в чем измеряется статический момент плоской фигуры
СОПРОМАТ ОН-ЛАЙН
Меню сайта
Программы по сопромату (построение эпюр, различные калькуляторы, шпоры и другое).
Базовый курс лекций по сопромату, теория, практика, задачи.
1. Геометрические характеристики сечений.
1.1. Статический момент сечения.
При дальнейшем изучении вопросов прочности, жесткости и устойчивости нам придется иметь дело с некоторыми геометрическими характеристиками сечения: статическими моментами, моментами инерции, моментами сопротивления.
Статическим моментом Sx сечения (фигуры) относительно какой-либо оси х (рис.1.1) называется геометрическая характеристика, определяемая интегралом вида
(1.1)
Единицей измерения статического момента является единица длины в третьей степени, обычно см 3 (см в третьей степени). Статический момент может быть положительным, отрицательным и, в частности, равным нулю. Если отождествить площадь с силой, действующей перпендикулярно плоскости чертежа, то интеграл (4.1) можно рассматривать как сумму моментов сил относительно оси х. По известной из теоретической механике теореме о моменте равнодействующей можно написать
(1.2)
Из формулы (1.2) следует формула определения ординаты центра тяжести
Аналогично, статический момент относительно оси у равен
(1.4)
Центр тяжести обладает тем свойством, что если тело опереть в этой точке, то оно будет находиться в равновесии.
Из формулы (1.2) и (1.4) следует, что если оси х и у проходят через центр тяжести фигуры, то статический момент относительно этих осей равен нулю. Такие оси называются центральными осями.
Если фигуру можно представить в виде отдельных простых фигур (квадратов, треугольников и т.д.), для которых известны положения центров тяжести, то в этом случае статический момент всей фигуры можно получить как сумму статических моментов этих простых фигурю Это непостредственно следует из свойств определенного интеграла.
Если фигура имеент ось симметрии, то последняя всегда проходит через центр тяжести фигуры, а потому статический момент фигуры относительно оси симметрии всегда равен нулю.
Во многих случаях вместо простых интегралов вида (1.1) и (1.4) удобнее иметь дело с двойными интегралами вида:
(1.1a)
(1.4a)
Пример 1.1. Определить положение центра тяжести сечения, показанного на рис. 1.2, а.
Решение. Разбиваем сечение на два прямоугольника. Проводим вспомогательные оси х и у.
По формулам (1.3) и (1.5) получим:
Пример 1.2. Вычислить ординату центра тяжести половины круга (рис. 1.2, б).
Решение. Пользуемся формулой
Вычисляем числитель, используя уравнение окружности х 2 + y 2 = R 2 :
Полезные ссылки
iSopromat.ru
Формулы для расчета геометрической характеристики статического момента сечений, плоских фигур и площади:
Рассмотрим сечение (плоскую фигуру) произвольной формы площадью A:
Выделим в нем элементарную площадку dA и зададим систему координат:
Координаты площадки обозначим соответственно как x и y:
Статический момент элементарной площадки:
Суммируя выражения по всей площади фигуры, получим соответственно:
Единица измерения статического момента [м 3 ].
тогда статические моменты относительно осей x и y:
Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах
Решение задач, контрольных и РГР
Стоимость мы сообщим в течение 5 минут
на указанный вами адрес электронной почты.
Если стоимость устроит вы сможете оформить заказ.
Набор студента для учёбы
— Рамки A4 для учебных работ
— Миллиметровки разного цвета
— Шрифты чертежные ГОСТ
— Листы в клетку и в линейку
6.1. Статический момент площади сечения
6.1. СТАТИЧЕСКИЙ МОМЕНТ ПЛОЩАДИ СЕЧЕНИЯ
Статический момент площади – распространенная на всю площадь сумма произведений элементарных площадок dA на расстояние от них до этой оси Это понятие аналогично моменту силы относительно оси. Если предположить, что А – вес пластины, имеющей форму нашего сечения, то статический момент Sz – это момент силы тяжести пластины относительно оси z. Размерность: единицы длины в третьей степени (см3; м3). Знаки: плюс, ноль и минус. Ось центральная – ось, относительно которой статический момент площади равен нулю. Центр тяжести сечения – точка пересечения центральных осей. Если фигура имеет ось симметрии, то эта ось является центральной. Статический момент составного сечения равен сумме статических моментов элементов этого сечения. Это следует из свойства определенного интеграла, который можно вычислять по частям – свойство аддитивности (от англ. add – прибавлять, присоединять, складывать). При известных статических Рис. 6.2. Связь знака статического момента площади с его положением в координатной системе моментах частей сечения можно найти координаты центра тяжести состав- ной фигуры: Пример 6.1. Определить положение центральных осей, параллельных основанию и высоте фигуры. Решение Разбиваем сложную фигуру на две простые, в конкретном примере – на два прямоугольника. Их центры тяжести расположены посредине высоты и посредине ширины. Координаты центров тяжести и площади простых фигур Статические моменты площадей простых фигур Координаты центра тяжести составной фигуры Через найденную точку проводим центральные оси zC и yC, параллельные основанию фигуры и ее высоте. Примечание. Центр тяжести фигуры, составленной из двух частей, лежит на линии, соединяющей центры тяжести простых фигур ее составляющих, причем расстояния до них обратно пропорциональны площадям простых фигур. Если сложная фигура составлена из нескольких простых, то общий центр тяжести находится внутри многоугольника, вершинами которого являются центры тяжести простых фигур.
