число грэма полностью чему равно

Число Грэма и взгляд в бесконечность

Вглядываться в бесконечность можно по-разному. Можно представлять себе всё увеличивающиеся астрономические числа и сопоставлять их с физическими явлениями. Можно всматриваться в выбранную точку фрактала Мандельброта, плавно увеличивая масштаб в 10 198 раз (можно и больше, но в угоду скорости страдает наглядность). Фрактал, сколь малую часть его не бери, остаётся самоподобным и сохраняет дробную структуру.

А можно представлять себе число Грэма так, как его представляет автор статьи «Число Грэма на пальцах». Число Грэма настолько велико, что даже если вы представите себе какое-то чудовищно большое астрономическое число, а потом возведёте его в столь же чудовищную степень, а потом повторите всё это чудовищное число раз — то вы даже не стронетесь с места на шкале того пути, что ведёт к числу Грэма. Чтобы сосчитать до числа Грэма, придётся научиться считать совсем иначе, нежели мы привыкли — представляя, что путь в бесконечность лежит через дописывание нулей к известным нам астрономическим числам. В этой системе счёта загибанию пальца на руке будет соответствовать не прибавление к числу единицы или миллиона, не дописывание нуля или сотен нулей разом, но шаг от сложения к умножению, от умножения к возведению в степень и дальше в невообразимые дали.

Сразу предупреждаю, что все эти упражнения небезыздержечны — не увлекайтесь, берегите своё душевное здоровье. Однако иногда полезно всмотреться в бесконечность, чтобы понять, где ты и что ты ей, как человек, можешь противопоставить.

Для меня в своё время взгляд бесконечность, подобный описанному «на пальцах» числу Грэма, дала функция Аккермана (которую приводят как пример сложной рекурсивной функции в теории алгоритмов). Она тесно связана со стрелочной записью Кнута, используемой в статье про число Грэма.

Если мы возьмём натуральное (т.е. неотрицательное целое) число и применим к нему операцию порядка, равного этому числу, то у нас получится примерно функция Аккермана (на самом деле, она определяется сложнее и от трёх или двух аргументов, но не суть).

Функция Аккермана растёт очень быстро, она растёт невыразимо быстро, она растёт быстрее чего угодно, что вы можете себе представить. Уже на пятом шаге она выходит за границы Вселенной. Но чтобы досчитать до числа Грэма за обозримое число шагов, даже её недостаточно. Нужно взять функцию Аккермана «второго порядка». Т.е. функцию Аккермана от функции Аккермана от функции Аккермана — и так Y раз. Получится эдакая «башенка» функций Аккермана. Вот такая «башенка» высотой в 64 этажа как раз до числа Грэма и досчитает.

Кажется, что осознание невыразимой величины этого числа может раздавить человека. Но не спешите с выводами. Автор упомянутой статьи, пытаясь оценить подступы к этому числу, сравнивает его элементы с числом частиц во Вселенной, сравнивает высоту «башенок» с расстоянием между планетами. Но вся эта кажущаяся с виду невыразимость сводится к числу «полтора». Ладно, пусть «два с половиной».

Поясню. Считать «бесконечность» (в кавычках — ибо любое число всё же конечно) нужно не тем, сколько песчинок она в себе содержит, а тем, сколько раз количество переходит в качество, сколько в ней нетривиальных идей. Посчитаем, сколько нетривиальных идей в числе Грэма. Функция Аккермана с её порядком арифметической операции как аргументом функции — идея раз. Применение функции Аккермана к самой себе — даже на полноценную идею не тянет, так, на половинку (а ведь можно представить и функцию Аккермана третьего порядка, чтобы ещё большее число получить — но тем отчётливее вырожденность идеи). Добавим ещё, собственно, описание задачи, в рамках которой появилось число Грэма (покраска в случайную комбинацию двух цветов диагоналей многомерных гиперкубов), чтобы иметь представление, где остановиться в нашем счёте — и получим две с половиной идеи.

Вроде, с одной стороны, почти необозримая бесконечность — а с другой стороны, тривиальность. Поставьте два зеркала друг напротив друга, встаньте между ними — и вы увидите бесконечное количество всё более тускнеющих отражений. Отражений бесконечное количество, но оригинал у них один — отражаетесь лишь вы сами.

Если в каком-то явлении вы замечаете, что с какого-то момента начинают повторяться лишь ухудшающиеся (в лучшем случае, такие же) копии того, что уже было раньше — то это дурная бесконечность, ложная. Движение по её шкале — лишь видимость жизни, но по сути это западня для вашего сознания.

Или вот был хороший оригинал — и сделали ему сиквел, приквел или ответвление сюжета. Чем наполнить? Известно чем — взять всё то же, что в оригинале, но в бОльших количествах и иначе скомбинированное. Была одна идея, стало полторы. Этих сиквелов можно теперь бесконечное число делать, зарабатывая деньги на тех, кому полюбился оригинал. И опять перед нами дурная бесконечность.

Вообще, возьми любой жанр — и большую часть его составят повторения, ухудшенные копии родоначальника жанра. Если вы чувствуете, что задыхаетесь в засилье этих похожих друг на друга отражений — плывите против течения, ищите источник отражений. Лишь так вы сможете в лабиринте дурной бесконечности отыскать истинный путь.

Источник

Число Грэма

Из Википедии — свободной энциклопедии

Число Грэма (англ. Graham’s number ) — гигантское число, которое является верхней границей для решения определённой проблемы в теории Рамсея. Является некоторой очень большой степенью тройки, которая записывается с помощью нотации Кнута. Названо в честь Рональда Грэма.

Оно стало известно широкой публике после того, как Мартин Гарднер описал его в своей колонке «Математические игры» в журнале Scientific American в ноябре 1977 года, где было сказано: «В неопубликованном доказательстве Грэм недавно установил границу настолько большую, что ей принадлежит рекорд как наибольшему числу, когда-либо использовавшемуся в серьёзном математическом доказательстве».

