число образующих n в отводе что такое

Рис. 1.6. Схема кривой охлаждения сплава (0,5% С) и образования

его равновесной ферритно-перлитной структуры

По достижении температуры точки 3 (рис. 1.6) посредством перестройки ГЦК решетки в ОЦК решетку аустенит начинает превращаться в феррит. Это происходит практически одновременно в каждом зерне аустенита. Причем, концентрация углерода в образующемся феррите, в соответствии с его природой, определяется кривой PG диаграммы состояния. Поскольку в интервале температур 3–4 в аустените появляется и количественно растет ферритная составляющая с явно меньшим содержанием растворенного углерода, чем в анализируемом сплаве, концентрация углерода в убывающем количественно аустените увеличивается. Ее изменения описываются кривой GS диаграммы (рис. 1.6).

В итоге, при температуре точки 4 в пределах границ каждого первичного зерна аустенита в равновесии окажутся феррит состава точки P и остаток аустенита состава точки S.

Последующий отвод тепла нарушит устойчивость остатка аустенита и он претерпит диффузионное эвтектоидное превращение в перлит по схеме:

Процесс совершается с выделением тепловой энергии и поэтому протекает на отрезке изотермы 4-4′ (рис. 1.6). Охлаждение ниже точки 4′ практически не изменит образовавшейся структуры. Она состоит из феррита и перлита.

Подобная структура типична для любого доэвтектоидного сплава. Причем по мере увеличения концентрации углерода монотонно растет количество перлитной составляющей и убывает количество ферритной составляющей. При содержании углерода, равном 0,8%, сплав имеет чисто перлитную структуру (рис. 1.7,а).

В заэвтектоидных сплавах их равновесное охлаждение ниже сольвусаES сопровождается образованием вторичного цементита, образующего оболочку вокруг первичного аустенитного зерна. Затем аустенит превращается в перлит. Поэтому любой заэвтектоидный сплав со структурой из зерен перлита, окаймленных оболочкой вторичного цементита. Под микроскопом вторичный цементит виден в форме сетки (рис. 1.7,б).

Рис. 1.7. Схемы структур эвтектоидной (а) и заэвтектоидной (б) стали

Расчёт количества структурных составляющих и фаз

В качестве примера рассмотрим расчёт весового количества структурных составляющих и фаз с помощью правила отрезков в заэвтектоидной стали с 0,4 % углерода при 600 °С (рис. 6.13).

Содержания структурных составляющих определяются последова-тельно по мере их образования в процессе охлаждении сплава с применением правила отрезков для двух сосуществующих фаз или структурных составляющих по конодеA₁K₁C₁ и A₂K₂C₂.Величину отрезков будем измерять в процентах углерода. Считаем, что концентрация в точке P 0,02% углерода.

Количество структурных составляющих в точке K₁с содержанием углерода 0.7 % и температурой 850 0 С:

Определим структурный состав в точке K₂ c 0.4 % С и температурой 600 0 С.

П

Вывод: диаграмма железо-цементит позволяет определить фазовый состав

Источник

Система образующих. Конечное число образующих

Однако не всякая группа имеет один образующий элемент. Есть группы, которые порождаются не одним, а с необходимостью несколькими (иногда бесконечным числом) элементами; и понятию одного образующего элемента приходит на смену понятие системы образующих. Очевидно, совокупность всех элементов какой-нибудь группы есть (тривиальная) система образующих этой группы.

Определение 1

Некоторое множество E элементов группы G называется системой образующих этой группы, если всякий элемент группы G есть произведение конечного числа сомножителей, каждый из которых либо есть элемент множества E, либо является обратным некоторому элементу множества E.[10]

Или говорят, что группа G порождается своим подмножеством E или что E — система порождающих (элементов) группы G, если G = <E>.

