большая буква е в математике что это такое
Число Эйлера (e)
Число e (или, как его еще называют, число Эйлера) – это основание натурального логарифма; математическая константа, являющаяся иррациональным числом.
Способы определения числа e (формула):
1. Через предел:
Второй замечательный предел:
Альтернативный вариант (следует из формулы Муавра – Стирлинга):
2. Как сумма ряда:
Свойства числа e
1. Предел обратного числа e
2. Производные
Производной экспоненциальной функции является экспоненциальная функция:
Производной натуральной логарифмической функции является обратная функция:
3. Интегралы
Неопределенный интеграл натуральной логарифмической функции loge x:
Определенный интеграл от 1 до e обратной функции 1/x равен 1:
Логарифмы с основанием e
Натуральный логарифм числа x определяется как базовый логарифм x с основанием e:
Экспоненциальная функция
Это показательная функция, которая определяется следующим образом:
Формула Эйлера
Комплексное число e iθ равняется:
eponim2008
eponim2008Жизнь замечательных имен
Короткие истории о вещах и о людях, давших им свое имя
Что такое число Эйлера?
Память о великом русском ученом Леонарде Эйлере (Leonhard Euler; 1707 —1783) навсегда сохранится в математике благодаря всего одной букве, букве e, первой букве его фамилии. Этой буквой обозначается некоторое число, число Эйлера. Всего-то число. Зато какое!
Число e столь же знаменито, сколь и число π . И столь же часто появляется оно в различных математических формулах. Вообще оба эти числа входят во множество формул в математике, физике, химии, биологии, в экономике. И всякий раз, когда они появляются, ученые, что называется «делают стойку», потому что знают: появление этих чисел всегда означает глубокую связь не только с законами математики, но и с законами природы.
Доказано, что число π связано с изотропностью пространства, а число e – с однородностью пространства и времени. Если перевести это на простой и понятный язык, то существование числа e означает, что законы природы неизменны в любом месте пространства, не изменялись во все времена и не изменятся в будущем. Существование же числа π означает, что все направления в пространстве одинаковы. Физики-теоретики, из этих важных положений о свойствах пространства и времени выводят важные законы сохранения, в том числе, закон сохранения энергии. А если уж взлететь совсем в эзотерические бездны, изотропность пространства в совокупности с однородностью пространства и времени накладывают запрет на существование Бога-создателя. Потому что такому Создателю, которого представляем мы, нет места в том пространстве-времени, которое мы пока что можем охватить разумом. Либо, если он существует, нарушаются основные законы мироздания, которые мы в данный момент считаем незыблемыми и на которых зиждется все наше знание о природе. Факт этот математически доказан.
Впрочем, сам Леонард Эйлер в Бога верил и даже, как говорят, дал укорот пламенному атеисту-энтузиасту Дени Дидро (Denis Diderot; 1713 — 1784). Тот, находясь при дворе Екатерины II, существование Создателя мира опровергал. Опровергал, как положено французу легкомысленно, но весело. Императрицу эти пустопорожние разговоры забавляли, но их идеологическую пагубность для своих подданных она прекрасно понимала. Посему Эйлеру было поручено возразить Дидро по-научному.
По-научному, так по-научному. Присутствуя на одной из бесед императрицы с Дидро, Эйлер заявил, что он знает математическое доказательство существования Бога и готов его тут же представить. Когда Дидро заинтересовался, Эйлер выдал ему какую-то математическую формулу, совершенно бессмысленную, после чего спросил у французского литератора, математики, конечно же, не знавшего, что он может на это возразить. Если бы Дидро к своему авторитету в глазах императрицы относился так же легкомысленно, как он относился к Богу, он мог бы отшутиться. Например, выдать Эйлеру какую-нибудь еще более бессмысленную формулу. Но против могучего танка по имени Леонард французские bon mot (остроты) оказались бессильными. Оторопь Дидро вызвала улыбки и смех, лицо выдающегося философа и богоборца было потеряно. Через несколько дней блестящий Денис покинул Санкт-Петербург.
Жаль, что во времена Дидро не существовало еще мобильных телефонов. Будь у Дидро такой приборчик, ему бы ничего не стоило связаться со своим коллегой по просветительским трудам, математиком и механиком Д’Аламбером и попросить совета. Ум хорошо, а два лучше. Глядишь, придумали бы какой-нибудь ответ суровому Эйлеру.