В 1980 году Книга рекордов Гиннесса повторила утверждения Гарднера, ещё больше подогрев интерес публики к этому числу. Число Грэма в невообразимое количество раз больше, чем другие хорошо известные большие числа, такие, как гугол, гуголплекс и даже больше, чем число Скьюза и число Мозера. На самом деле вся наблюдаемая вселенная слишком мала для того, чтобы вместить в себя обыкновенную десятичную запись числа Грэма (предполагается, что запись каждой цифры занимает по меньшей мере объём Планка). Даже степенные башни вида a b c ⋅ ⋅ ⋅ <\displaystyle a^>>>>> бесполезны для этой цели (в том же смысле), хотя это число и может быть записано с использованием рекурсивных формул, таких, как нотация Кнута или эквивалентных, что и было сделано Грэмом. Последние 50 цифр числа Грэма — это 03222348723967018485186439059104575627262464195387.

В современных математических доказательствах иногда встречаются числа, ещё много бо́льшие, чем число Грэма, например, в работе с конечной формой Фридмана в теореме Краскала [en] — так называемое TREE(3).

Источник

Самое большое число в мире, которое что-то обозначает

Миллион = 1 000 000 = 10⁶

Представить миллион чего-то мы тоже можем:

С миллионами чего-либо мы сталкиваемся довольно часто и так:

— миллион секунд — это всего-навсего 11,5 дней;

— миллион книг, поставленных друг на друга, не выйдет даже за пределы атмосферы Земли;

— очередь, из миллиона букв можно составить одну, достаточно большую, книгу (например, полная Библия состоит из более чем 2,5 миллионов букв).

— миллион горошин поместится в большом мешке, который в принципе можно будет даже приподнять, если вы не боитесь надорваться;

— миллион песчинок запросто поместится в пригоршне;

— миллион бактерий будет едва различим невооруженному глазу.

— человеческий волос, увеличенный в миллион раз, будет диаметром около 100 метров.

— здание в миллион этажей (если бы такое можно было построить) поднялось бы в высоту на 2,5 тысячи километров, — в 4 с лишним раза выше, чем летает телескоп Хаббла и большинство искусственных спутников Земли.

Миллиард = 1 000 000 000 = 10⁹

Представить миллиард чего-то мы тоже можем:

— миллиард молекул, поставленных «плечом к плечу», займут около 30 сантиметров (вообще, молекулы сильно различаются по своим размерам и для примера мы взяли молекулу воды, состоящую, как известно, из двух атомов водорода и одного атома кислорода);

— головной мозг человека состоит из 100 миллиардов нейронов и столько же, но только людей, жило на нашей планете за всю ее историю.

— если разделить расстояние от Земли до Луны на миллиард, то получится примерно 40 сантиметров. А если на тот же миллиард разделить расстояние от Земли до Солнца, то получится уже 150 метров, а это большой такой небоскреб высотой почти в половину Эйфелевой башни. Сама Земля, уменьшенная в миллиард раз, станет размером с виноградину, — и, кстати, тогда она превратится в черную дыру;

— космические аппараты «Вояджер», запущенные в 1977 году, пролетели почти по 20 миллиардов километров каждый;

— миллиард секунд — это 31,7 года, целое поколение.

— если увеличить атом водорода в миллиард раз, то его диаметр составит целых 10 сантиметров, хотя его ядро даже при таком увеличении все равно не разглядишь. В этом масштабе мельчайшие вирусы будут гигантами размером в несколько десятков, а то и сотен метров. И даже молекула ДНК будет шириной в целых 3 метра.

Триллион = 1 000 000 000 000 = 10¹²

— общая масса воздуха, который вдыхают все люди на нашей планете за 1 год, составляет около 6 триллионов килограмм;

— в океанах нашей планеты обитает около триллиона рыб;

— триллион секунд, как вы наверняка уже догадались, это в тысячу раз дольше, чем миллиард, — то есть 31 с лишним тысяча лет;

— примерно столько времени назад вымерли неандертальцы. Но это секунды. А вот через триллион лет случится нечто гораздо более интересное — в галактиках прекратят образовываться новые звезды;

— триллион километров — такое расстояние свет в вакууме проходит чуть больше чем за месяц;

— 42 триллиона километров — это расстояние до ближайшей к нам звезды (Проксимы Центавра);

— если мы возьмем триллион бактерий (допустим, у нас как-то получится их собрать всех вместе), то они займут объем одного кубика сахара. Примерно столько бактерий содержится на теле человека. А число клеток в нем — несколько десятков триллионов;

— во всех когда-либо отпечатанных книгах за всю историю книгопечатания около 100 триллионов букв;

— горстку из триллиона атомов даже не увидеть невооруженным взглядом, вот насколько они малы. Например, электрон. Он будет размером с горошину. А вот кварки, увеличенные в триллион раз, все еще не будут видны.

Квадриллион = 1 000 000 000 000 000 = 10¹⁵

— в теле человека (не только на коже, как в предыдущем абзаце) обитает до 1 квадриллиона бактерий, и их общий вес составляет около 2 килограмм;

— на нашей планете живет примерно квадриллион муравьев (да, их гораздо больше, чем людей, — примерно в 100 тысяч раз);

— пролететь квадриллион километров (а это примерно 100 световых лет), то можно посетить несколько ближайших к Земле звезд и вернуться обратно;

— через 200 квадриллионов секунд Солнце перейдет в стадию красного гиганта;

— еще самые мощные современные компьютеры выдают несколько десятков квадриллионов операций в секунду (петафлопсов).