Геометрические характеристики плоских сечений. Определение координат центра тяжести фигуры.
Момент инерции — скалярная физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси (масса тела является мерой его инертности в поступательном движении). Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции(мех. системы) равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).
, где: mi— масса i-й точки, ri — расстояние от i-й точки до оси.
Осевым моментом инерции плоской фигуры относительно оси, лежащей в той же плоскости, называется взятая по всей площади сумма произведений площадей элементарных площадок на квадрат расстояний от них до этой оси
Осевой момент инерции обозначается I с индексом, соответствующим оси:
Ix = Σ y 2 dA; Iy = Σ x 2 dA.
Если сложить осевые моменты инерции плоской фигуры относительно перпендикулярных осей, то получим полярный момент инерции этой фигуры относительно точки пересечения этих осей (начала координат), т. е. :
Статическим моментом площади плоской фигуры относительно оси, лежащей в той же плоскости, называется взятая по всей площади сумма произведений элементарных площадок на расстояния от них до этой оси.
Статический момент площади плоской фигуры обозначают S с индексом оси, относительно которой он рассматривается: Sx, Sy, Sz. Sx = Σy dA; Sy = Σ x dA, где еще раз говорю, что y и x – расстояния от площадок до оси. Единица измерения: [см 3 ] [м 3 ]
Полярный момент инерции — интегральная сумма произведений площадей элементарных площадок dA на квадрат расстояния их от полюса — ρ 2 (в полярной системе координат), взятая по всей площади сечения.
Эта величина используется для прогнозирования способности объекта оказывать сопротивление кручению. Она имеет размерность единиц длины в четвёртой степени (м4, см4) и может быть лишь положительной.
Если совместить начало декартовой прямоугольной системы координат 0 с полюсом полярной системы (см. рис.), то
Jp0 = Jx + Jy, потому что ρ 2 = x 2 + y 2
Полярный момент инерции используется в формулах, которые описывают зависимость между касательными напряжениями и крутящим моментом, который их вызывает. Касательное напряжение:
T — крутящий момент, r — расстояние от оси кручения,Jp0 — полярный момент инерции.
Центробежными моментами инерции тела по отношению к осям прямоугольной декартовой системы координат называются следующие величины:
где x, y и z — координаты малого элемента тела объёмом dV, плотностью ρ и массой dm.
Ось OX называется главной осью инерции тела, если центробежные моменты инерции Jxy и Jxz одновременно равны нулю. Через каждую точку тела можно провести три главные оси инерции. Эти оси взаимно перпендикулярны друг другу. Моменты инерции тела относительно трёх главных осей инерции, проведённых в произвольной точке O тела, называются главными моментами инерции данного тела.
Главные оси инерции, проходящие через центр масс тела, называются главными центральными осями инерции тела, а моменты инерции относительно этих осей — его главными центральными моментами инерции. Ось симметрии однородного тела всегда является одной из его главных центральных осей инерции.
Оси, относительно которых центробежный момент равен нулю называются главными( осевые моменты принимают экстремальные значения).
Центром тяжести твердого тела называется геометрическая точка, жестко связанная с этим телом, и являющаяся центром параллельных сил тяжести, приложенных к отдельным элементарным частицам тела.
Для однородного тела положение центра тяжести тела не зависит от материала, а определяется геометрической формой тела.
Координаты центра тяжести.Зная площадь сечения и его статические моменты можно определить координаты центра тяжести по следующим формулам:
Статический момент площади плоской фигуры относительно оси
Статический момент площади плоской фигуры относительно оси
координаты их центроида: ^=1^-= Людмила Фирмаль
международной системе единиц измерения (Си) статический момент измеряется в кубических метрах (м3). Выражение (7.9)можно использовать для перезаписи выражения (7.7)для определения координат центроида плоскости: xc=Sy / a t US=$x!А — (7.Ага.) Если 64XC и XC равны нулю, то выбранные координатные оси проходят через
центроид фигуры и называются центральной координатной осью. В этом случае, поскольку D=y=OO, s y и Sx равны нулю. Таким образом, статический момент площади относительно центральной оси равен
центра тяжести до оси (рис.). 7.2). =^=DGS. (7.11) Используя формулу (7.11), можно определить статический момент площади данной фигуры относительно любой оси, если известно положение центра тяжести. Статический момент площади любой формы для
любой оси равен сумме статических моментов отдельных деталей для одной и Людмила Фирмаль
той же оси(рис. 7.2). — ■2л / Л=+^2+ • • •+ A p * p=
Образовательный сайт для студентов и школьников
Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института