Впрочем, если бы тому всерьез захотелось представить доказательство бытия Божьего, он бы смог представить формулу, которую математики до сих пор считают самой красивой формулой своей науки. Эта формула называется тождеством Эйлера и выглядит следующим образом
В отличие от легковесных разговоров, эта формула, действительно, заставляет задуматься о глубоких взаимосвязях, существующих в мире и о причинах этих взаимосвязей. И удивиться, если не премудрости Создателя, то величию Природы. Что, в некотором смысле, одно и то же. В тождестве Эйлера соединены математический анализ (число e), геометрия (число π), алгебра (число i) и арифметика (число -1). Впрочем, Эйлер понимал, что говорить с Дидро о математике то же самое, что толковать с глухим о музыке. Поэтому в разговоре с французским гостем явно придуривался.
В начале рассказа Эйлер был назван великим русским ученым, хотя родился он в Швейцарии. Кому-то это может показаться странным. И напрасно! В 18-м веке Россия, без всякого сомнения, была империей. А в любой империи происхождение – вопрос второстепенный. Имперская идея расставляет подданных по местам, руководствуясь иными принципами.
Тем более, что большую часть своей жизни Л.Эйлер прожил в России. С мая 1727 года (то есть в возрасте 20 лет!) он прибыл в Санкт-Петербург и стал адъюнктом (помощником профессора) по отделению математики. Уже в следующем году Л.Эйлер бегло говорил по-русски. С тех пор до конца жизни он был связан с Санкт-Петербургской академией. Даже когда в 1741—1766 он был членом Прусской академии наук и поселился в Берлине, он оставался почетным русским академиком и принимал участие в ее работе. Все эти 25 лет место Эйлера было вакантным, но Академия Наук заполнить его кем-либо не считала нужным. А когда речь зашла о том, чтобы Эйлеру возвратиться в Санкт-Петербург, прусский император Фридрих II отпускать ученого со своей службы не желал, до тех пор, пока в этот вопрос не вмешалась лично Екатерина II.
Со времен пресловутой борьбы за национальные приоритеты (это было в начале 1950-х годов) сложилась стойкая легенда, о том, что Академия наук была «оккупирована» немцами, а национальный герой Михайла Ломоносов вовсю воевал с немецким засилием. Эта славная картина довольно далека от истины. Начать с того, что наукам и ремеслам Михаил Ломоносов (1711 —1765) обучался в Германии, в Марбургском университете в 1736—1739 годах.
Во-вторых, немецкие профессора, приглашенные в Россию, за редким исключением занимались своим делом не только в высшей степени профессионально, но и с большим энтузиазмом. Приглашение в Россию они не рассматривали, как приглашение к бездельному и сытому существованию среди русских снегов. Напротив, поездка в Россию была для них сравнима с переездом, который многие советские ученые в конце 1950-х – начале 1960-х годов совершили из больших столичных городов в Новосибирск, в юный Академгородок. Это была прекрасная возможность заниматься любимым делом, наукой, которое, к тому же оплачивалось гораздо лучше, чем в переполненной профессорами Европе. Характерно, что большая часть немецких ученых приезжала в Петербург, как Леонард Эйлер, людьми молодыми и полными сил. В России они приобрели опыт и научную известность. В России очень часто и оставались на всю жизнь. Для того, чтобы слыть русскими, чего же более надо?
В-третьих, немецкие ученые щедро делились своими знаниями с русскими коллегами. Леонард Эйлер, например, воспитал первых русских академиков: математика С. К. Котельникова и астронома С. Я. Румовского. И, кстати, М.В.Ломоносова Л.Эйлер не гнобил. В 1747 году он дал хвалебный отзыв (правда, формальный) на его работы по физике и химии. Сожалея, при этом, что достопочтенный Михаил Ломоносов высшей математикой не владел.
Научное наследие Леонарда Эйлера не велико, а просто огромно. Его работы способствовали созданию современного математического анализа, дифференциального и интегрального исчисления. Он создал новую математическую науку, вариационный анализ. Продолжая работы П.Ферма, он создал теорию чисел. Математик академик Н. Н. Лузин отмечал, что добрая половина того, что преподаётся в современных курсах высшей математики, основано на трудах Эйлера.