Квинтиллион = 1 000 000 000 000 000 000 = 10¹⁸

— квинтиллион километров — это примерный диаметр нашей галактики, которая называется Млечный Путь;

— до нашей соседки — галактики Андромеды — 25 квинтиллионов;

— квинтиллион секунд — это время в 2 раза большее, чем то, которое прошло от Большого Взрыва и до сегодняшнего момента;

— именно столько кубометров воды есть на земле;

— 25-30 квинтиллионов молекул содержится в 1 куб.см воздуха при нормальной температуре и давлении (в основном, это молекулы азота – 78% и кислорода – 21%);

— масса всей атмосферы Земли — около 5 квинтиллионов килограмм;

— число возможных комбинаций кубика Рубика — 43 квинтиллиона с лишним.

Секстиллион = 1 000 000 000 000 000 000 000 = 10²¹

— столько атомов содержится в небольшом шарике из алюминия, диаметром в пару миллиметров;

— вес гидросферы Земли – полтора секстиллиона килограмм, а Луны около 70 секстиллионов;

— количество песчинок на всех пляжах Земли — несколько секстиллионов, хотя это сильно зависит от того, как и что именно мы считаем;

— размер видимой ее части — примерно 130 секстиллионов километров. Разумеется, такие расстояния никто в километрах не меряет, а использует для этого куда более подходящие световые годы и парсеки.

Септиллион = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10²⁴

— 6 септиллионов килограмм весит наша Земля;

— количество звезд в обозримой Вселенной — септиллион или совсем немного меньше;

— знаменитое число Авогадро, обозначающее количество молекул в одном моле вещества, составляет почти септиллион (более точное значение: 6 на 10²³ степени);

— 10 септиллионов молекул воды поместится в одном стакане. А если выложить в ряд 50 септиллионов маковых зерен, то такая цепочка протянется до Туманности Андромеды.

Октиллион = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10²⁷

Октиллион горошин займут такой же объем как планета Земля. Еще это число интересно тем, что если взять 5-10 октиллионов атомов, то из них можно составить человеческое тело.

Казнер знаменит тем, что придумал слова «гугол» и «гуголплекс», а также известно решение Казнера для вакуумного пространства-времени (1922), к которому, согласно с гипотезой Белинского — Лифшица — Халатникова, приближается асимптотически любое космологическое решение около сингулярности.

Число Скьюза. Записывается как 10 в степени 10 в степени 10 в степени 963. Обозначает верхний предел для математической задачи.

3|||3 это 3 с высотой столба степени 3 равной расстоянию от Земли до Марса. Количество троек в степени равняется 7.000.000.000.000. И заметьте, это не само число, а его степень! Математики обозначили его G1. Всего 5 троек из этой башни полностью покрывают гуголплекс, а первые 10 сантиметров ставят в тупик все существующие на Земле компьютеры. Дальше пустота и неведение. Далее идёт число G2, где количество стрелок равняется G1. Далее идёт G3, где количество стрелок равняется G2 и так далее. Всего таких чисел 64. G64 это и есть число Грэма. Записать его где либо невозможно, поэтому записывают формулой: G=f^64(4), где f(n)=3|^n3. (значок «^» обозначает степень: 1.000.000=10^6). Подсчитывать это бессмысленно. Число Грэма не поместится в тех самых 10 в степени 500 вселенных, даже если пронумеровать каждую частицу! Но мы всё же кое что знаем о нём. Вот последние 10 цифр этого числа: 2464195387. Первые цифры не знает никто. Возможно, через тысячи или десятки тысяч лет человечество всё-таки сможет его высчитать и оно станет элементарным и банальным.

Источник

Число Грэма

Что такое Число Грэма

Число Грэма — это чрезвычайно большое конечное число и считается самым большим числом в мире, которое было использовано в математическом доказательстве (например, в теории Рамсея).

Используя стрелочные обозначения Кнута (стрелкой вверх), число Грэма G можно записать так:

Стрелочные обозначения Кнута используются в записи очень больших чисел.

3↑↑4 значит 3↑(3↑(3↑3)) или ;

Что такое G64 и g1?

Ещё Число Грэма обозначают G64.

И g1 — это первый из 64 слоёв нужных для того, чтобы получить это число (на картинке сверху находятся остальные).

G1 можно немного упростить:

Количество стрелок g2 считается в g1. Далее процесс продолжается, до 64-го, последнего.

G = g64 — это последний слой, в нём g63 стрелок между тройками (как показано на картинке).

Однако только первый уровень G1 уже настолько велик, что считается, что его невозможно записать.

Что такое число гугол? И гуголплекс?

Гугол — это число равно 10¹ºº (десять в сотой степени) — это единица и сто нулей.

Гуголплекс — это 10^гугол (10 в степени «гугол») — это или .

Что такое число Райо?

Число Райо выглядит так: .

Считается, что эту функцию невозможно вычислить. Имеется в виду, что ни один современный компьютер не может её вычислить.

Узнайте также, что такое Экспонента и Логарифм.

Источник

Число Грэма на пальцах™

Как только ребенок (а это происходит где–то года в три–четыре) понимает, что все числа делятся на три группы «один, два и много», он тут же пытается выяснить: насколько много бывает много, чем много отличается от очень много, и может ли оказаться так много, что больше не бывает. Наверняка вы играли с родителями в интересную (для того возраста) игру, кто назовет самое большее число, и если предок был не глупее пятиклассника, то он всегда выигрывал, на каждый «миллион» отвечая «два миллиона», а на «миллиард» — «два миллиарда» или «миллиард плюс один».

Уже к первому классу школы каждый знает — чисел бесконечное множество, они никогда не заканчиваются и самого большого числа не бывает. К любому миллиону триллионов миллиардов всегда можно сказать «плюс один» и остаться в выигрыше. А чуточку позже приходит (должно прийти!) понимание, что длинные строки цифр сами по себе ничего не значат. Все эти триллионы миллиардов только тогда имеют смысл, когда служат представлением какого–то количества предметов или же описывают некое явление. Выдумать длиннющее число, которое ничего из себя не представляет, кроме набора долгозвучащих цифр, нет никакого труда, их итак бесконечное количество. Наука, в какой–то образной мере, занимается тем, что выискивает в этой необозримой бездне совершенно конкретные комбинации цифр, присовокупляя к некому физическому явлению, например скорости света, числу Авогадро или постоянной Планка.
.