Примеры

Рассмотрим плоскость с выбранной на ней системой декартовых координат. Обозначим через G множество тех точек Р = (х, у), обе координаты которых х и у — целые числа. Установим следующее правило сложения точек: суммой двух точек Р₁ = (x₁, y₁) и Р₂ = (х₂, у₂) называется точка Р₃ = (х₃, у₃) с координатами х₃ = х₁ + х₂ и y₃ = y₁ + y₂. Можно легко убедится, что это определение сложения превращает множество G в коммутативную группу и что точки (0, 1) и (1; 0) составляют систему образующих этой группы[11].

Замечание

Всякая группа имеет систему образующих.

Теорема

Множество E тогда и только тогда будет системой образующих группы G, если всякий элемент из G может быть записан хотя бы одним способом в виде произведения числа степеней элементов из E.

Определение 2

Если группа G обладает системой образующих, состоящей из конечного числа элементов, то G называется группой с конечным числом образующих.

Примеры

1. Циклическая группа — группа с одной образующей.

2. Группа всех n-мерных векторов с целочисленными координатами с операцией сложения имеет стандартную систему образующих e = , где — вектор, у которого единственная ненулевая координата — i-ая, равная 1.

3. Система <3,7>— является системой образующих группы .

Замечание 1

Всякая система образующих группы с конечным числом образующих содержит конечное подмножество, являющееся неприводимой системой образующих этой группы.

Так как конечная система образующих всегда может быть сделана неприводимой путем удаления лишних элементов, то нужно лишь доказать, что при наших предположениях всякая бесконечная система образующих содержит конечное подмножество, также являющееся системой образующих для рассматриваемой группы. Пусть G есть группа с образующими а₁, а_2,…, а_n ,

Заметим, что различные неприводимые системы образующих группы с конечным числом образующих могут содержать, вообще говоря, различное число элементов. Например, в циклической группе можно выбрать неприводимые системы образующих, состоящие более чем из одного элемента. Так, систему образующих для аддитивной группы целых чисел составляют, например, числа 2 и 3.

Замечание 2

Всякая бесконечная группа с конечным числом образующих является счетной.

Действительно, если элементы а₁, а_2,…, а_n являются образующими для группы G, то всякий элемент этой группы может быть записан виде произведения

(вообще говоря, многими различными способами); всякое i_k есть одно из чисел 1, 2,…, n, причем возможно, что i_k = i_l при k ≠ l. Будем называть длиной этого произведения сумму абсолютных величин показателей:

Легко видеть, что существует лишь конечное число произведений степеней образующих элементов а₁, а_2, …, а_n данной длины h. Множество всех произведений степеней этих элементов будет, следовательно, суммой счетного множества, т.е. счетным, а поэтому и группа G будет не более чем счетной[12].

Существуют счетные группы, не имеющие конечных систем образующих. Примером таких групп являются числа , составляющие систему образующих для аддитивной группы рациональных чисел R.

Группы с конечным числом образующих составляют, следовательно, класс групп, промежуточный между конечными и счетными группами.

Примеры

1. Примером группы с двумя образующими служит таблица умножения группы самосовмещений равностороннего треугольника.

2. Знакопеременная группа А_n порождается множеством 3-циклов.

3. Группа поворотов С_n порождается одним поворотом t = 2p/n. А группа диаэдра D_n — поворотом t и отражением r относительно одной из осей.[13]

Два важных примера систем образующих содержатся в приводимых ниже теоремах.

Подстановка, являющаяся циклом длины 2, называется транспозицией[14].

Теорема 1

Группа S_n порождается транспозициями.

Доказательство

Отметим, что каждая транспозиция обратна сама себе. Поэтому утверждение теоремы означает, что любая подстановка разлагается в произведение транспозиций.

.

слева на транспозицию (ij) вызывает перестановку i и j в нижней строке. Такая операция также называется транспозицией. Очевидно, что путем последовательных транспозиций любую перестановку (k₁, k₂, …, k_п)можно привести к тривиальной: сначала, если k₁ ¹ 1, меняем местами k₁ и 1, ставя тем самым 1 на первое место, затем ставим 2 на второе место и т.д. Таким образом, существуют такие транспозиции t₁, t₂,…, t_n что

Теорема 2

Группа QL_n(K) порождается элементарными матрицами[15].