При этом Эйлер не был «чистым» математиком. Он работал также в области астрономии, гидродинамики, теоретической механики, оптики, кораблестроения, и даже теории музыки.
Не мудрено, что список различных математических понятий, носящих имя Л.Эйлера, занимает несколько страниц. Впрочем, то, что самый главный эпоним – это число Эйлера, e, постоянно встречающееся на страницах научных трудов по математике и физике. Эта важнейшая константа, основание натуральных логарифмов, было известно до Эйлера, однако он настолько глубоко и полно ее исследовал, что она носит его имя. И даже обозначается первой буквой его фамилии (Euler).
Обозначение основания натуральных алгоритмов именно буквой e вначале было случайным. Дело в том, что a, b, c и d были уже широко задействованы, и буква e оказалась первой «свободной» буквой. Неплохо было и то, что с этой буквы начиналось слово «exponential» («показательный», «экспоненциальный»).
Л.Эйлер тоже использовал букву e в своих трудах для обозначения основания натуральных логарифмов. При этом он, конечно, не думал о том, чтобы прославиться. Но так уж получилось, что последующие поколения математиков прочно связали пятую букву латинского алфавита с фамилией великого математика.
Для тех, кому урок, данный Эйлером Дидро, пошел впрок, дадим немного конкретных знаний.
Основание натуральных логарифмов, число e=2.718281828459045. Равенство всегда будет приблизительным, поскольку число это иррациональное (то есть, не представимо в виде обычной дроби, как частное от деления друг на друга двух натуральных чисел) и трансцендентное (то есть, не является результатом решения какого-нибудь степенного уравнения с рациональными коэффициентами). Для практического использования вполне достаточно запомнить две цифры после запятой: 2.71. Но существует мнемоническое правило, позволяющее запомнить 15 знаков после запятой в десятичном представлении числа e:
Два и семь, далее два раза год рождения Льва Толстого (1828), затем углы равнобедренного прямоугольного треугольника (45, 90 и 45 градусов).
Что такое число «е»?
Возникновение чисел в нашей жизни не случайность. Невозможно представить себе общение без использования чисел. Человечеству удалось установить целый ряд законов и закономерностей мира чисел, разгадать некоторые тайны и использовать свои открытия в повседневной жизни. Без замечательной науки о числах – математики – немыслимо сегодня ни прошлое, ни будущее. А сколько ещё не разгаданного! В незапамятные времена, научившись считать, люди познали меру количества – число. Вглядываясь в сочетания чисел, они с изумлением увидели, что числа имеют какую-то самостоятельную жизнь, удивительную и полную тайны; тайны необъяснимой и поэтому загадочной и многозначительной. Священные, волшебные, загадочные, таинственные, совершенные.… Как только их не называли!
В своей жизни каждый из нас стакивается с числами. Курс школьной программы, да и дальнейшую жизнь, трудно представить без них. Число е – это основание натуральных логарифмов и важнейшая математическая константа (обозначается строчной латинской буквой «e»), которая в высшей математике встречается буквально на каждом шагу, она играет особенно важную роль в дифференциальном и интегральном исчислении. Иногда число e называют числом Эйлера. Леонард Эйлер (1707 – 1783 гг.) – гениальный математик. Именно Эйлер первым ввел символ е (с этой буквы начинается его фамилия – Euler) и сделал так много открытий, связанных с этим числом, что, в конце концов, его стали называть числом Эйлера.
Число е – трансцендентное число (доказал Ш. Эрмит в 1873 г.), то есть оно не является корнем никакого многочлена с целыми коэффициентами, и не существует закона, по которому чередуются цифры после запятой в значении числа. Так что число е – это не случайное, взятое наугад число. Оно воплощает в себе идею, что все непрерывно растущие системы являются масштабированными версиями одного и того же показателя.
Число е — это нечто вроде предела скорости (как «число с« — скорость света в вакууме). Эта константа показывает, как быстро можно вырасти, используя непрерывный процесс. Вы можете не всегда достигать предела скорости, но это удобная точка сравнения: вы можете описать любой коэффициент роста с помощью этой универсальной константы.