И сразу же возникает вопрос, а какое на свете самое больше число, которое что–то означает? В этой статье я попытаюсь рассказать о цифровом монстре, называемом число Грэма, хотя строго говоря, науке известны числа и побольше. Число Грэма самое распиаренное, можно сказать «на слуху» у широкой публики, потому что оно довольно просто в объяснении и все же достаточно велико, чтобы вскружить голову. Вообще, тут необходимо объявить небольшой disclaimer (рус. предостережение). Пусть прозвучит как шутка, но я нифига не шучу. Говорю вполне серьезно — дотошное ковыряние в подобных математических глубинах в совокупности с безудержным расширением границ восприятия может оказать (и окажет) серьезное влияние на мироощущение, на позиционирование личности в обществе, и, в конечном итоге, на общее психологическое состояние ковыряющего, или, будем называть вещи своими именами — открывает дорогу к шизе. Не нужно чересчур внимательно вчитываться в нижеследующий текст, не стоит слишком ярко и живо представлять описываемые в нем вещи. И не говорите потом, что вас не предупреждали!

Прежде чем переходить к числам–монстрам, потренируемся для начала на кошках. Напомню, что для описания больших чисел (не монстров, а просто больших чисел) удобно пользоваться научным или т.н. экспоненциальным способом записи.

Когда говорят, скажем, о количестве звезд во Вселенной (в Обозримой Вселенной), никакой идиот не лезет вычислять сколько их там в буквальном смысле с точностью до последней звезды. Считается, что примерно 10 21 штук. И это оценка снизу. Значит общее количество звезд можно выразить числом, у которого после единицы стоит 21 ноль, т.е. «1 000 000 000 000 000 000 000».

Так выглядит небольшая часть из них (около 100 000) в шаровом скоплении Омега Центавра.

Все, что идет до миллиона, практически любому человеку понятно интуитивно, ведь кто не хочет стать миллионером? Дальше у некоторых начинаются проблемы. Хотя миллиард (10 9 ) тоже знают почти все. До миллиарда даже можно досчитать. Если только родившись, буквально в момент появления на свет начать считать раз в секунду «один, два, три, четыре. » и не спать, не пить, не есть, а только считать–считать–считать без устали днем и ночью, то когда стукнет 32 года можно досчитать до миллиарда, потому что 32 оборота Земли вокруг Солнца занимают примерно миллиард секунд.

7 миллиардов — количество людей планете. Исходя из вышеизложенного, посчитать их всех по порядку в течении человеческой жизни совершенно невозможно, придется прожить больше двухсот лет.

100 миллиардов (10 11 ) — столько или около того людей жило на планете за всю ее историю. 100 миллиардов гамбургеров продал Макдональдс к 1998му году за 50 лет своего существования. 100 миллиардов звезд (ну, чуть больше) находится в нашей галактике Млечный Путь, и Солнце — одна из них. Такое же количество галактик содержится в обозримой Вселенной. 100 миллиардов нейронов находится в головном мозге человека. И столько же анаэробных бактерий проживают у каждого читающего эти строки в слепой кишке.

Триллион (10 12 ) — число, которым редко пользуются. До триллиона досчитать невозможно, на это уйдет 32 тысячи лет. Триллион секунд назад люди жили в пещерах и охотились с копьями на мамонтов. Да, триллион секунд назад на Земле жили мамонты. В океанах планеты примерно триллион рыб. В соседней с нами галактике Андромеды около триллиона звезд. Человек состоит из 10 триллионов клеток. ВВП России в 2013м году составил 66 триллионов рублей (в рублях 2013го года). От Земли до Сатурна 100 триллионов сантиметров и столько же букв в целом было отпечатано во всех когда–либо опубликованных книгах.

Секстиллион (10 21 ) — это число нам уже встречалось. Количество звезд в Обозримой Вселенной. Количество песчинок всех пустынь Земли. Количество транзисторов во всех существующих электронных устройствах человечества, если Intel нам не врал.

10 секстиллионов (10 22 ) — количество молекул в грамме воды.

10 24 — масса Земли в килограммах.

10 26 — диаметр Обозримой Вселенной в метрах, но в метрах считать не очень удобно, общепринятые границы Обозримой Вселенной 93 миллиарда световых лет.

Размерами, большими чем Обозримая Вселенная, наука не оперирует. Мы знаем наверняка, что Обозримая Вселенная это не вся–вся–вся Вселенная. Это та часть, что мы, хотя бы теоретически, можем видеть и наблюдать. Или могли видеть в прошлом. Или сможем увидеть когда–нибудь в отдаленном будущем, оставаясь в рамках современной науки. От остальных частей Вселенной даже со скоростью света сигналы не смогут до нас добраться, от чего этих мест с нашей точки зрения как бы не существует. Насколько велика та большая Вселенная на самом деле никто не знает. Может быть в миллион раз больше, чем Обозримая. А может в миллиард. А может и вообще бесконечная. Говорю же, это уже не наука, а гадание на кофейной гуще. У ученых есть кое–какие догадки, но это больше фантазии, чем реальность.

Для визуализации космических масштабов полезно изучить эту картинку, раскрыв ее на весь экран.

Однако даже в Обозримую Вселенную можно напихать гораздо больше чего–то другого, чем метры.

10 51 атомов составляют планету Земля.

10 80 примерное количество элементарных частиц в Обозримой Вселенной.

10 90 примерное количество фотонов в Обозримой Вселенной. Их почти в 10 миллиардов раз больше, чем элементарных частиц, электронов и протонов.