Доказательство

Отметим, что матрица, обратная к элементарной, также элементарна. Поэтому утверждение теоремы означает, что любая невырожденная матрица разлагается в произведение элементарных матриц.

Умножение матрицы А ÎGL_n(K) слева на элементарную матрицу вызывает соответствующее элементарное преобразование ее строк. Мы знаем, что с помощью элементарных преобразований строк любую невырожденную матрицу можно привести к единичной матрице. Таким образом, существуют такие элементарные матрицы U₁, U₂. U_s,что

Источник

Подгруппы

Группы

Переборный алгоритм нахождения дискретного логарифма

Дискретный логарифм

Определение. Дискретным логарифмом l числа b при основании a по модулю p называется степень, в которую нужно возвести число a, чтобы получить число b :

Утверждение. Пусть p – простое число. Максимальный порядок числа по модулю p равен p – 1.

Утверждение. Пусть p – простое число, параметры a, b удовлетворяют неравенствам 1 x mod p имеет единственное решение относительно x, если порядок числа a равен p – 1.

2. Значение k, при котором выполняется сравнение b = a k mod p, является дискретным логарифмом.

5. Цикл по i от 0 до m – 1

проверяем, является ли g второй компонентой в таблице п.2

1. Число n представляем в виде n = q × r, q – простое число.

1. Дайте определение дискретного логарифма.

2. Дайте определение порядка числа.

3. Сформулируйте условия существования дискретного логарифма.

4. Опишите переборный алгоритм дискретного логарифмирования.

7. В каких криптографических алгоритмах необходимо решать задачу дискретного логарифмирования?

Определение. Группа (G, *) называется коммутативной (абелевой), если для любых элементов a, b, и c из G выполняется равенство

Если в качестве бинарной операции определена операция умножения ´, то группа называется мультипликативной, единичный элемент e = 1, обратный элемент обозначается a –1 или 1 / a.

Если в качестве бинарной операции определена операция сложения +, то группа называется аддитивной, единичный элемент e = 0, обратный элемент обозначается – a.

Из аксиом группы можно вывести, что в группе существует только один единичный элемент. Можно доказать также и единственность обратного элемента для всякого элемента группы.

Определение. Группа (G, *) называется конечной, если число элементов множества G конечно. В этом случае число элементов множества G называется порядком группы (G, *).

Взаимно однозначные преобразования любого множества образуют группу относительно операции умножения преобразований.

2. Множество всех целых чисел относительно операции сложения – «аддитивная группа целых чисел» Z.

3. Множество всех векторов в пространстве R n относительно операции сложения векторов.

4. Множество всех многочленов с действительными коэффициентами относительно операции сложения многочленов.

Группы в примерах 1-4 имеют бесконечно много элементов.

Множество Z_n

Пример. В множестве Z₂₅ 2 – 1 = 13, т.к. сравнение 2 x = 1 mod 25 дает решение x = 13. Отсюда 15 : 2 = 15 ´ 2 – 1 = 15 ´ 13 = 195 = 20 mod 25.

Утверждение. Элемент a ÎZ_n обратим в том и только том случае, когда a и n взаимно просты, (a, n ) = 1.

Пример. Обратимые элементы в Z₉ : 1, 2, 4, 5, 7, 8. Для определения 5 –1 решаем сравнение 5 x = 1 mod 9,которое дает решение x = 2. Отсюда 5 – 1 = 2.

Z_n * = < a ÎZ_n |(a, n ) = 1 >

Множество Z_n * с операцией умножения по mod n образует конечную мультипликатив-ную группу порядка j(n).

Если n– простое число, то j(n)= n – 1 и Z_n * = < 1, 2, 3, …, n – 1 >.

Обозначение t = ord ( a ).

Если в группе есть образующий элемент, то группа называется циклической.

Утверждение. Всякая циклическая группа абелева.

Свойства образующих (примитивных) элементов мультипликативной группы Z_n *

1. Группа Z_n * имеет образующий элемент в том и только том случае, когда

Z_n * = < a i mod n, i = 0, 1, 2, 3, …, j(n) – 1 >

4.Если Z_n * – циклическая группа, то число образующих элементов группы равно j (j(n)).