Число Пи — это соотношение длины окружности к диаметру, одинаковое для всех окружностей. Это фундаментальная пропорция, свойственная всем окружностям, а следовательно, она участвует в вычислении длины окружности, площади, объема и площади поверхности для кругов, сфер, цилиндров и т.д. Пи показывает, что все окружности связаны, не говоря уже о тригонометрических функциях, выводимых из окружностей (синус, косинус, тангенс).
В рекламных проспектах банков их составители особо подчеркивают, сколько раз в год производится начисление прибыли. Непосвященному может показаться, что при достаточно частом начислении процентов (например, если производит пересчет миллион раз в год) за 25 лет вклад превратится в весьма ощутимую сумму. В действительности ничего подобного не произойдет. Через 25 лет вклад вырос бы до величины, равному 2,718 суммы вклада, этот предел и называется числом е.
Предположим, что в банке, выплачивающем простой процент, один рубль через какой-то промежуток времени удваивается. При непрерывном начислении прибыли рубль за то же время превратился бы в е рублей независимо от того, сколько простых процентов прибыли выплачивает в действительности банк. Из вышеизложенного следует вывод, что число е является базовым соотношением роста для всех непрерывно растущих процессов. Оно позволяет взять простой темп прироста (где разница видна только в конце года) и вычислить составляющие этого показателя, нормальный рост, при котором с каждой наносекундой (или даже быстрее) всё вырастает еще на немного.
E (число)
e (число)
e — математическая константа, основание натурального логарифма, трансцендентное число. Иногда число e называют числом Эйлера или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e». Численное значение [1] :
e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 497 757… (последовательность A001113 в OEIS)
Число e играет важную роль в дифференциальном и интегральном исчислении, а также многих других разделах математики.
Содержание
Способы определения
Число e может быть определено несколькими способами.
Свойства
История
Данное число иногда называют неперовым в честь шотландского учёного Непера, автора работы «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614 год). Однако это название не совсем корректно, так как у него логарифм числа x был равен 
.
Впервые константа негласно присутствует в приложении к переводу на английский язык вышеупомянутой работы Непера, опубликованному в 1618 году. Негласно, потому что там содержится только таблица натуральных логарифмов, определённых из кинематических соображений, сама же константа не присутствует (см.: Непер).
Предполагается, что автором таблицы был английский математик Отред.
Саму же константу впервые вычислил швейцарский математик Бернулли при анализе следующего предела:
Первое известное использование этой константы, где она обозначалась буквой b, встречается в письмах Лейбница Гюйгенсу, 1690—1691 годы.
Букву e начал использовать Эйлер в 1727 году, а первой публикацией с этой буквой была его работа «Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически» 1736 год. Соответственно, e обычно называют числом Эйлера. Хотя впоследствии некоторые учёные использовали букву c, буква e применялась чаще и в наши дни является стандартным обозначением.
Почему была выбрана именно буква e, точно неизвестно. Возможно, это связано с тем, что с неё начинается слово exponential («показательный», «экспоненциальный»). Другое предположение заключается в том, что буквы a, b, c и d уже довольно широко использовались в иных целях, и e была первой «свободной» буквой. Неправдоподобно предположение, что Эйлер выбрал e как первую букву в своей фамилии (нем. Euler ).
Мнемоника
Доказательство иррациональности
Предположим, что 
рационально. Тогда 
, где 
— целое, а 
— натуральное и больше 1, т.к. — не целое. Следовательно
Умножая обе части уравнения на 
, получаем
Переносим 
в левую часть:
Все слагаемые правой части целые, следовательно:
— целое 
Но с другой стороны
Интересные факты
Число e
Играет важную роль в дифференциальном и интегральном исчислении, а также многих других разделах математики.
2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 497 757… [1]
Содержание
Способы определения
Число e может быть определено несколькими способами.
Свойства
История
Данное число иногда называют неперовым в честь шотландского учёного Непера, автора работы «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614 год). Однако это название не совсем корректно, так как у него логарифм числа x был равен 
.
Впервые константа негласно присутствует в приложении к переводу на английский язык вышеупомянутой работы Непера, опубликованному в 1618 году. Негласно, потому что там содержится только таблица натуральных логарифмов, определённых из кинематических соображений, сама же константа не присутствует (см.: Непер).
Предполагается, что автором таблицы был английский математик Отред.