10 100 — гугол. Это число ничего физически не значит, просто круглое и красивое. Компания, которая поставила себе целью индексировать гугол ссылок (шутка, конечно, это же больше, чем число элементарных частиц во Вселенной!) в 1998м году взяла себе название Google.

10 122 протонов понадобится, чтобы набить Обозримую Вселенную под завязку, плотненько так, протончик к протончику, впритык.

10 185 планковских объемов занимает Обозримая Вселенная. Меньших величин, чем планковский объем (кубик размеров планковской длины 10 –35 метра) наша наука не знает. Наверняка, как и со Вселенной, там есть что–то еще более мелкое, но вменяемых формул для подобных мелочей ученые еще не придумали, одни сплошные спекуляции.

Получается, что 10 185 или около того — наибольшее число, которое в принципе может что–то значить в современной науке. В науке, которая может пощупать и измерить. Это то, что существует или могло бы существовать, если так случилось, что мы узнали о Вселенной все, что можно было узнать. Число состоит из 186 цифр, вот оно:

100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Наука здесь, конечно же, не заканчивается, но дальше уже идут вольные теории, догадки, а то и просто околонаучный чес и гон. Например, вы наверняка слышали про инфляционную теорию, согласно которой, возможно, наша Вселенная лишь часть более общей Мультивселенной, в которой этих вселенных как пузырей в океане шампанского.

Или слышали о теории струн, согласно которой может существовать около 10 500 конфигураций колебаний струн, а значит такое же количество потенциальных вселенных, каждая со своими законами.

Чем дальше в лес, тем меньше теоретической физики и вообще науки остается в набирающих объемы числах, и за колонками нулей начинает проглядывать все более чистая, ничем не замутненная царица наук. Математика это ведь не физика, тут ограничений нет и стыдиться нечего, гуляй душа, пиши нули в формулах хоть до упаду.

Упомяну лишь известный многим гуголплекс. Число у которого гугол цифр, десять в степени гугол (10 гугол ), или десять в степени десять в степени сто (10 10 100 ).

10 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
Не буду записывать его цифрами. Гуголплекс не значит абсолютно ничего. Человек не может представить себе гуголплекс чего бы то ни было, это физически невозможно. Чтобы записать такое число понадобится вся Обозримая Вселенная, если писать «нано–ручкой» прямо по вакууму фактически в планковские ячейки космоса. Переведем всю материю на чернила и заполним Вселенную одними сплошными цифрами, тогда получим гуголплекс. Но математики (страшные люди!) гуголпрексом только разминаются, это нижайшая планка, с которой для них стартуют настоящие ничтяки. И если вы думаете, что гуголплекс в степени гуголплекс это то, о чем пойдет речь, вы даже не представляете, НАСКОЛЬКО ошибаетесь.

За гуголплексом идут много интересных чисел, имеющих ту или иную роль в математических доказательствах, долго ли коротко, перейдем сразу к числу Грэма, названному так в честь (ну, естественно) математика Рональда Грэма. Сначала расскажу, что это такое и для чего нужно, после чего образно и на пальцах™ опишу, каково оно по величине, а затем уже напишу само число. Точнее попытаюсь объяснить, что же я написал.

Число Грэма появилось в работе, посвященной решению одной из задач в теории Рамсея, причем «рамсея» тут не деепричастие несовершенного вида, а фамилия другого математика, Франка Рамсея. Задача конечно же довольно надуманная с обывательской точки зрения, хоть и не сильно замороченная, даже легко понятная.

Представьте себе куб, все вершины которого соединены линиями–отрезками двух цветов, красного или синего. Соединены и раскрашены в случайном порядке. Кое–кто уже догадался, что речь пойдет о разделе математики под названием комбинаторика.

Сможем ли мы исхитриться и так подобрать конфигурацию цветов (а их всего два — красный и синий), чтобы при раскраске этих отрезков у нас НЕ ВЫШЛО, что все отрезки одного цвета, соединяющие четыре точки, лежат в одной плоскости? В данном случае, НЕ представляют из себя такую фигуру:

Можете сами покумекать, покрутить куб в воображении перед глазами, сделать подобное не так уж и сложно. Цвета два, вершин (углов) у куба 8, значит отрезков их соединяющих — 28. Можно так подобрать конфигурацию раскраски, что мы нигде не получим вышеуказанной фигуры, во всех возможных плоскостях будут разноцветные линии.

А что, если у нас больше измерений? Что, если мы возьмем не куб, а четырехмерный куб, т.е. тессеракт? Сможем ли мы провернуть тот же фокус, что и с трехмерным?

Даже не стану объяснять, что такое четырехмерный куб, все знают? У четырехмерного куба 16 вершин. И не нужно пыжить мозг и пытаться представить четырехмерный куб. Это же чистая математика. Посмотрел на количество измерений, подставил в формулу, получил количество вершин, ребер, граней и так далее. Ну, или в Википедии подглядел, если формулы не помнишь. Итак у четырехмерного куба 16 вершин и 120 отрезков их соединяющих. Количество комбинаций раскраски в четырехмерном случае гораздо больше, чем в трехмерном, но и тут не сильно сложно посчитать, разделить, сократить и тому подобное. Короче выяснить, что в четырехмерном пространстве тоже можно так исхитриться с раскраской отрезков у гиперкуба, что все линии одного цвета, соединяющие 4 точки, не будут лежать в одной плоскости.

В пятимерном? И в пятимерном, там где куб называется пентерактом или пентакубом, тоже можно.
И в шестимерном.

А дальше уже сложности. Грэм не смог математически доказать, что у семимерного гиперкуба удастся провернуть такую операцию. И у восьмимерного и у девятимерного и так далее. Но данное «и так далее», оказалось, не уходит в бесконечность, а заканчивается неким очень большим числом, которое и назвали «числом Грэма».

То есть существует какая–то минимальная размерность гиперкуба, при котором условие нарушается, и уже невозможно избежать комбинации раскраски отрезков, что четыре точки одного цвета будут лежать в одной плоскости. И эта минимальная размерность точно больше шести и точно меньше числа Грэма, в этом и заключается математическое доказательство ученого.