5.Элемент a Î Z_n * является образующим элементом группы в том и только том случае, когда

a j (n)/ p ¹ 1 mod n

для любого простого делителя p числа j(n).

В группе Z₂₁ * j(21)= ( 3 – 1 ) ( 7 – 1 ) = 12 элементов: 1,2,4,5,8,10,11,13,16,17,19,20. Каждый элемент имеет обратный, например, 2 – 1 = 11, 10 – 1 = 19. Группа не является циклической. Ord ( 1 ) = 1, ord ( 8,13,20 ) = 2, ord ( 4,16 ) = 3, ord ( 2,5,10,11,17,19 ) = 6.

В группе Z₂₅ * j(25)= 5 ( 5 – 1 ) = 20 элементов. Группа циклическая, содержит j(j(25)) = j(20) =2 ( 2 – 1 ) ( 5 – 1 ) = 8 образующих.

В группе Z₁₃ * j(13)= 13 – 1 = 12 элементов. Группа циклическая, содержит j(j(13)) = j(12) =2 ( 2 – 1 ) ( 3 – 1 ) = 4 образующих. Элемент a = 2 является образующим, так как 2 6 = 64 = 12 mod 13 ¹ 1, ( j(13)/2 = 6 ), 2 4 = 16 = 3 mod 13 ¹ 1, ( j(13)/3 = 4 ).

Образующие элементы – 2, 6, 7, 11:

Если некоторое подмножество H множества G само образует группу относительно операции *, определенной в G, то (H, *) называется подгруппой группы (G, *).

Например, подмножество четных целых чисел есть подгруппа аддитивной группы Z всех целых чисел, а подмножество нечетных чисел не будет подгруппой этой группы (сложение на Z не задает операцию на этом подмножестве, так как сумма двух нечетных чисел есть число четное).

Утверждение. Для того чтобы подмножество H образовывало подгруппу группы (G, *), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись два условия:

1. Результат операции * (определенной в G) над любыми двумя элементами h₁, h₂ из подмножества H также является элементом из H ( h₁*h₂ Î H ).

2. Если h Î H, то и обратный к нему элемент h –1 принадлежит H ( h –1 Î H ).

Наиболее просты так называемые циклические подгруппы, которыми обладает любая группа G. Со всяким элементом a Î G можно связать «порожденную» им циклическую подгруппу, которая, по существу представляет собой наименьшую из подгрупп, содержащую данный элемент.

Введем понятие степени a i элемента a, полагая a i = a i – 1 * a, a 0 = e.

При таком определении степени выполняются правила действий со степенями: для любых целых чисел k и m

Поскольку операция возведения элемента группы в степень не выводит за пределы группы, то все степени элемента принадлежат некоторой подгруппе группы.

Утверждение. Пусть группа (G, *) содержит элемент a. Тогда все степени a i элемента a образуют циклическую подгруппу, порождаемую элементом a.

Утверждение. Циклическая подгруппа, порожденная элементом a порядка t, имеет порядок t.

Утверждение. Порядок любого элемента группы делит порядок группы.

Утверждение. (Теорема Лагранжа) Порядок любой подгруппы конечной группы является делителем порядка группы.

Утверджение. Если ord (a ) = t, то элемент a k имеет порядок, равный t / НОД ( t, k ).

Пример. Порядок группы Z₂₉ * равен 28, d =14 – делитель порядка группы. Группа Z₂₉ * имеет j( d)= j(14)= 6элементов порядка 14: 4, 5, 6, 9, 13, 22.

1. Дайте определение группы.

2. Дайте определение порядка группы.

3. Что такое порядок элемента группы?

4. Какая группа называется коммутативной?

5. Дайте определение циклической группы.

6. Дайте определение подгруппы.

7. Дайте определение циклической подгруппы.

8. Какой элемент группы называется образующим?

Источник

• ← выплатил долг по исполнительному листу что дальше
• вавилонская башня символ чего →