Саму же константу впервые вычислил швейцарский математик Бернулли при анализе следующего предела:
Первое известное использование этой константы, где она обозначалась буквой b, встречается в письмах Лейбница Гюйгенсу, 1690—1691 годы.
Букву e начал использовать Эйлер в 1727 году, а первой публикацией с этой буквой была его работа «Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически» 1736 год. Соответственно, e обычно называют числом Эйлера. Хотя впоследствии некоторые учёные использовали букву c, буква e применялась чаще и в наши дни является стандартным обозначением.
Почему была выбрана именно буква e, точно неизвестно. Возможно, это связано с тем, что с неё начинается слово exponential («показательный», «экспоненциальный»). Другое предположение заключается в том, что буквы a, b, c и d уже довольно широко использовались в иных целях, и e была первой «свободной» буквой. Неправдоподобно предположение, что Эйлер выбрал e как первую букву в своей фамилии (нем. Euler ).
Способы запоминания
Доказательство иррациональности
Пускай 
рационально. Тогда 
, где 
и 
целые положительные, откуда
Умножая обе части уравнения на 
, получаем
Переносим 
в левую часть:
Все слагаемые правой части целые, следовательно:
— целое 
Но с другой стороны
Интересные факты
Примечания
См. также
Ссылки
Числа с собственными именами
Полезное
Смотреть что такое «Число e» в других словарях:
число — Прие моч ное Источник: ГОСТ 111 90: Стекло листовое. Технические условия оригинал документа Смотри также родственные термины: 109. Число бетатронных колебаний … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
число — сущ., с., употр. очень часто Морфология: (нет) чего? числа, чему? числу, (вижу) что? число, чем? числом, о чём? о числе; мн. что? числа, (нет) чего? чисел, чему? числам, (вижу) что? числа, чем? числами, о чём? о числах математика 1. Числом… … Толковый словарь Дмитриева
ЧИСЛО — ЧИСЛО, числа, мн. числа, чисел, числам, ср. 1. Понятие, служащее выражением количества, то, при помощи чего производится счет предметов и явлений (мат.). Целое число. Дробное число. Именованное число. Простое число. (см. простой1 в 1 знач.).… … Толковый словарь Ушакова
ЧИСЛО — абстрактное, лишенное особенного содержания обозначение какоголибо члена некоторого ряда, в котором этому члену предшествует или следует за ним какой нибудь др. определенный член; абстрактный индивидуальный признак, отличающий одно множество от… … Философская энциклопедия
Число — Число грамматическая категория, выражающая количественные характеристики предметов мысли. Грамматическое число одно из проявлений более обшей языковой категории количества (см. Категория языковая) наряду с лексическим проявлением («лексическое… … Лингвистический энциклопедический словарь
ЧИСЛО e — Число, приближенно равное 2,718, которое часто встречается в математике и естественных науках. Например, при распаде радиоактивного вещества по истечении времени t от исходного количества вещества остается доля, равная e kt, где k число,… … Энциклопедия Кольера
число — а; мн. числа, сел, слам; ср. 1. Единица счёта, выражающая то или иное количество. Дробное, целое, простое ч. Чётное, нечётное ч. Считать круглыми числами (приблизительно, считая целыми единицами или десятками). Натуральное ч. (целое положительное … Энциклопедический словарь
ЧИСЛО — ср. количество, счетом, на вопрос: сколько? и самый знак, выражающий количество, цифра. Без числа; нет числа, без счету, многое множество. Поставь приборы, по числу гостей. Числа римские, арабские или церковные. Целое число, ·противоп. дробь.… … Толковый словарь Даля
ЧИСЛО — ЧИСЛО, а, мн. числа, сел, слам, ср. 1. Основное понятие математики величина, при помощи к рой производится счёт. Целое ч. Дробное ч. Действительное ч. Комплексное ч. Натуральное ч. (целое положительное число). Простое ч. (натуральное число, не… … Толковый словарь Ожегова
ЧИСЛО Е — ЧИСЛО «Е» (ЕХР), иррациональное число, служащее основанием натуральных ЛОГАРИФМОВ. Это действительное десятичное число, бесконечная дробь, равная 2,7182818284590. является пределом выражения (1/ ) при п, стремящемся к бесконечности. По сути,… … Научно-технический энциклопедический словарь