А теперь определение того, что я выше расписал на несколько абзацев, сухим и скучным (зато емким) языком математики. Понимать не надо, но не привести его я не могу.

Рассмотрим n–мерный гиперкуб и соединим все пары вершин для получения полного графа с 2 n вершинами. Раскрасим каждое ребро этого графа либо в красный, либо в синий цвет. При каком наименьшем значении n каждая такая раскраска обязательно содержит раскрашенный в один цвет полный подграф с четырьмя вершинами, все из которых лежат в одной плоскости?
В 1971м году Грэм доказал, что указанная проблема имеет решение, и что это решение (количество размерности) лежит между числом 6 и неким большим числом, которое позже (не самим автором) было названо в его честь. В 2008м году доказательство улучшили, нижнюю границу подняли, теперь искомое количество размерностей лежит уже между числом 13 и числом Грэма. Математики не спят, работа идет, прицел сужается.

С 70х годов прошло немало лет, были найдены математические задачи в которых проявляются числа и побольше грэмова, но это первое число–монстр так поразило современников, понимавших о каких масштабах идет речь, что в 1980м году его включили в книгу рекордов Гиннесса, как «самое большое число, когда–либо участвовавшее в строгом математическом доказательстве» на тот момент.

Представляете себе эту громаду? Вперед, назад, вверх, вниз, насколько хватает глаз и насколько хватает телескопа Хаббл, и даже насколько не хватает, до самых далеких галактик и заглядывая за них — цифры, цифры, цифры размером много меньше протона. Существовать такая Вселенная, конечно, долго не сможет, тут же в черную дыру схлопнется. Припоминаете, сколько информации можно теоретически уместить во Вселенную? Я ведь рассказывал.

дохулион = 10 10 185
Раскроем двери восприятия чуть пошире. Помните инфляционную теорию? Что наша Вселенная лишь одна из многих пузырьков Мультивселенной. А если представить дохулион таких пузырьков? Возьмем число, длиною со все сущее и представим себе Мультивселенную с подобным количеством вселенных, каждая из которых под завязку исписана цифрами — получим дохулион дохулионов. Представляете себе такое? Как плывешь в небытии скалярного поля, а кругом вселенные–вселенные и в них цифры–цифры–цифры. Надеюсь, подобный кошмар (хотя, почему кошмар?) не будет мучить (и почему мучить?) излишне впечатлительного читателя по ночам.

Для удобства назовем подобную операцию «флип«. Такое несерьезное междометие, как будто взяли Вселенную и вывернули наизнанку, то она была внутри в цифрах, а теперь наоборот у нас снаружи столько вселенных, сколько было цифр, и каждая полным–полна коробочка, сама вся в цифрах. Как гранат чистишь, корочку так отгибаешь, изнутри выворачиваются зернышки, а в зернышках снова гранаты. Тоже на ходу придумалось, почему бы и нет, с дохулионом ведь прокатило.

К чему я клоню? Стоит ли тормозить? Давайте, хоба, и еще один флип! И вот у нас столько вселенных, сколько было цифр во вселенных, количество которых было равно дохулиону цифр, заполнявших нашу Вселенную. И сразу, не останавливаясь, еще раз флип. И четвертый, и пятый. Десятый, тысячный. Успеваете за мыслью, все еще представляете себе картину?

Не будем мелочиться, распускаем крылья воображения, разгоняемся по полной и флипаем флип флипов. Столько раз выворачиваем каждую вселенную наизнанку, сколько дохулионов вселенных было в предыдущем флипе, который флипал из позапрошлого, который. эээ. ну, вы следите? Где–то так. Пусть теперь наше число станет, предположим, «дохулиард«.

дохулиард = флип флипов

Не останавливаемся и продолжаем флипать дохулионы дохулиардов до тех пор пока есть силы. Пока в глазах не темнеет, пока не захочется кричать. Тут каждый сам себе отважный Буратина, стоп–слово будет «брынза».

Так вот. Это все о чем? Огромные и бесконечные дохулионы флипов и дохулиарды вселенных полных цифр не идут ни в какое сравнение с числом Грэма. Даже не скребут по поверхности. Если число Грэма представить в виде палки, растянутой по традиции во всю Обозримую Вселенную, то, что мы тут с вами нафлипали окажется засечкой толщины. ну. как бы это так, помягче выразить. недостойной упоминания. Вот, смягчал, как мог.

Теперь давайте немного отвлечемся, передохнем. Мы читали, мы считали, наши глазоньки устали. Забудем про число Грэма, до него еще ползти и ползти, расфокусируем взгляд, расслабимся, помедитируем на гораздо меньшее, прямо–таки миниатюрнейшее число, которое назовем g₁, и запишем всего шестью знаками:

Число g₁ равно «три, четыре стрелочки, три». Что это значит? Так выглядит способ записи, называемый стрелочная нотация Кнута.

Для подробностей и деталей можно почитать статью в Википедии, но там формулы, я коротенько перескажу ее простыми словами.

Одна стрелочка означает обыкновенное возведение в степень.

10↑10 = 10 10 = 10 000 000 000

Две стрелочки означают, что понятно, возведение в степень степени.

2↑↑2 = 2↑2↑2 = 2 2 2 = 2 4 = 16

3↑↑3 = 3↑3↑3 = 3 3 3 = 3 27 = 7 625 597 484 987 (больше 7 триллионов)

3↑↑4 = 3↑3↑3↑3 = 3 3 3 3 = 3 7 625 597 484 987 = число, в котором около 3 триллионов цифр

3↑↑5 = 3↑3↑3↑3↑3 = 3 3 3 3 3 = 3 3 7 625 597 484 987 = 3 в степени числа, в котором 3 триллиона цифр — гуголплекс уже сосет

Короче говоря, «число стрелочка стрелочка другое число» показывает, какая высота степеней (математики говорят «башня«) выстраивается из первого числа. Например 5↑↑8 означает башню из восьми пятерок и настолько велико, что не может быть рассчитано ни на каком суперкомпьютере, даже на всех компьютерах планеты одновременно.

