначное понимание «единицы измерения длины пути» как конечной единицы измерения означает:
1) для «Дихотомии» – конечное расстояние и конечность процесса его измерения или прохождения;
2) для «Ахиллеса и черепахи» – конечное время, за которое он обгонит черепаху, проползающую заведомо меньший конечный отрезок длины пути, чем пробегает Ахиллес.
В этом «затруднении» вывод об отсутствии движения как такового на основании того, что оно состоит из множества «состояний покоя» в каждый конкретный момент времени, ложен, так как основан на ошибке «неточность определения», что приводит к отсутствию единой «точки опоры выводов».
В процессе рассуждения понятие «движение» как перемещение в пространстве относительно какой-либо ОДНОЙ точки отсчёта (системы координат) подменяется на определение движения как перемещение в пространстве относительно МНОГИХ точек отсчёта. Эти самым устраняется единая «точка опоры выводов», на основе которой следует рассуждать для получения истинного логического вывода. Она заменяется многими «точками опоры выводов», исходя из рассмотрения «движения» как положение в пространстве относительно множества точек отсчёта на векторе направления.
Таким образом, точное определение «движения» как перемещение относительно единственной точки отсчёта приводит к истинному выводу – при движении стрела (любой объект) не покоится, а перемещается в пространстве.
В этом «затруднении» рассматривается движение объектов относительно друг друга и относительно третьего объекта или, другими словами, относительно одного и того же расстояния. На основании того, что объекты могут пройти одно и то же расстояние за разное время (встретиться при движении на пути друг другу), делается вывод об относительности времени (так как расстояние принимается неизменным), его изменчивости, а значит, изменчивости и самого движения, то есть об отсутствии неизменного движения как такового.
Этот вывод также ложен, как и предыдущие, потому что основан на тех же ошибках. Понятие «время прохождения объектом пути (или отрезка пути)» в рассуждении подменяется на ошибочное.
Сначала «время прохождения пути объектом» понимается как промежуток времени движения объекта по пути следования с начальной точки отсчёта движения (или момента времени начала движения) до конечной точки отсчёта движения. Начальной и конечной точками не обязательно могут быть начальная и конечная точки расстояния, а например, четверть и середина, треть и 2/3 и т.д., что выделяет интересующий нас в данный момент отрезок пути. Но затем, когда рассматривается движение двух объектов (множества, системы, цепочки объектов) относительно третьего и друг друга, что равносильно рассмотрению их движения вдоль одного пути, то происходит искажение, подмена понятий.
При понимании «движения» как приближения объектов друг к другу происходит подмена понятия «время прохождения пути (расстояния) между двумя объектами» на понятие «время прохождения ОТРЕЗКА ПУТИ ДО МОМЕНТА ВСТРЕЧИ ОБЪЕКТОВ на пути следования друг к другу». Потому что когда покоится один объект, а другой движется к нему, то движущийся объект проходит путь некоторой длины. Но когда оба объекта движутся друг к другу, то каждый из них проходит лишь ЧАСТЬ ТОГО ПУТИ, пройденного движущимся объектом в первый раз (или обоими объектами, если считать что сумма длин их путей включает и нулевую длину пути покоящегося объекта). На основании этой ошибки делается вывод о том, что первая длина пути равна второй, а одно время движения равно другому, вдвое меньшему. Но на самом деле это не так. Часть пути не равна всему пути. Отрицание этого и является ошибкой.
Поэтому, однозначное понимание «длины пути» устраняет и эту ошибку, приводя к однозначному пониманию «времени пути», которые в обоих случаях не равны.
В заключение можно указать, что только однозначная дефиниция даёт возможность однозначного рассуждения и приводит к однозначному выводу, и не только в апориях. И для этого не нужно привлечения каких-либо физических или математических методов, достаточно самой логики для приведения в порядок логических умозаключений.
«Как известно, Зенон сформулировал четыре апории против движения…обратимся к «Физике» Аристотеля (Aristoteles. Physica. Z, 9).
«Есть четыре аргумента Зенона о движении, которые доставляют трудности тем, кто пытается их разрешить. Первый – о невозможности движения, так как перемещающееся [тело] прежде должно дойти до половины, нежели до конца» (239b, 9-13).
«Второй [аргумент] – так называемый «Ахиллес». Он гласит, что медленного [бегуна] никогда не догонит быстрый [бегун], ибо необходимо, чтобы догоняющий прежде достиг [той точки], откуда стартовал убегающий, поэтому более медленный [бегун] по необходимости всегда должен быть чуть впереди» (239b, 14-18).
Третий [аргумент], упомянутый ныне, [гласит], что летящая стрела неподвижна. [Этот вывод] вытекает из предположения, что время слагается из [отдельных] «теперь» (239b, 30-32)