5 5 5 5 5 5 5 5
Переходим к трем стрелочкам. Если двойная стрелочка показывала высоту башни степеней, то тройная, казалось бы, укажет «высоту башни высоты башни»? Какой–там! Так будет только если стрелочки заканчиваются на 2, скажем 3↑↑↑2. Если они заканчиваются на 3, мы имеем высоту башни высоты башни высоты башни (в математике такого понятия нет, я решил назвать его «безбашней«). Как–то так:

То есть 3↑↑↑3 образует безбашню из троек, высотой в 7 триллионов штук. Что такое 7 триллионов троек, поставленные друг на друга и именуемые «безбашней»? Если вы внимательно читали этот текст и не уснули в самом начале, вероятно помните, что от Земли до Сатурна 100 триллионов сантиметров. Тройка, показанная на экране двенадцатым шрифтом, вот эта — 3 — высотой миллиметров пять. Значит безбашня из троек протянется от вашего экрана. ну, не до Сатурна, конечно. Даже до Солнца не дотянется, всего четверть астрономической единицы, примерно как от Земли до Марса в хорошую погоду. Обращаю внимание (не спать!), что безбашня это не число длиной от Земли до Марса, это башня степеней такой высоты. Мы помним, что пять троек в этой башне покрывают гуголплекс, вычисление первого дециметра троек сжигает все предохранители компьютеров планеты, а остальные миллионы километров степеней уже как бы и ни к чему, они просто в открытую насмехаются над читателем, считать их бесполезно.

Теперь понятно, что 3↑↑↑4 = 3↑↑3↑↑3↑↑3 = 3↑↑3↑↑7 625 597 484 987 = 3↑↑безбашня, (не 3 в степени безбашни, а «три стрелочка стрелочка безбашня»(!)), она же безбашня безбашни не влезет ни по длине ни по высоте в Обозримую Вселенную, и даже не поместится в предполагаемую Мультивселенную.

На 3↑↑↑5 = 3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3 заканчиваются слова, а на 3↑↑↑6 = 3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3 кончаются междометия, но можете потренироваться, коль есть интерес.

Переходим к четырем стрелочкам. Как вы уже догадались, тут безбашня на безбашне сидит, безбашней погоняет, и хоть с башней, что без башни — все равно. Просто молча приведу картинку, раскрывающую схему вычисления четырех стрелочек, когда каждое следующее число башни степеней определяет высоту башни степеней, определяющую высоту башни степеней, определяющую высоту башни степеней. и так до самозабвения.

Рассчитывать его бесполезно, да и не получится. Количество степеней здесь не поддается осмысленному учету. Это число невозможно представить, его невозможно описать. Никакие аналогии на пальцах™ неприменимы, число просто не с чем сравнивать. Можно говорить, что оно огромно, что грандиозно, что монументально и заглядывает за горизонт событий. То есть придать ему какие–то словесные эпитеты. Но визуализация, даже вольная и образная — невозможна. Если с тремя стрелочками еще хоть что–то удавалось сказать, нарисовать безбашню от Земли до Марса, как–то с чем–то сопоставить, то тут аналогий быть просто не может. Попробуйте вообразить себе тонкую башню из троек от Земли до Марса, рядом еще одну почти такую же и еще одну, и еще. Бескрайнее поле башень уходит вдаль, в бесконечность, башни повсюду, башни везде. И, что самое обидное, эти башни даже отношения к числу не имеют, они лишь определяют высоту других башен, которые нужно построить, чтобы получить высоту башень, чтобы получить высоту башень. чтобы через невообразимое количество времени и итераций получить само число.

Вот, что такое g₁, вот что такое 3↑↑↑↑3.

Передохнули? Теперь от g₁ с новыми силами возвращаемся к штурму числа Грэма. Заметили, как нарастает эскалация от стрелочки к стрелочке?

3↑↑3 = 7 625 597 484 987

3↑↑↑3 = башня, высотой от Земли до Марса.

3↑↑↑↑3 = число, которое невозможно ни представить ни описать.

А вообразите какой цифровой кошмар творится, когда стрелок окажется пять? Когда их шесть? Можете представить число, когда стрелок будет сто? Если можете, позвольте предложить вашему вниманию число g₂, в котором количество этих стрелок оказывается равно g₁. Помните, что такое g₁, да?

Все, что было написано до сих пор, все эти расчеты, степени и башни не помещающиеся в мультивселенные мультивселенных нужны были только для одного. Чтобы показать КОЛИЧЕСТВО СТРЕЛОК в числе g₂. Тут уже не нужно ничего считать, можно просто рассмеяться и махнуть рукой.

Не буду скрывать, есть еще g₃, в котором содержится g₂ стрелок. Кстати, все еще понятно, что g₃, это не g₂ «в степени» g₂, а количество безбашен, определяющих высоту безбашен, определяющих высоту. и так по всей цепочке вниз до тепловой смерти Вселенной? Здесь можно начинать плакать.

Почему плакать? Потому что совершенно верно. Есть еще число g₄, в котором содержится g₃ стрелочек между тройками. Есть так же g₅, есть g₆ и g₇ и g₁₇ и g₄₃.

Короче их 64 штуки этих g. Каждое предыдущее численно равно количеству стрелок в следующем. Последнее g₆₄ и есть число Грэма, с которого все так вроде бы невинно начиналось. Это число размерностей гиперкуба, которого точно будет достаточно, чтобы правильно раскрасить отрезки красным и синим цветами. Может и меньше, это, так сказать, верхняя граница. Его записывают следующим образом:

Все, теперь можно расслабиться по–честному. Нет больше необходимости ничего представлять и рассчитывать. Если вы дочитали до этого места, уже как бы все должно встать на свои места. Или не встать. Или не на свои.

Да, опытный читатель с прокачанными предохранителями, не нужно упреков, вы абсолютно правы. Число Грэма — надуманная и высосанная из пальца фигня. Все эти безразмерные гиперкубы и абстрактные плоскости, дьявол их раздери, кому они нужны? Где килограммы, где электроны, где то, что можно измерить? Что за пустые разглагольствования ни о чем? Соглашусь. Можно сказать, что сегодняшний пост на пальцах™ максимально, на сколько это было возможно, далек от реальной науки, почти весь целиком парит в каких–то заумных математических фантазиях, в то время как ученым не хватает денег на приборы, не решена мировая энергетическая проблема, а у кого–то все еще туалет во дворе. А у кого и в поле.

Но знаете, есть такая теория, тоже весьма эфемерная и философская, может слышали — все, что человек мог себе представить или вообразить обязательно когда–нибудь воплотится. Потому что развитие цивилизации определяется по тому, насколько она смогла воплотить в реальность фантазии прошлого.

Истории человеческой цивилизации 10 000 лет. Задумайтесь, человечеству всего 10 000 лет! Хотя отдельному человеку в виде прямоходящей обезьяны без хвоста дают 4 миллиона. Все эти 4 миллиона лет спустившаяся с деревьев обезьяна училась держать палку и добывать огонь. Только десять тысяч лет назад появилось какое–то первое подобие общества, человек вышел из пещер и начал строить дома и деревни. Герой того времени (уже довольно цивилизованный по современным меркам) не мог посчитать дальше сотни тысяч (а просто нечего было считать больше такого количества), не имел понятия о среднем арифметическом и не знал суммы квадратов катетов. Этого великого открытия нужно было дожидаться много веков, не одну тысячу лет. 4000 лет назад человек был уверен, что молнии в небе происходят лично от Зевса, 2000 лет назад считал, что можно развести руками воды моря, стоит только заручиться поддержкой влиятельной особы, тогда как родственные узы дадут возможность ходить по воде. 500 лет назад человек доказал, что Земля круглая, 400 — что вертится вокруг Солнца, 200 лет назад узнал о свойствах пара приводить в движение мертвый металл, а около 100 лет назад был уверен, что полеты на аппаратах тяжелее воздуха невозможны. 70 лет назад человечество догадалось, как расщепить атом, 60 лет назад вышло в космос, а еще через 15 открыло для себя число Грэма. 20 лет назад мы увидели самую далекую, одну из самых первых сформировавшихся после Большого Взрыва галактик и тогда же примерно запустили общемировую информационную сеть, выведя цивилизацию на следующий качественный уровень развития. Десять лет назад к этой сети подключилась половина населения планеты.

Никто не знает, что ждет нас в будущем. У человеческой цивилизации есть тысячи способов закончиться: ядерные войны, экологические катастрофы, смертоносные пандемии, астероид какой может прилететь, динозавры не дадут соврать. Развитие человечества может остановиться само собой, вдруг есть такой закон, что по достижению определенного уровня развитие просто прекращается и все. Или прилетят представители межгалактического союза и остановят это развитие силой.

Но есть все–таки, и не маленький, шанс, что развитие человечества продолжится без остановки. Пусть даже не такое головокружительно быстрое, как в последние 100 лет, главное, что движение вперед, главное, что поступательное.

У природы есть один незыблимый закон, известный нам с самой давней древности. Как бы ни было, что бы ни случилось, что бы мы себе ни думали, но время никуда не денется, оно пройдет. Хотим мы этого или не хотим, с нами или без — пройдут и тысяча и 10 тысяч лет.

200 лет назад ковер–самолет (обычный самолет), волшебное зеркало (скайп–видео) или тридевятое царство (поверхность планеты Марс) казались несбыточной сказкой, 2000 лет назад полагались только богам, 20 000 лет такого вообще представить не могли, способностей воображения не хватало. Вы можете сказать, что будет доступно человеку через 200 лет? Через 2000, через 20000 лет?

Выживет ли человечество, будет ли это вообще человечество с приставкой «чело–», а может к тому времени и этап Искусственного Интеллекта закончится, порождая какие–то эфирные энергетические субстанции особой категории осознанности? Может да, может нет.

А если пройдет миллион лет? А ведь он пройдет, куда денется. Число Грэма, и вообще все, о чем человек способен задуматься, представить, вытащить из небытия и сделать пусть не осязаемой, но хотя бы имеющей какой–то смысл сущностью — обязательно рано или поздно воплотится. Просто потому, что сегодня у нас хватило сил развиться до способности осознания подобного.

Сегодня, завтра, когда будет возможность — запрокиньте голову в ночное небо. Помните этот момент ощущения собственной ничтожности? Чувствуете, какой человек крошечный? Пылинка, атом по сравнению с безбрежной Вселенной, которая звезд полна, коим числа нет, ну, и бездна, соотвественно, тоже не маленькая.

В следующий раз попробуйте ощутить, какая Вселенная песчинка по сравнению с тем, что происходит в голове. Какая пучина открывается, какие неизмеримые концепции рождаются, какие миры строятся, как Вселенная флипается наизнанку одним только движением мысли, как и насколько живая, разумная материя отличается от мертвой и неразумной.

Я верю, что через какое–то время человек дотянется до числа Грэма, дотронется до него рукой, или что у него к тому времени будет вместо руки. Это не обоснованная, научно доказанная мысль, это действительно всего лишь надежда, то, что меня вдохновляет. Не Вера с большой буквы, не религиозный экстаз, не учение и не духовная практика. Это то, чего я жду от человечества. В чем стремлюсь, в меру сил, помочь. Хоть и продолжаю из осторожности причислять себя к агностикам.

Источник